Betragsgleichungen in C

Exercise 1: Abstände

Zeichne in der Gaussschen Zahlenebene und markiere in verschiedenen Farben die Menge aller Punkte $z$ mit:

a) $|z|=1$

b) $|z+1|=1$

c) $|z-(1+\mathrm{i})|=1$

d) $|z-1|=|z-3|$

Solution

a) Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt $0$ und Radius $1$ .
b) Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt $-1$ und Radius $1$ .
c) Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt $1+\mathrm{i}$ und Radius $1$ .
d) Zeichne die Mittelsenkrechte der Strecke von $1$ bis $3$ , also die senkrechte Gerade $\operatorname{Re}(z)=2$ .

Note 1

Für eine komplexe Zahl $z$ ist die Gleichung

|z-m|=r

mit $m \in \mathbb{C}$ und $r \in \mathbb{R}^+$ ein Kreis mit Mittelpunkt $m$ und Radius $r$ in der Gaussschen Zahlenebene.

Beispielsweise kann die Einheitskreisscheibe, inklusive Rand, durch $|z| \leq 1$ dargestellt werden. Die Menge aller Punkte in der Gaussschen Zahlenebene ausserhalb der Kreisscheibe mit Radius $2$ um $(-1|0)$ ist gegeben durch $|z+1| > 2$ .

Example 1

Wir bestimmen rechnerisch, welche Punktmenge durch die Gleichung

\left|\frac{z-3}{z+1}\right| \geq 1

bestimmt ist. Ergebnis: Alle Punkte mit $\operatorname{Re}(z) \leq 1$ (ausser $z = -1$ , da dort der Nenner null wird).

In der Geometrie ist der Kreis des Apollonios die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis der Entfernungen zu zwei vorgegebenen Punkten einen konstanten Wert $k$ besitzt.

Exercise 2: Apollonios

Zeichne die Menge aller Punkte

\left|\frac{z-5}{z+1}\right| \geq 2.

Solution

Dies beschreibt einen Kreis (Apollonios-Kreis). Rechnerisch ergibt sich nach Ausmultiplizieren und Quadrieren ein Kreis mit Mittelpunkt $M=-3$ (auf der reellen Achse) und Radius $r=4$ . Die Ungleichung $\geq 2$ definiert dabei das Innere oder Äussere je nach Lage der Punkte.

Exercise 3: Punktmenge

Bestimme die Punktmenge gegeben durch die Gleichungen:

a) $|z-1+\mathrm{i}| < 2$

b) $\left|\frac{z+\mathrm{i}}{z-3\mathrm{i}}\right| \leq 1$

c) $\left|\frac{z-2}{z+2\mathrm{i}}\right| = 1$

Solution

a) Bestimme das Innere (ohne Rand) eines Kreises mit Mittelpunkt $1-\mathrm{i}$ und Radius $2$ .
b) Bestimme alle Punkte, deren Abstand zu $-\mathrm{i}$ kleiner oder gleich dem Abstand zu $3\mathrm{i}$ ist. Dies ist die Halbebene unterhalb der Mittelsenkrechten $\operatorname{Im}(z)=1$ .
c) Bestimme die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen den Punkten $2$ (reell) und $-2\mathrm{i}$ (imaginär). Dies ist die Gerade $y = -x$ .

Exercise 4: Ellipse?

Welche Punktmenge wird durch $|z-1|+|z+1| = 4$ dargestellt?

Solution

Identifiziere die Punktmenge als Ellipse: Die Summe der Abstände eines Punktes $z$ zu zwei Brennpunkten ( $F_1=1, F_2=-1$ ) ist konstant ( $2a=4$ ). Durch Einsetzen von $z = x + \mathrm{i}y$ und zweifaches Quadrieren erhält man die Ellipsengleichung:

\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1.

Dies ist eine Ellipse mit Mittelpunkt $0$ , grosser Halbachse $a=2$ und kleiner Halbachse $b=\sqrt{3}$ .