Computerschriften

Anwendungen

Impuls

Multipliziert man die skalare Grösse $m$ (Masse) mit der vektoriellen Grösse $\vec{v}$ (Geschwindigkeit), so erhält man mit dieser S-Multiplikation den \definition{Impuls} $\vec{p}$ .

Der Impuls ist eine vektorielle Grösse mit Richtung und Geschwindigkeit:

\vec{p}=m\cdot\vec{v}.

Note 1: Impulserhaltung

Die vektorielle Summe der Impulse eines abgeschlossenen Systems ist zeitlich konstant.

In der Tat: Man beobachtet, dass die Summe der Impulse vor einer Kollision gleich der Summe der Impulse nach der Kollision ist.

Exercise 1: Lastwagen

Ein $6\,\mathrm{t}$ schwerer Lastwagen, der mit $15\,\mathrm{km/h}$ in Richtung Norden fährt, kollidiert mit einem $4\,\mathrm{t}$ schweren Lastwagen, der mit $45\,\mathrm{km/h}$ in Richtung Westen fährt. Mit welcher Geschwindigkeit und in welcher Richtung bewegen sich die beiden Lastwagen nach der Kollision, wenn sie ineinander verkeilt bleiben?

Solution

Impulssumme vor dem Stoss:

\vec{p}_{\text{vor}}=6\cdot\begin{pmatrix} 0\\15 \end{pmatrix}+4\beg in{pmatrix} -45\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -180\\90 \end{pmatrix}

Nach dem Stoss bewegt sich dann die Gesamtmasse:

\vec{p}_{\text{nach}}=10\begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix},

woraus unmittelbar $\vec{v}=\begin{pmatrix} -18\\9 \end{pmatrix}$ folgt. Also ist die Geschwindigkeit $v \approx 20\,\mathrm{m/s}$ und der Winkel zur $x$ -Achse $180^\circ-\arctan(\frac{9}{18}) \approx 153^\circ$

Computerschriften

Ohne Mathematik könnten keine Computergraphiken erzeugt werden. Schon ein wenig Vektorgeometrie hilft bei der Erstellung von guten Computergraphiken, vor allem, wenn sie auf dem Bildschirm bewegt werden sollen.

Bei nahezu allen PC-Textverarbeitungs-Programmen können Schriften vergrössert, verkleinert, verzerrt und gedreht werden. Die Vorgehensweise beim Verändern einer Schrift hängt davon ab, ob die einzelnen Buchstaben punktorientiert oder vektororientiert sind. Bei punktorientierten Schriften müssen die einzelnen Buchstaben in allen Grössen gezeichnet und danach im Computer implementiert werden. Der Benutzer kann nur die Schriftgrössen verwenden, die in seinem Computer vorhanden sind. Bei den vektororientierten Schriften sind die einzelnen Buchstaben aus Streckenzügen und Kurvenbögen zusammengesetzt. Die einzelnen Strecken und Bögen sind durch Anfangs- und Endpunkt bzw. durch Radius und Zentriwinkel definiert und so im Computer gespeichert. Wird eine vektororientierte Schrift verzerrt oder in der Grösse verändert, so berechnet das Programm aus den Grunddaten sofort die neuen Strecken und Bögen, aus denen die einzelnen Buchstaben aufgebaut sind. Mit den Grunddaten werden also in Echtzeit beliebig andere Schriften erstellt. Darüber hinaus wird für eine Schrift viel weniger Speicherplatz im Computer benötigt. Vektororientierte Schriften werden vor allem im CAD-Bereich eingesetzt, punktorientierte Schriften sind eher in den Textverarbeitungsprogrammen anzutreffen.

Mit verschiedenen Basisvektoren im $\mathbb{R}^2$ lässt sich das Schrägbild einer vektororientierten Schrift berechnen. Als Beispiel wählen wir das Wort TEST. Die einzelnen Buchstaben sind durch Strecken definiert, deren Anfangs- und Endpunkte im Koordinatensystem wie in der Figur festgelegt werden können:

Führt man statt der Basisvektoren $\vec{e}_x$ und $\vec{e}_y$ die neuen Basisvektoren $\vec{b_1}$ und $\vec{e}_y'$ ein, so erhalten wir ein neues affines Koordinatensystem.

Es sei $P(x_0\mid y_0)$ Anfangs- oder Endpunkt einer Strecke eines Buchstabens, $x_0$ und $y_0$ seien die Koordinaten bzgl. $\vec{e}_x$ und $\vec{e}_y$ , $x_0'$ und $y_0'$ seien die Koordinaten bzgl. $\vec{e}_x'$ und $\vec{e}_y'$ . $P'$ sei Bildpunkt von $P$ . Im alten Koordinatensystem gilt

P = \begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix} = x_0\vec{e}_x+y_0\vec{e}_y

und im neuen Koordinatensystem

P' = \begin{pmatrix}x_0'\\y_0'\end{pmatrix} = x_0\vec{e}_x'+y_0\vec{e}_y'

Exercise 2: Berechne t

Berechne die neuen Koordinaten für den Buchstaben T, falls

\vec{e}_x' = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}, \quad\vec{e}_y' = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

und zeichne das neue Schriftbild von TEST.

Solution

Wir berechnen die Bilder markanter Punkte von T. Oben links, $(0|2)$ wird auf $(0|2)$ abgebildet, $(1|2)$ auf $1\cdot\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}$ , $(2|2)$ auf $(4|4)$ und $(1|0)$ auf $(2|1)$ . Damit sieht das T nach Transformation wie folgt aus: