Vektoren im 3D

Bislang haben wir nur Vektoren in der Ebene angeschaut. Analoge Überlegungen gelten für den Raum, was uns einen echten Mehrwert gegenüber der ebenen Geometrie bringt. Um einen Punkt oder einen Vektor im Raum zu beschreiben, braucht man sinngemäss drei Koordinaten,

\vec{v} = x\cdot\vec{e}_x+y\cdot\vec{e}_y+z\cdot\vec{e}_z = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},

Tiefe, Breite und Höhe.

Theorem 1

Für die Länge von $\vec{v}=(x|y|z)$ gilt $|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

Proof

Wende zweimal Pythagoras an. (Länge des Vektors kommentiert)

Exercise 1: Länge 3D

Stelle die Vektoren

\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\\3\\-3\end{pmatrix}

als Ortsvektoren dar und berechne jeweils den Betrag.

Solution

Man bewege sich parallel zu den Achsen um die jeweiligen Werte und punktiere den Weg als Dokumentation. Die Längen sind $\sqrt{3^2+4^2+2^2}=\sqrt{29}$ und $\sqrt{2^2+3^2+3^2}=\sqrt{22}$ .

Exercise 2: Basisvektoren

Wie lauten die Koordinaten der Basisvektoren $\vec{e}_x$ , $\vec{e}_y$ , $\vec{e}_z$ im Raum?

Solution

\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}

Addition und S-Multiplikation

Wenn man die Koordinaten von Vektoren kennt, können die S-Multiplikation und die Vektoraddition sehr einfach ausgeführt werden. Für einen Skalar $t\in\mathbb{R}$ gilt nämlich

\begin{align*} t\cdot(v_x|v_y|v_z)&=t\cdot(v_x\vec{e}_x+v_y\vec{e}_y+v_z\vec{e}_z)=\\ &=tv_x\vec{e}_x+tv_y\vec{e}_y+tv_z\vec{e}_z=(tv_x|tv_y|tv_z) \end{align*}

und für die Addition

(v_x|v_y|v_z)+(w_x|w_y|w_z) = (v_x+w_x|v_y+w_y|v_z+w_z).

Note 1

Die Vektoraddition und S-Multiplikation erfolgt also ganz einfach komponentenweise.

Example 1

3\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\-6\end{pmatrix},\quad(4|3|1)+(-2|5|-6)=(2|8|-5)

Exercise 3: Addiere!

Gegeben seien die Vektoren

\vec{v}=(2|1|-1), \vec{w}=(0|-1|3), \vec{u}=(2|2|4)

Berechne die Koordinaten des Vektors

\vec{a}=\vec{v}+2\vec{w}-0.5\vec{u}

Wie lang ist $\vec{a}$ ?

Solution

Es ist $\vec{a}=\begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\-2\\6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-2\\3 \end{pmatrix}$

Exercise 4: kollinear?

Sind die Vektoren kollinear?

\vec{v}=(3|7|4), \vec{w}=(9|21|12)

Solution

Ja, denn $3\vec{v}=\vec{w}$

Exercise 5: kollinear? II Ermittle die Koordinaten von \vec{w}=(8|y|z) so, dass\vec{v}=(2|-6|15)und \vec{w} kollinear sind.

Solution

Hier muss $\lambda=4$ sein, also $(8|-24|60)$

Vektoren zwischen zwei Punkten

Durch zwei Punkte $P(p_x|p_y|p_z)$ bzw. $Q(q_x|q_y|q_z)$ ist ein Vektor $\vec{PQ}$ bestimmt.

Aus der Figur entnimmt man

\vec{PQ}=\vec{Q}-\vec{P}=\begin{pmatrix} q_x\\q_y\\q_z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} p_x\\p_y\\p_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} q_x-p_x\\q_y-p_y\\q_z-p_z \end{pmatrix}

Exercise 6: Streckenlänge

a) Wie lautet der Vektor mit Anfangspunkt $P(10|-6|7)$ und Endpunkt $Q(2|-2|8)$ ? Wie lautet der Vektor $\vec{QP}$ ?

b) Wie lang ist die Strecke $\overline{PQ}$ ?

Solution

a) Wir rechnen $\vec{PQ}=Q-P=\begin{pmatrix} -8\\4\\1 \end{pmatrix}$ und $\vec{QP}$ ist $-\vec{PQ}=\begin{pmatrix} 8\\-4\\-1 \end{pmatrix}$

b) $\overline{PQ}=\sqrt{8^2+4^2+1^2}=9$

Exercise 7: Umfang Dreieck

Berechne den Umfang des Dreiecks mit den Ecken

A(2|-6), B(-4|2), C(17|30)

Solution

Man betrachtet beispielsweise die Seitenvektoren $\vec{AB}=(-6|8)$ , $\vec{AC}=(15|36)$ und $\vec{BC}=(21|28)$ . Dann zählt man ihre Längen zusammen: $U\approx10+39+34=83$

Exercise 8: Mittelpunkt

Welche Koordinaten hat der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ für $A(2|-5)$ und $B(-6|7)$ ?

Solution

Es ist $\vec{AB} = (-8|12)$ und damit $M = A+\frac{1}{2}\vec{AB} = (-2|1)$

Exercise 9: Drehen!

Gegeben seien die Vektoren $\vec{v}$

a) $\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$

b) $\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}$

Wie lauten die Koordinaten des Vektors, der durch Drehung von $\vec{v}$ um seinen Anfangspunkt innerhalb der xy-Ebene um $90^\circ$ entsteht?

Solution

a) $(-4|3)$

b) $(-5|-2)$

Exercise 10: 🧩

Wie lauten die Koordinaten des Vektors, der durch Drehung von

\vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}

um seinen Anfangspunkt innerhalb der $xy$ -Ebene um den Winkel $\varphi$ im positiven Sinne entsteht?

Solution

Die Katheten von $v$ werden zu Hypotenusen der Teildreiecke des um $\varphi$ gedrehten Vektors. Jetzt bastelt man sich die neuen Komponenten aus diesen Teildreiecken:

\begin{align*} v'_x &= v_x\cos(\varphi)-v_y\sin(\varphi)\\ v'_y &= v_x\sin(\varphi)+v_y\cos(\varphi) \end{align*}

(Herleitung Drehung)

Exercise 11: Anfangspunkt

$Q(-3|-5|2)$ ist der Endpunkt des Vektors $\vec{PQ}=(4|-2|6)$ . Welche Koordinaten hat der Anfangspunkt?

Solution

Es ist $Q-P = \vec{PQ}$ , also $P = Q-\vec{PQ} = (-7|-3|-4)$ .

Exercise 12: Dritteln!

Die beiden Punkte $P$ und $Q$ sollen die Strecke mit dem Anfangspunkt $A(- 9|15|- 2)$ und dem Endpunkt $B(- 12|- 6|4)$ in drei gleiche Teile teilen. Ermittle die Koordinaten von $P$ und $Q$ .

Solution

Es ist $\vec{AB}=\begin{pmatrix} -3\\-21\\6 \end{pmatrix}$ und wir starten von $A$ aus. Damit ergeben sich $P=\begin{pmatrix} -9\\15\\-2 \end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix} -3\\-21\\6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10\\8\\0 \end{pmatrix}$ sowie $Q=A+\frac{2}{3}\vec{AB}=(-11|1|2)$ .

Exercise 13: Doppelte Entfernung?

Welche Punkte auf der $x$ -Achse $P(x|0|0)$ haben von dem Punkt $A(12|12|- 6)$ die doppelte Entfernung wie von dem Punkt $B(15|6|3)$ ?

Solution

Die Entfernung von $P$ zu $A$ ist $\sqrt{(12-x)^2+12^2+6^2}$ und zu $B=\sqrt{(15-x)^2+6^2+3^2}$ . Wir vergleichen

\begin{align*} \sqrt{(12-x)^2+12^2+6^2} &= 2\sqrt{(15-x)^2+6^2+3^2}\\ 144-24x+x^2+180 &= 4(225-30x+x^2+45)\\ 0 &= 3x^2-96x+756\\ 0 &= x^2-32x+252 \end{align*}

woraus $x_1=14$ und $x_2=18$ folgt. Also gilt dies für die Punkte $P_1(14|0|0)$ und $P_2(18|0|0)$ .