Geometrische Folgen

Definition 1: Geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, deren Glieder der Rekursionsformel

ak+1=ak⋅q(k∈N,q=konstant)a_{k+1}=a_k\cdot q\quad(k\in\mathbb{N}, q=\text{konstant})

genügen. (Geometrische Folge kommentiert)

a1  ↷⋅q  a2  ↷⋅q  a3  ↷⋅q  a4  ↷⋅q  a5  ↷⋅q  …a_1 \;\overset{\cdot q}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; a_2 \;\overset{\cdot q}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; a_3 \;\overset{\cdot q}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; a_4 \;\overset{\cdot q}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; a_5 \;\overset{\cdot q}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; \dots
Example 1

Die Folge der Zweierpotenzen mit natürlichen Exponenten ist geometrisch mit q=2q=2:

2  ↷⋅2  4  ↷⋅2  8  ↷⋅2  16  ↷⋅2  32  ↷⋅2  …2 \;\overset{\cdot 2}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; 4 \;\overset{\cdot 2}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; 8 \;\overset{\cdot 2}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; 16 \;\overset{\cdot 2}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; 32 \;\overset{\cdot 2}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; \dots

Die Folge

2  ↷⋅12  1  ↷⋅12  12  ↷⋅12  14  ↷⋅12  18  ↷⋅12  …2 \;\overset{\cdot \tfrac{1}{2}}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; 1 \;\overset{\cdot \tfrac{1}{2}}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; \tfrac{1}{2} \;\overset{\cdot \tfrac{1}{2}}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; \tfrac{1}{4} \;\overset{\cdot \tfrac{1}{2}}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; \tfrac{1}{8} \;\overset{\cdot \tfrac{1}{2}}{\mathrel{\raisebox{0.8ex}{$\curvearrowright$}}}\; \dots

ist geometrisch mit q=12q=\tfrac{1}{2}.

Note 1

Der Name geometrische Folge ist dadurch motiviert, dass jedes Glied - ausser das erste und gegebenenfalls das letzte - betragsmässig gleich dem geometrischen Mittel der Nachbarglieder ist.

Exercise 1: Geometrisches Mittel

Zeige die Gültigkeit der obigen Bemerkung.

Solution

ak−1⋅ak+1=akq⋅akq=ak2=∣ak∣\sqrt{a_{k-1}\cdot a_{k+1}}=\sqrt{\frac{a_k}{q}\cdot a_kq}=\sqrt{a_k^2}=|a_k|

Wiederum stellen wir Formeln für das kk-te Glied aka_k und die kk-te Partialsumme sks_k bereit.

Theorem 1

Für eine geometrische Folge gelten

ak=a1⋅qk−1sk=a1⋅qk−1q−1(q≠1)\begin{align} a_k&=a_1\cdot q^{k-1}\\ s_k&=a_1\cdot\frac{q^k-1}{q-1}\quad\quad (q\neq1) \end{align}
Proof

Das Erste ist wiederum eine "Pföstchen-Überlegung". Wir zeigen die zweite Gleichung und setzen dabei q≠1q\neq1 voraus, da die Summe in diesem Fall arithmetisch mit d=0d=0 wäre.

sk=a1+a2+a3+…+ak=a1+a1⋅q+a1⋅q2+…+a1⋅qk−1\begin{align*} s_k&=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_k\\ &=a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2+\ldots+a_1\cdot q^{k-1} \end{align*}

Multipliziert man diese Gleichung mit qq folgt

sk⋅q=a1⋅q+a1⋅q2+a1⋅q3+…+a1⋅qks_k\cdot q=a_1\cdot q+a_1\cdot q^2+a_1\cdot q^3+\ldots+a_1\cdot q^k

Nun subtrahieren wir sks_k von sk⋅qs_k\cdot q und erhalten

sk⋅q−sk=sk(q−1)=a1⋅qk−a1=a1(qk−1)s_k\cdot q-s_k=s_k(q-1)=a_1\cdot q^k-a_1=a_1(q^k-1)

Daraus folgt, (q≠1)(q\neq1), unmittelbar

sk=a1(qk−1)q−1s_k=\frac{a_1(q^k-1)}{q-1}

und damit die Behauptung, denn für q=1q=1 ist die Folge arithmetisch.

Exercise 2: Geometrische Folge

Eine geometrische Folge beginne mit a1=2a_1 = 2 und habe den Quotienten q=3q = 3.

Bestimme die explizite Formel ana_n und den Wert von a5a_5.

Solution

Die explizite Formel ist:

an=2⋅3n−1a_n = 2\cdot3^{n-1}

Für n=5n=5:

a5=2⋅34=2⋅81=162a_5 = 2\cdot3^4 = 2\cdot81 = 162
Exercise 3: Bakterium

Ein Bakterium verdoppelt sich jede Stunde. Zu Beginn ist 1 Bakterium vorhanden.

Wie viele Bakterien sind nach 10 Stunden vorhanden?

Solution

Die Folge ist geometrisch mit a1=1a_1 = 1, q=2q = 2.

a11=1⋅210=1024a_{11} = 1\cdot2^{10} = 1024

Nach 10 Stunden gibt es 1024 Bakterien.

Exercise 4: Wachsend oder fallend?

Die Folge sei gegeben durch ak=100⋅(0.8)k−1a_k = 100\cdot(0.8)^{k-1}.

a) Ist die Folge wachsend oder fallend?

b) Bestimme die Summe der ersten 5 Glieder.

Solution

a) Da der Quotient q=0.8<1q = 0.8 < 1, ist die Folge fallend.

b) Die Summe:

S5=100⋅1−0.851−0.8=100⋅1−0.327680.2=100⋅0.672320.2=336.16S_5 = 100\cdot\frac{1 - 0.8^5}{1 - 0.8} = 100\cdot\frac{1 - 0.32768}{0.2} = 100\cdot\frac{0.67232}{0.2} = 336.16

Die Summe beträgt ca. 336.16336.16.

Exercise 5: q?

Von einer geometrischen Folge kenne man a3=4a_3=4 und a8=162a_8=16\sqrt{2}.

Bestimme aka_k und s10s_{10}.

Solution

Es ist a8=a3⋅q5a_8=a_3\cdot q^5, also

q=a8a35=425=2.q=\sqrt[5]{\frac{a_8}{a_3}}=\sqrt[5]{4\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

Ferner a1=a3q2=42=2a_1=\frac{a_3}{q^2}=\frac{4}{2}=2. Damit ak=2⋅(2)k−1a_k=2\cdot(\sqrt{2})^{k-1}.

Die Summe ergibt

s10=2⋅(2)10−12−1=2⋅10232−1≈4939.48.s_{10}=2\cdot\frac{(\sqrt{2})^{10}-1}{\sqrt{2}-1}=2\cdot\frac{1023}{\sqrt{2}-1}\approx4939.48.
Exercise 6: 🧩

Berechne

−2+4−8+16−⋯+4096.-2+4-8+16-\dots+4096.
Solution

Es ist a1=−2a_1=-2 und q=−2q=-2.

Bestimme zunächst die Anzahl Glieder kk:

4096=ak=a1⋅qk−1=−2⋅(−2)k−1=(−2)k.4096 = a_k = a_1\cdot q^{k-1} = -2\cdot(-2)^{k-1} = (-2)^k.

Damit folgt

(−2)k=4096=212    ⇒    k=12.(-2)^k = 4096 = 2^{12} \;\;\Rightarrow\;\; k=12.

Nun die Partialsumme:

s12=a1⋅q12−1q−1=−2⋅(−2)12−1−2−1.s_{12} = a_1\cdot\frac{q^{12}-1}{q-1} = -2\cdot\frac{(-2)^{12}-1}{-2-1}.

Da (−2)12=4096(-2)^{12}=4096, erhalten wir:

s12=−2⋅4096−1−3=−2⋅4095−3=2⋅40953=2730.s_{12} = -2\cdot\frac{4096-1}{-3} = -2\cdot\frac{4095}{-3} = \frac{2\cdot4095}{3} = 2730.