Arithmetische Folgen

Note 1

Im Folgenden werden wir uns fast ausschliesslich auf zwei Typen von Zahlenfolgen beschränken. Nämlich einerseits auf sogenannte

arithmetische Folgen, bei denen der "Abstand" zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist (diskrete lineare Funktionen),

und andererseits auf sogenannte

geometrische Folgen, bei denen der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist (diskrete Exponentialfunktionen).

Definition 1: Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, deren Glieder der Rekursionsformel

a_{k+1}=a_k+d\quad (k\in\mathbb{N}, d=\text{konstant})

genügen. (Arithmetische Folgen kommentiert)

a_1 \;\overset{+d}{\mathrel{\raisebox{1ex}{$\curvearrowright$}}}\; a_2 \;\overset{+d}{\mathrel{\raisebox{1ex}{$\curvearrowright$}}}\; a_3 \;\overset{+d}{\mathrel{\raisebox{1ex}{$\curvearrowright$}}}\; a_4 \;\dots

Example 1

Offensichtlich ist die Folge der geraden Zahlen

2 \;\overset{+2}{\mathrel{\raisebox{1ex}{$\curvearrowright$}}}\; 4 \;\overset{+2}{\mathrel{\raisebox{1ex}{$\curvearrowright$}}}\; 6 \;\overset{+2}{\mathrel{\raisebox{1ex}{$\curvearrowright$}}}\; 8 \;\dots

eine arithmetische Folge mit $d=2$ .

Die Folge

1 \;\overset{-2}{\mathrel{\raisebox{1ex}{$\curvearrowright$}}}\; -1 \;\overset{-2}{\mathrel{\raisebox{1ex}{$\curvearrowright$}}}\; -3 \;\overset{-2}{\mathrel{\raisebox{1ex}{$\curvearrowright$}}}\; -5 \;\dots

ist arithmetisch mit $d=-2$ .

Note 2

Der Name arithmetische Folge ist dadurch motiviert, dass jedes Glied - ausser das erste und gegebenenfalls das letzte - gleich dem arithmetischen Mittel der Nachbarglieder ist.

Exercise 1: Arithmetisches Mittel

Zeige die Gültigkeit der obigen Bemerkung.

Solution

Es ist $\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}=\frac{a_k-d+a_k+d}{2}=\frac{2a_k}{2}=a_k$

Note 3

Offensichtlich sind die arithmetischen Folgen lineare Funktionen mit Steigung $d$ und $\mathbb{D}\subseteq\mathbb{N}$ .

Theorem 1

Für eine arithmetische Folge gelten

\begin{align*} a_k&=a_1+(k-1)\cdot d\\ s_k&=k\cdot\frac{a_1+a_k}{2} \end{align*}

Proof

Die erste Gleichung ist eine "Pföstchen-Überlegung". Für die zweite nimmt man den Trick von Gauss.

Exercise 2: AF

Die erste Zahl einer arithmetischen Folge ist $3$ , die zweite Zahl ist $7$ .

Bestimme die explizite Formel $a_k$ der Folge.

Solution

Die Differenz ist $d = 7 - 3 = 4$ . Die explizite Formel lautet:

a_k = 3 + (k - 1)\cdot 4 = 4k - 1.

Exercise 3: Schüler spart

Ein Schüler spart jeden Monat 20 Fr. mehr als im Vormonat. Im ersten Monat spart er 50 Fr.

Wie viel hat er nach 12 Monaten insgesamt gespart?

Solution

Die Sparbeträge bilden eine arithmetische Folge mit $a_1 = 50$ und $d = 20$ . Die Summe der ersten 12 Glieder ist:

s_{12} = \frac{12}{2}(50 + (50 + (12 - 1)\cdot20)) = 6(100 + 220) = 6\cdot320 = 1920.

Er hat insgesamt 1920 Fr. gespart.

Exercise 4: a_{10} und s_{15}

Gegeben ist die arithmetische Folge mit $a_k = 5k + 2$ .

a) Bestimme das 10. Glied.

b) Wie gross ist die Summe der ersten 15 Glieder?

Solution

a) $a_{10} = 5\cdot10 + 2 = 52$ .

b) Die Summe:

S_{15} = \frac{15}{2}(a_1 + a_{15}) = \frac{15}{2}((5 + 2) + (5\cdot15 + 2)) = \frac{15}{2}(7 + 77) = \frac{15}{2}\cdot84 = 630.

Exercise 5: Lücken berechnen

Das dritte Glied einer arithmetischen Folge ist $11$ , das siebente Glied ist $23$ .

Bestimme die explizite Formel $a_k$ der Folge. Berechne anschliessend das $100.$ Glied sowie die $100.$ Partialsumme $S_{100}$ .

Solution

Wir wissen:

a_3 = a_1 + 2d = 11,

a_7 = a_1 + 6d = 23.

Subtrahieren ergibt:

(a_7 - a_3) = 4d = 12 \;\Rightarrow\; d = 3.

Einsetzen in $a_3$ :

a_1 + 2\cdot 3 = 11 \;\Rightarrow\; a_1 = 5.

Damit lautet die explizite Formel:

a_k = a_1 + (k-1)d = 5 + (k-1)\cdot 3 = 3k + 2.

Das $100.$ Glied:

a_{100} = 3\cdot 100 + 2 = 302.

Die $100.$ Partialsumme:

S_{100} = \frac{100}{2}\,(a_1 + a_{100}) = 50\,(5+302) = 50 \cdot 307 = 15'350.

Exercise 6: Dreierreihe

Berechne die Summe aller Dreierzahlen von $81$ bis $1020$ .

Solution

Es ist $a_1=81$ und $a_k=1020$ . Somit folgt $1020=81+(k-1)\cdot3\Leftrightarrow 3k=942\Leftrightarrow k=314$ . Also schliessen wir $s_{314}=(81+1020)\cdot157=172\,857$

Exercise 7: 🧩

Ein frei fallender Körper legt in der ersten Sekunde $5\,\mathrm{m}$ und in jeder folgenden Sekunde $10\,\mathrm{m}$ mehr als in der jeweils vorangegangenen Sekunde zurück.

a) Welche Strecke legt er in der 13. Sekunde zurück?

b) Welche Strecke fällt er in $13\,\mathrm{Sekunden}$ ?

Solution

a) $a_1=5$ , $a_2=15$ , $a_3=25$ , $\dots$ , $a_{13}=5+12\cdot10=125$ Meter.

b) $s_{13}=(5+125)\cdot\frac{13}{2}=845$ Meter