Übungen zu AF & GF

Exercise 1: Geometrisch oder arithmetisch?

Bestimme für die Folge

a) $3,7,11,15,19,\dots$

b) $12,6,3,1.5,\dots$

den Wert von $a_{101}$ , $s_{50}$ und $s_\infty$ .

Solution

a) arithmetisch: $a_{101}=3+100\cdot4=403$ , $s_{50}=25(3+199)=5050$ , $s_\infty=\infty$

b) geometrisch: $a_{101}=12\cdot0.5^{100}\approx9\cdot10^{-30}$ , $s_{50}=12\cdot\frac{1-0.5^{50}}{1-0.5}\approx24$ , $s_\infty=24$

Exercise 2: Mach geometrisch oder arithmetisch

Gegeben sei die Folge

9\quad x\quad4\quad\dots

a) Bestimme $x$ so, dass die Folge arithmetisch ist. Berechne anschliessend $a_{41}$ und $s_{41}$ .

b) Bestimme $x$ so, dass die Folge geometrisch ist. Berechne anschliessend $a_9$ und $s_7$ . Abschliessend beurteile man, ob die Partialsummenfolge $\langle s_k\rangle$ gegen einen endlichen Wert strebt, falls $k\to\infty$ .

Solution

a) Es muss $9+2d=4$ gelten, also $d=-2.5$ . Es folgt unmittelbar $a_{41}=9+40\cdot(-2.5)=-91$ und $s_{41}=\frac{41}{2}\cdot(9+(-91))=-1681$ .

b) Es muss $9\cdot q^2=4$ , also kommen $q_{1,2}=\pm\frac{2}{3}$ in Frage. Nehmen wir für die Fortsetzung die positive Lösung.

a_9=9\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^8=\tfrac{2304}{6561}\approx0.351,\qquad s_7=9\cdot\frac{1-\left(\tfrac{2}{3}\right)^7}{1-\tfrac{2}{3}}=\tfrac{2059}{81}\approx25.42.

Für $k\to\infty$ gilt $q^k\to0$ . Daher strebt $s_k$ gegen den Grenzwert $s=\tfrac{a_1}{1-q}=9\cdot\frac{1}{1-2/3}=27$ .

Exercise 3: 🧩

Es sind 60 Rohre so zu stapeln, dass jede Schicht auf Lücke mit der darunter liegenden Schicht liegt; die oberste Schicht soll aus vier Rohren bestehen. Wie viele Rohre müssen in die unterste Schicht gelegt werden, und wie viele Schichten hat der Stapel? Wie hoch ist er, wenn die Rohre einen Durchmesser von $20\,\mathrm{cm}$ haben?

Solution

Ich stelle mir schematisch die Rohre wie folgt aufeinandergestapelt vor.

Jetzt bestehe die oberste Schicht aus $a_1=4$ Rohren und $d=1$ . Wir wissen

s_n=60=\tfrac{n}{2}\,(a_1+a_n)=\tfrac{n}{2}\,\bigl(4+(4+(n-1)\cdot1)\bigr)=\tfrac{n^2}{2}+\tfrac{7n}{2}.

Es folgt $0=n^2+7n-120=(n+15)(n-8)$ und damit $n=8$ Schichten. In der untersten Reihe sind dann $a_8=4+7\cdot1=11$ Rohre.

Für die Höhe: Der vertikale Abstand zwischen Schichten beträgt $10\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$ . Bei $8$ Schichten erhält man

H=2\cdot10+7\cdot10\sqrt{3}=20+70\sqrt{3}\ \mathrm{cm}\approx1.41\ \mathrm{m}.

Exercise 4: Folge 2, 5, 8, \dots

Untersuche die Folge $2, 5, 8, 11, 14, \dots$ . Gib die explizite Formel für $a_k$ an und berechne $s_{20}$ .

Solution

Wir betrachten die Differenzen aufeinander folgender Glieder:

5-2=3,\quad 8-5=3,\quad 11-8=3.

Die Differenz ist konstant. Also handelt es sich um eine arithmetische Folge mit $d=3$ und $a_1=2$ . Es folgt

a_k = 2+(k-1)\cdot 3 = 3k-1.

und für die Partialsumme mit

s_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)

also

s_{20}=\frac{20}{2}\left(2\cdot 2+19\cdot 3\right) =10\cdot(4+57)=610.

Exercise 5: Folge 81, 27, 9, \dots

Untersuche die Folge $81, 27, 9, 3, 1, \dots$ . Handelt es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge? Begründe, gib die explizite Formel $a_k$ an und berechne $s_{6}$ .

Solution

Wir betrachten die Quotienten:

\frac{27}{81}=\frac{1}{3},\quad \frac{9}{27}=\frac{1}{3},\quad \frac{3}{9}=\frac{1}{3}.

Also handelt es sich um eine geometrische Folge mit $q=\tfrac{1}{3}$ und $a_1=81$ . Die explizite Definition lautet daher

a_k = 81\left(\tfrac{1}{3}\right)^{k-1}

und die Partialsumme

s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}.

ergibt

s_6=81\cdot\frac{1-(\tfrac{1}{3})^6}{1-\tfrac{1}{3}} =81\cdot\frac{1-\tfrac{1}{729}}{\tfrac{2}{3}} =81\cdot\frac{728}{729}\cdot\frac{3}{2} =\frac{364}{3}.

Exercise 6: Hüpfender Ball

Ein Ball prallt nach jedem Aufprall auf $80\,\%$ der vorangegangenen Höhe zurück.
Beim ersten Mal wird er aus $h_1=2$ m Höhe losgelassen.
Bestimme die Höhen $h_2,h_3,h_4$ , gib eine allgemeine Formel $h_k$ an und berechne die Summe der ersten $10$ Höhen. Welchen Weg legt der Ball in den ersten 10 Hupfer zurück?

Solution

Nach jedem Aufprall wird die Höhe mit $0.8$ multipliziert:

h_2=2\cdot0.8=1.6,\quad h_3=1.28,\quad h_4=1.024.

Also handelt es sich um eine geometrische Folge mit $a_1=2$ und $q=0.8$ . Also hat man

h_k=2\cdot(0.8)^{k-1}.

Mit der Summenformel

s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}.

erhält man

S_{10}=2\cdot\frac{1-(0.8)^{10}}{1-0.8} =2\cdot\frac{1-0.107}{0.2} =2\cdot\frac{0.893}{0.2} \approx 8.93.

Der Ball legt die erste Höhe einfach zurück, danach jede weitere doppelt:

w = 2 + 2\cdot1.6\cdot\frac{1-0.8^9}{1-0.8} \approx 15.85\,\text{m}.

Exercise 7: Reiskörner

In einer Erzählung des Persers Ibn Khallikan aus dem 13.Jahrhundert lesen wir:

"In jener Zeit, als der indische Herrscher Shihram seine Untertanen unmässig tyrannisierte, erfand der Weise Sissa Ibn Dahir zur Belehrung des Königs das Schachspiel, um ihm nachzuweisen, wie wichtig für einen Herrscher seine Untertanen sind. Als Dank für die Erleuchtung bot der König Sissa seine Schätze an und stellte ihm einen Wunsch frei. Der Weise wünschte sich soviel Weizen, wie sich auf dem Schachbrett folgendermassen angeordnet ergibt: Auf das erste Feld des Schachbrettes 1 Reiskorn, auf das zweite Feld 2 Reiskörner, auf das dritte Feld 4 Körner etc., auf jedem Feld doppelt so viele wie auf dem vorhergehenden."

Zwei Fragen zu diesem Schachbrett mit Reiskörnern-"Paradox".

a) Wie viele Reiskörner sind dies insgesamt?

b) Wie lange wäre ein Zug, der diese Reismenge transportieren müsste, wenn ein Güterwagen von $10\,\mathrm{m}$ Länge $10\,\mathrm{Tonnen}$ Reis laden kann und $18$ Körner $1\mathrm{g}$ ergeben?

Solution

a) Wir berechnen

1+2+4+8+\dots+2^{63}=\tfrac{2^{64}-1}{2-1}=2^{64}-1=18\,446\,744\,073\,709\,551\,615

Reiskörner.

b) Näherungsweise: Anzahl Waggons $\approx \dfrac{2^{64}}{18\cdot10^7}\sim 10^{11}$ , Zuglänge $\sim 10^9$ Kilometer (bei $10\,\mathrm{m}$ pro Waggon). Zum Vergleich: Erde–Sonne $\approx1.5\cdot10^8$ Kilometer.

Exercise 8: Kalium

Für manche medizinische Diagnosen wird das radioaktive Kaliumisotop $^{42}$ K benutzt. Es verliert pro Stunde $5.42$ % seiner Intensität. Welchen Prozentsatz verliert es nach drei Stunden?

Solution

Nach drei Stunden hat es $1-0.9458^3\approx15.4$ % verloren.

Exercise 9: 🧩

$a, b, c$ bilden in dieser Reihenfolge eine arithmetische Folge mit der Summe $3$ ; in der Reihenfolge $b, c, a$ bilden sie eine geometrische Folge. Berechne die drei Zahlen, wenn $a\neq b\neq c$ .

Solution

Wir haben im arithmetischen Fall $a+b+c=3=3b\Leftrightarrow b=1$ und geometrisch $b+bq+bq^2=3\Leftrightarrow q^2+q-2=0\Leftrightarrow q_1=-2,q_2=1$ . Also $a,b,c=4,1,-2$ , da $1,1,1$ nicht in Frage kommt.

Exercise 10: 🧩

Die Figuren sind aus Quadraten zusammengesetzt wie in der Abbildung unten.

Stelle eine Formel auf für die Anzahl $a(k)$ der Quadrate, die in der $k$ -ten Figur vorhanden sind.

Solution

Die Folge ist $1,5,13,\dots$ . Man hat für das $k$ -te Gebilde $a_k=2k-1+2\cdot(k-1)^2=2k^2-2k+1$ .

Exercise 11: 🧩

Gegeben sei ein spiralförmiges Schneckenhaus, welches aus Halbkreisen zusammengesetzt sei. Der längste Radius messe $4.5$ und das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Radien $r_k/r_{k+1}$ sei $3/2$ .

a) Aus wie vielen Halbkreisen besteht die Spirale, wenn die letzte noch mindestens $0.03$ lang sein soll?

b) Wie lang wäre eine Spirale, bestünde sie aus unendlich vielen Halbkreisen?

c) Wo auf der $x$ -Achse endet diese unendlich lange Spirale?

d) Aus wie vielen Halbkreisen besteht die Spirale mindestens, wenn ihre Länge mehr als $99\%$ der unendlich langen Spirale ist?

Solution

Hier seht ihr die originale Aufgabe und eine mögliche Lösung kommentiert.