Bruchterme

Quotient

Es kommt häufig vor, dass von einem Produkt der Wert bekannt ist und einer der Faktoren bestimmt werden muss; dessen Berechnung führt auf eine Division. Man bezeichnet deswegen die Division als Umkehrung der Multiplikation.

Definition 1: Quotient

Unter dem Quotienten – umgangssprachlich Bruch – der Zahlen $a, b \in \mathbb{Q}$ , wobei $b \neq 0$ , verstehen wir die Lösung der Gleichung $b \cdot x = a$ .

Statt $a \div b$ schreibt man auch $\frac{a}{b}$ .

Note 1

Im Falle $a = 0 = b$ ist jede Zahl Lösung, im Falle $b = 0$ und $a \neq 0$ gibt es keine Lösung. Der letzte Fall ist bekannt unter dem Merksatz:

Durch $0$ darf nicht dividiert werden!

Solution

Es sei $a \neq 0$ . Betrachte $\frac{a}{0} = x$ . Es folgt $a = x \cdot 0 = 0$ . Widerspruch zur Annahme $a \neq 0$ .

Erweitern und Kürzen

Die aus dem Rechnen mit Brüchen bekannten Operationen Erweitern und Kürzen lassen sich auch auf Bruchterme übertragen.

Das Fachwort «erweitern» wurde vermutlich von dem preussischen Gymnasiallehrer Johann Friedrich Kroll in seinem 1839 erschienenen Grundriss der Mathematik für Gymnasien und andere höhere Lehranstalten geprägt. Eine interessantere Geschichte hat das Fachwort «kürzen», das erst zu Anfang dieses Jahrhunderts aufgekommen zu sein scheint. Der aus Norddeutschland stammende Theologe und Mathematiker Jordanus Nemorarius (um 1180–1237), der 1222 zum zweiten Ordensgeneral der Dominikaner gewählt wurde, auf dessen Anregung die Universität in Toulouse gegründet wurde und dessen mathematische Schriften lange Zeit in Gebrauch waren, sagte dafür ad minorem denominationem reducere: auf eine kleinere Benennung zurückführen. Sein Zeitgenosse Gernardus sprach von subtiliores minutias in grossiores reducere: feiner gebaute Brüche auf gröbere zurückführen. Der Rechenmeister Christoff Rudolff (um 1500–1543) und andere überschrieben die betreffenden Kapitel mit «Prüch kleiner machen». Für «kürzen» sagte er «aufheben», worunter man beim mittelalterlichen Linienrechnen verstand, so viele Rechenpfennige wegzunehmen, dass eine Zahl durch möglichst wenige von ihnen ausgedrückt wurde. (Befanden sich 5 auf einer Linie, so nahm man 4 weg und setzte einen in den Zwischenraum zur nächsthöheren Linie.) Aus «aufheben» wurde zu Beginn des 19. Jahrhunderts «heben», das sich bis in unser Jahrhundert noch in den Rechenbüchern fand.

Definition 2: Erweitern und kürzen

Ein Bruchterm wird mit einem Term $T$ erweitert, indem sowohl der Zähler wie auch der Nenner des Bruchterms mit diesem Term $T$ multipliziert werden. Ein Bruchterm wird mit einem Term $T$ gekürzt, indem sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchterms durch diesen Term $T$ dividiert werden.

Den Zusammenhang zwischen dem ursprünglichen Term und dem erweiterten bzw. gekürzten Term klärt das folgende Theorem.

Theorem 1

Beim Erweitern und Kürzen entstehen äquivalente Bruchterme, nämlich $\frac{a}{b} = \frac{T \cdot a}{T \cdot b}$ bzw. $\frac{a \cdot T}{b \cdot T} = \frac{a}{b}$ , das heisst $\frac{a}{b}$ wird mit $T$ erweitert bzw. $\frac{aT}{bT}$ wird mit $T$ gekürzt.

Note 2

Weil beim Erweitern bzw. Kürzen Faktoren im Nenner hinzukommen bzw. wegfallen, kann sich die Definitionsmenge des Bruchterms ändern. Die Äquivalenz gilt natürlich nur in der gemeinsamen Definitionsmenge.

Example 1

Erweitert man $\frac{3-x}{3+x}$ , $D_{1} = \mathbb{Q} \setminus \{-3\}$ , mit dem Term $3-x$ , so entsteht der Bruchterm $\frac{(3-x)^{2}}{(3+x)(3-x)}$ , $D_{2} = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 3\}$ . Also gilt $\frac{3-x}{3+x} = \frac{(3-x)^{2}}{(3+x)(3-x)}$ in der gemeinsamen Definitionsmenge $D = D_{1} \cap D_{2} = \mathbb{Q} \setminus \{-3; 3\}$ .

Example 2

Soll der Bruchterm $\frac{3x^{2}-3x^{3}}{9x+27x^{2}}$ gekürzt werden, so müssen zuerst Zähler und Nenner faktorisiert werden. Wir erhalten $\frac{3x^{2}-3x^{3}}{9x+27x^{2}} = \frac{3x^{2}(1-x)}{9x(1+3x)}$ . Jetzt erkennt man die Definitionsmenge $D_{1} = \mathbb{Q} \setminus \{-\frac{1}{3}; 0\}$ . Wir können den Bruchterm mit $3x$ kürzen und erhalten $\frac{x(1-x)}{3(1+3x)}$ mit $D_{2} = \mathbb{Q} \setminus \{-\frac{1}{3}\}$ . Also gilt $\frac{3x^{2}-3x^{3}}{9x+27x^{2}} = \frac{x(1-x)}{3(1+3x)}$ in der gemeinsamen Definitionsmenge $D = D_{1} \cap D_{2} = \mathbb{Q} \setminus \{-\frac{1}{3}; 0\}$ .

Example 3

Enthalten die Terme mehr als eine Variable, dann ist die Angabe der Definitionsmenge recht kompliziert; wir verzichten daher in solchen Fällen darauf. Als Muster diene:

\frac{a+b}{a^{2}-b^{2}} = \frac{(a+b) \cdot 1}{(a+b)(a-b)} = \frac{1}{a-b}

Beim Rechnen mit Potenzen haben wir die Division zweier Potenzen mit gleicher Basis (z. B. $a^{5} : a^{3}$ ) ausgespart. Jetzt erkennen wir, dass es sich dabei um einen speziellen Bruchterm handelt. Schreibt man die Potenzen in Zähler und Nenner als Produkte, dann lassen sich die gemeinsamen Faktoren wegkürzen:

\frac{a^{5}}{a^{3}} = \frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a} = a \cdot a = a^{2}

Weil $a^{2} = a^{5-3}$ gilt, kann man auch schreiben:

\frac{a^{5}}{a^{3}} = a^{5-3} = a^{2}

In gleicher Weise erhält man etwa:

\frac{a^{3}}{a^{5}} = \frac{1}{a^{5-3}} = \frac{1}{a^{2}}

Das führt zu folgendem Theorem.

Theorem 2

Ist $m > n$ , dann gilt:

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}

Dabei muss $a \neq 0$ sein. Ist $m < n$ , dann gilt:

\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n-m}}

Sind im Zähler und im Nenner gleich viele Faktoren $a$ , dann hat der Bruch den Wert $1$ , z. B. $\frac{a^{4}}{a^{4}} = 1$ . Rechnet man $\frac{a^{5}}{a^{5}}$ genauso wie $\frac{a^{5}}{a^{3}} = a^{5-3} = a^{2}$ , dann erhält man $\frac{a^{5}}{a^{5}} = a^{5-5} = a^{0}$ . Da wir aber schon wissen, dass $\frac{a^{5}}{a^{5}}$ den Wert $1$ hat, legt man allgemein fest:

Definition 3

$a^{0} := 1$ für $a \neq 0$ .

$0^{0}$ wird ebenso wie $\frac{0}{0}$ nicht definiert.

Exercise 1: Recap ggT und kgV

Bestimme den ggT und das kgV der nebeneinanderstehenden Polynome.

a) $6a^2b, \; 15a^3b^2, \; 18a^4b^4$

b) $2t-5, \; 10-4t, \; 6t-15$

c) $d^2-9, \; d-3, \; d^2-9d+18$

Solution

a) $\operatorname{ggT} = 3a^2b, \quad \operatorname{kgV} = 90a^4b^4$

b) $\operatorname{ggT} = 2t-5, \quad \operatorname{kgV} = 6(2t-5)$

c) $\operatorname{ggT} = d-3, \quad \operatorname{kgV} = (d-3)(d+3)(d-6)$

Exercise 2: Gleichnamig machen

Mache gleichnamig.

a) $\frac{2}{a}, \; \frac{3}{b}, \; \frac{4}{c}$

b) $\frac{7}{8w}, \; \frac{5}{6w}$

c) $\frac{p}{e^2}, \; \frac{p}{e^3}$

d) $\frac{r^2}{9s^2u}, \; \frac{1}{r^2u^2}, \; \frac{8u}{15rs}$

Solution

a) $\frac{2bc}{abc}, \; \frac{3ac}{abc}, \; \frac{4ab}{abc}$

b) $\frac{21}{24w}, \; \frac{20}{24w}$

c) $\frac{ep}{e^3}, \; \frac{p}{e^3}$

d) $\frac{5r^4u}{45r^2s^2u^2}, \; \frac{45s^2}{45r^2s^2u^2}, \; \frac{24rsu^3}{45r^2s^2u^2}$

Exercise 3: Gleichnamig machen II

Mache gleichnamig.

a) $\frac{n}{n-5}, \; \frac{5}{5-n}$

b) $\frac{w-z}{w+z}, \; \frac{w+z}{w-z}$

c) $\frac{a}{a^2-b^2}, \; \frac{b}{b-a}$

Solution

a) $\frac{n}{n-5}, \; \frac{-5}{n-5}$

b) $\frac{(w-z)^2}{w^2-z^2}, \; \frac{(w+z)^2}{w^2-z^2}$

c) $\frac{a}{a^2-b^2}, \; \frac{-b(a+b)}{a^2-b^2}$

Exercise 4: Erweitern von Bruchtermen

Bringe die folgenden Bruchterme auf den angegebenen Nenner.

a) Erweitere $\frac{3u+v}{3u-v}$ mit $-(3u-v)$ .

b) Erweitere $\frac{7x-24y}{3x+y}$ mit $5x+4y$ .

c) Schreibe $5u^2-20uv$ als Bruch mit dem Nenner $u+4v$ .

d) Schreibe $3-7n$ als Bruch mit dem Zähler $9-49n^2$ .

e) Bringe $\frac{5}{2a+b}$ auf den Nenner $4a^2-b^2$ .

f) Bringe $\frac{7a+b}{2a-b}$ auf den Nenner $4a^2-b^2$ .

g) Bringe $\frac{6m+4n}{3m-2n}$ auf den Nenner $27m^2-36mn+12n^2$ .

h) Bringe $\frac{a-8b}{(3m-2n)^2}$ auf den Nenner $27m^2-36mn+12n^2$ .

i) Bringe $\frac{a+b}{a-b}$ auf den Nenner $a^2-b^2$ .

j) Bringe $\frac{x-y}{x+y}$ auf den Nenner $x^2-y^2$ .

k) Bringe $\frac{2a-3b}{5a-4b}$ auf den Nenner $25a^2-16b^2$ .

l) Bringe $\frac{a+b}{a-b}$ auf den Nenner $a^2-2ab+b^2$ .

m) Bringe $\frac{x-y}{x+y}$ auf den Nenner $x^2+2xy+y^2$ .

n) Bestimme den Nenner: $\frac{11x-7}{5x+3} = \frac{7-11x}{\dots}$

o) Bestimme den Nenner: $\frac{z-2}{12z+1} = \frac{5z^2-20}{\dots}$

p) Bestimme den Zähler: $\frac{x+1}{x+2} = \frac{\dots}{x^2+3x+2}$

q) Bestimme den Nenner: $\frac{x-4}{5-x} = \frac{x^2+x-20}{\dots}$

r) Erweitere $\frac{a-b}{a^2+ab+b^2}$ auf den Nenner $a^3-b^3$ .

Solution

a) $\frac{v^2-9u^2}{-(3u-v)^2}$

b) $\frac{35x^2-92xy-96y^2}{15x^2+17xy+4y^2}$

c) $\frac{5u(u^2-16v^2)}{u+4v} = \frac{5u(u-4v)(u+4v)}{u+4v}$

d) $\frac{9-49n^2}{3+7n}$

e) $\frac{5(2a-b)}{4a^2-b^2}$

f) $\frac{14a^2+9ab+b^2}{4a^2-b^2}$

g) $\frac{6(9m^2-4n^2)}{27m^2 - 36mn + 12n^2}$

h) $\frac{3(a-8b)}{27m^2-36mn+12n^2}$

i) $\frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}$

j) $\frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}$

k) $\frac{10a^2-7ab-12b^2}{25a^2-16b^2}$

l) $\frac{a^2-b^2}{(a-b)^2}$

m) $\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x+y)^2}$

n) $-5x-3$

o) $5(z+2)(12z+1)$

p) $(x+1)^2$

q) $25-x^2$

r) $\frac{(a-b)^2}{a^3-b^3}$

Exercise 5: Kürze

Kürze!

a) $\frac{12d}{9}$

b) $\frac{10r}{15r}$

c) $\frac{16xyz}{20xz}$

d) $\frac{24a^2bc^2}{56abc}$

e) $\frac{-72uv^3w^6}{-60uv^3w^5}$

Solution

a) $\frac{4d}{3}$

b) $\frac{2}{3}$

c) $\frac{4y}{5}$

d) $\frac{3ac}{7}$

e) $\frac{6w}{5}$

Exercise 6: Kürze II

Kürze!

a) $\frac{25}{5r+10}$

b) $\frac{uw}{uv+uw}$

c) $\frac{2m}{4mn-2m}$

d) $\frac{-36x^2y}{12x^2y-60xy}$

Solution

a) $\frac{5}{r+2}$

b) $\frac{w}{v+w}$

c) $\frac{1}{2n-1}$

d) $\frac{-3x}{x-5}$

Exercise 7: Kürze III

Kürze!

a) $\frac{7n+14}{7n-21}$

b) $\frac{2y+2}{5y+5}$

c) $\frac{rs-rt}{su-tu}$

d) $\frac{p^3-p^2}{p^3+p^2}$

Solution

a) $\frac{n+2}{n-3}$

b) $\frac{2}{5}$

c) $\frac{r}{u}$

d) $\frac{p-1}{p+1}$

Exercise 8: Kürze IV

Kürze!

a) $\frac{a^2-b^2}{3a+3b}$

b) $\frac{6u-8v}{9u^2-16v^2}$

c) $\frac{n^3-n}{n^3+n^2}$

Solution

a) $\frac{a-b}{3}$

b) $\frac{2}{3u+4v}$

c) $\frac{n-1}{n}$

Exercise 9: Kürze V

Kürze!

a) $\frac{x^2-1}{x+1}$

b) $\frac{x^3-1}{x^2+x+1}$

c) $\frac{x^3+x^2+x+1}{x^4-1}$

d) $\frac{1-x^4}{x^3+x^2+x+1}$

Solution

a) $x-1$

b) $x-1$

c) $\frac{1}{x-1}$

d) $1-x$

Exercise 10: Kürzen von Bruchtermen

Kürze die folgenden Bruchterme so weit wie möglich.

a) $\frac{a^2 x^3}{7a^2 x^3 y^2}$

b) $\frac{12x^4}{8x^3}$

c) $\frac{7a^3 b^2}{56a^2 b^3}$

d) $\frac{24a^5 b^7}{36a^8 b^4}$

e) $\frac{12ax - 18ay}{24ap + 30aq}$

f) $\frac{25rx - 35ry}{35sx - 49sy}$

g) $\frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2ab + b^2}$

h) $\frac{15xy - 25y^2}{9x^2 - 30xy + 25y^2}$

i) $\frac{21a^2 + 9a}{49a^2 + 42a + 9}$

j) $\frac{50a^3 - 72ab^2}{25a^2 - 60ab + 36b^2}$

k) $\frac{2x+1}{4x^2+4x+1}$

l) $\frac{4a+1}{32a^2-2}$

m) $\frac{64-25a^2}{64-80a+25a^2}$

n) $\frac{ax-bx+ay-by}{5a-5b}$

o) $\frac{1-x+x^2-x^3}{1+x^2}$

p) $\frac{a^2+ab-12b^2}{a^2-ab-20b^2}$

q) $\frac{p^2+pq-20q^2}{p^2+2pq-15q^2}$

r) $\frac{15r^2+rs-6s^2}{12r^2+5rs-2s^2}$

Solution

a) $\frac{1}{7y^2}$

b) $\frac{3x}{2}$

c) $\frac{a}{8b}$

d) $\frac{2b^3}{3a^3}$

e) $\frac{2x-3y}{4p+5q}$

f) $\frac{5r}{7s}$

g) $\frac{a+b}{a-b}$

h) $\frac{5y}{3x-5y}$

i) $\frac{3a}{7a+3}$

j) $\frac{2a(5a+6b)}{5a-6b}$

k) $\frac{1}{2x+1}$

l) $\frac{1}{2(4a-1)}$

m) $\frac{8+5a}{8-5a}$

n) $\frac{x+y}{5}$

o) $1-x$

p) $\frac{a-3b}{a-5b}$

q) $\frac{p-4q}{p-3q}$

r) $\frac{5r-3s}{4r-s}$