Addieren & subtrahieren von Bruchtermen

Titelblatt des Augsburger Raubdrucks (1514) des Rechenbüchleins von Jakob Köbel (1460/65–1533), das 1514 in Oppenheim erschienen war. Rechenbücher sind die ersten volkstümlichen Druckschriften, die im 16. Jh. in allen Ländern erscheinen. Das älteste, mit Einzelbuchstaben gesetzte Rechenbuch ist der um 1475 in Trient gedruckte, in bairischem späten Mittelhochdeutsch geschriebene Algorismus.

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Bruchterme

Vom Rechnen mit Zahlen ist die Regel bekannt, dass gleichnamige Brüche addiert bzw. subtrahiert werden, indem man ihre Zähler addiert bzw. subtrahiert und den Nenner beibehält. So ist z. B. 37+57=3+57=87\frac{3}{7}+\frac{5}{7}=\frac{3+5}{7}=\frac{8}{7} bzw. 37−57=3−57=−27=−27\frac{3}{7}-\frac{5}{7}=\frac{3-5}{7}=\frac{-2}{7}=-\frac{2}{7}.

Aus diesem Grund ergeben die Terme ac+bc\frac{a}{c}+\frac{b}{c} und a+bc\frac{a+b}{c} bei jeder Einsetzung den gleichen Zahlenwert. Also sind sie äquivalent. Damit ist bekannt, wie gleichnamige Bruchterme addiert werden:

Theorem 1

Gleichnamige Bruchterme werden addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält; kurz:

ac+bc=a+bc\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}
Example 1
4a2−6ab4a2−b2+b2+2ab4a2−b2=(4a2−6ab)+(b2+2ab)4a2−b2=4a2−4ab+b24a2−b2=(2a−b)2(2a−b)(2a+b)=2a−b2a+b\begin{align*} \frac{4a^{2}-6ab}{4a^{2}-b^{2}}+\frac{b^{2}+2ab}{4a^{2}-b^{2}} &= \frac{(4a^{2}-6ab)+(b^{2}+2ab)}{4a^{2}-b^{2}} \\ &= \frac{4a^{2}-4ab+b^{2}}{4a^{2}-b^{2}} \\ &= \frac{(2a-b)^{2}}{(2a-b)(2a+b)} \\ &= \frac{2a-b}{2a+b} \end{align*}

Auch bei der Subtraktion gleichnamiger Bruchterme ergeben die Terme ac−bc\frac{a}{c}-\frac{b}{c} und a−bc\frac{a-b}{c} nach dem Obigen bei jeder Einsetzung den gleichen Zahlenwert. Sie sind also äquivalent und es gilt:

Theorem 2

Gleichnamige Bruchterme werden voneinander subtrahiert, indem man die Zähler voneinander subtrahiert und den Nenner beibehält; kurz:

ac−bc=a−bc\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}
Note 1

Da der Bruchstrich eine Klammer ersetzt, muss der Zähler des Minuenden, falls er ein Aggregat ist, unbedingt in eine Klammer gesetzt werden, wenn die beiden Zähler auf den gemeinsamen Bruchstrich kommen.

Example 2
3x2−6x2+x−x2−4x−8x2+x=(3x2−6)−(x2−4x−8)x2+x=3x2−6−x2+4x+8x2+x=2x2+4x+2x2+x=2(x2+2x+1)x2+x=2(x+1)2x(x+1)=2(x+1)x\begin{align*} \frac{3x^{2}-6}{x^{2}+x}-\frac{x^{2}-4x-8}{x^{2}+x} &= \frac{(3x^{2}-6)-(x^{2}-4x-8)}{x^{2}+x} \\ &= \frac{3x^{2}-6-x^{2}+4x+8}{x^{2}+x} \\ &= \frac{2x^{2}+4x+2}{x^{2}+x} \\ &= \frac{2(x^{2}+2x+1)}{x^{2}+x} \\ &= \frac{2(x+1)^{2}}{x(x+1)} \\ &= \frac{2(x+1)}{x} \end{align*}

Sind mehr als zwei Bruchterme durch Plus- und Minuszeichen miteinander verknüpft, so erhält man ein Aggregat von Bruchtermen, für das die bekannten Regeln über das Rechnen mit Aggregaten gelten.

Example 3
3r+sr2−s2−7−2rr2−s2+4s+7r2−s2=(3r+s)−(7−2r)+(4s+7)r2−s2=3r+s−7+2r+4s+7r2−s2=5r+5sr2−s2=5(r+s)(r+s)(r−s)=5r−s\begin{align*} \frac{3r+s}{r^{2}-s^{2}}-\frac{7-2r}{r^{2}-s^{2}}+\frac{4s+7}{r^{2}-s^{2}} &= \frac{(3r+s)-(7-2r)+(4s+7)}{r^{2}-s^{2}} \\ &= \frac{3r+s-7+2r+4s+7}{r^{2}-s^{2}} \\ &= \frac{5r+5s}{r^{2}-s^{2}} \\ &= \frac{5(r+s)}{(r+s)(r-s)} \\ &= \frac{5}{r-s} \end{align*}
Exercise 1: Addiere, subtrahiere und vereinfache

Addiere, subtrahiere und vereinfache.

a) 2x3+4x3\frac{2x}{3}+\frac{4x}{3}

b) 78a−18a\frac{7}{8a}-\frac{1}{8a}

c) 53n+23n−53n\frac{5}{3n}+\frac{2}{3n}-\frac{5}{3n}

d) a+b2+a−b2\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}

e) a+nbn−a−nbn\frac{a+nb}{n}-\frac{a-nb}{n}

f) 3r+46+5r+76\frac{3r+4}{6}+\frac{5r+7}{6}

Solution

a) 2x2x
b) 34a\frac{3}{4a}
c) 23n\frac{2}{3n}
d) aa
e) 2b2b
f) 8r+116\frac{8r+11}{6}

Exercise 2: Addiere, subtrahiere und vereinfache II

Addiere, subtrahiere und vereinfache.

a) e2−e3\frac{e}{2}-\frac{e}{3}

b) 2p15q+8p9q\frac{2p}{15q}+\frac{8p}{9q}

c) 56ac−34cd\frac{5}{6ac}-\frac{3}{4cd}

d) 1r2−1r3\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r^3}

Solution

a) e6\frac{e}{6}
b) 46p45q\frac{46p}{45q}
c) −9a+10d12acd\frac{-9a+10d}{12acd}
d) r−1r3\frac{r-1}{r^3}

Exercise 3: Addiere, subtrahiere und vereinfache III

Addiere, subtrahiere und vereinfache.

a) 2r+36+1\frac{2r+3}{6}+1

b) t−4−t+12t-4-\frac{t+1}{2}

c) d−nd−2nd-\frac{nd-2}{n}

d) 1a+b+1c\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}

e) 8n+2+nn+5\frac{8}{n+2}+\frac{n}{n+5}

f) x+yx−y−x−yx+y\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}

g) 7e−1−61−e\frac{7}{e-1}-\frac{6}{1-e}

Solution

a) 2r+96\frac{2r+9}{6}
b) t−92\frac{t-9}{2}
c) 2n\frac{2}{n}
d) a+b+c(a+b)c\frac{a+b+c}{(a+b)c}
e) n2+10n+40(n+2)(n+5)\frac{n^2+10n+40}{(n+2)(n+5)}
f) 4xyx2−y2\frac{4xy}{x^2-y^2}
g) 13e−1\frac{13}{e-1}

Exercise 4: Gleichnamige Bruchterme addieren und subtrahieren

Addiere, subtrahiere und vereinfache.

a) 7a5x+9a5x−6a5x\frac{7a}{5x}+\frac{9a}{5x}-\frac{6a}{5x}

b) 13a7b−17a7b+19a7b−11a7b\frac{13a}{7b}-\frac{17a}{7b}+\frac{19a}{7b}-\frac{11a}{7b}

c) 2a−3b5+5a−6b5−4b−3a5−2b5\frac{2a-3b}{5}+\frac{5a-6b}{5}-\frac{4b-3a}{5}-\frac{2b}{5}

d) 7x−9y18−12x−13y18−14x+15y18+x−7y18\frac{7x-9y}{18}-\frac{12x-13y}{18}-\frac{14x+15y}{18}+\frac{x-7y}{18}

e) 5m−6n13+8n−9m13−7n−6m13+5n−2m13\frac{5m-6n}{13}+\frac{8n-9m}{13}-\frac{7n-6m}{13}+\frac{5n-2m}{13}

f) 2a2+3aba+b−3a2+2aba+b−a2+3b2a+b+5a2+ab+2b2a+b\frac{2a^{2}+3ab}{a+b}-\frac{3a^{2}+2ab}{a+b}-\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+b}+\frac{5a^{2}+ab+2b^{2}}{a+b}

g) x2+4xy+y2x−y−3xy−2x2+4y2x−y−2y2+2x2−3xyx−y\frac{x^{2}+4xy+y^{2}}{x-y}-\frac{3xy-2x^{2}+4y^{2}}{x-y}-\frac{2y^{2}+2x^{2}-3xy}{x-y}

h) 5a2+2ab−3b2a2−b2−3a2−5ab+b2a2−b2+a2−ab+7b2a2−b2\frac{5a^{2}+2ab-3b^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\frac{3a^{2}-5ab+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}+\frac{a^{2}-ab+7b^{2}}{a^{2}-b^{2}}

i) 2x2−4xy+5y2x2−y2−7xy−4x2+3y2x2−y2−5x2−9xy+y2x2−y2\frac{2x^{2}-4xy+5y^{2}}{x^{2}-y^{2}}-\frac{7xy-4x^{2}+3y^{2}}{x^{2}-y^{2}}-\frac{5x^{2}-9xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}

j) (a+b)22ab−(a−b)22ab\frac{(a+b)^{2}}{2ab}-\frac{(a-b)^{2}}{2ab}

k) (3p−2q)22pq−(5p+3q)22pq−(5q−4p)(4p−q)2pq\frac{(3p-2q)^{2}}{2pq}-\frac{(5p+3q)^{2}}{2pq}-\frac{(5q-4p)(4p-q)}{2pq}

Solution

a) =7a+9a−6a5x=10a5x=2ax= \frac{7a+9a-6a}{5x} = \frac{10a}{5x} = \frac{2a}{x}

b) =13a−17a+19a−11a7b=4a7b= \frac{13a-17a+19a-11a}{7b} = \frac{4a}{7b}

c) =(2a−3b)+(5a−6b)−(4b−3a)−2b5=2a−3b+5a−6b−4b+3a−2b5=10a−15b5=2a−3b= \frac{(2a-3b)+(5a-6b)-(4b-3a)-2b}{5} = \frac{2a-3b+5a-6b-4b+3a-2b}{5} = \frac{10a-15b}{5} = 2a-3b

d) =(7x−9y)−(12x−13y)−(14x+15y)+(x−7y)18=7x−9y−12x+13y−14x−15y+x−7y18=−18x−18y18=−(x+y)= \frac{(7x-9y)-(12x-13y)-(14x+15y)+(x-7y)}{18} = \frac{7x-9y-12x+13y-14x-15y+x-7y}{18} = \frac{-18x-18y}{18} = -(x+y)

e) =(5m−6n)+(8n−9m)−(7n−6m)+(5n−2m)13=5m−6n+8n−9m−7n+6m+5n−2m13=013=0= \frac{(5m-6n)+(8n-9m)-(7n-6m)+(5n-2m)}{13} = \frac{5m-6n+8n-9m-7n+6m+5n-2m}{13} = \frac{0}{13} = 0

f) =(2a2+3ab)−(3a2+2ab)−(a2+3b2)+(5a2+ab+2b2)a+b=3a2+2ab−b2a+b=(3a−b)(a+b)a+b=3a−b= \frac{(2a^2+3ab)-(3a^2+2ab)-(a^2+3b^2)+(5a^2+ab+2b^2)}{a+b} = \frac{3a^2+2ab-b^2}{a+b} = \frac{(3a-b)(a+b)}{a+b} = 3a-b

g) =(x2+4xy+y2)−(3xy−2x2+4y2)−(2y2+2x2−3xy)x−y=x2+4xy+y2−3xy+2x2−4y2−2y2−2x2+3xyx−y=x2+4xy−5y2x−y= \frac{(x^2+4xy+y^2)-(3xy-2x^2+4y^2)-(2y^2+2x^2-3xy)}{x-y} = \frac{x^2+4xy+y^2-3xy+2x^2-4y^2-2y^2-2x^2+3xy}{x-y} = \frac{x^2+4xy-5y^2}{x-y}

h) =(5a2+2ab−3b2)−(3a2−5ab+b2)+(a2−ab+7b2)a2−b2=3a2+6ab+3b2a2−b2=3(a+b)2(a−b)(a+b)=3(a+b)a−b= \frac{(5a^2+2ab-3b^2)-(3a^2-5ab+b^2)+(a^2-ab+7b^2)}{a^2-b^2} = \frac{3a^2+6ab+3b^2}{a^2-b^2} = \frac{3(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{3(a+b)}{a-b}

i) =(2x2−4xy+5y2)−(7xy−4x2+3y2)−(5x2−9xy+y2)x2−y2=x2−2xy+y2x2−y2=(x−y)2(x−y)(x+y)=x−yx+y= \frac{(2x^2-4xy+5y^2)-(7xy-4x^2+3y^2)-(5x^2-9xy+y^2)}{x^2-y^2} = \frac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}

j) =(a2+2ab+b2)−(a2−2ab+b2)2ab=4ab2ab=2= \frac{(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)}{2ab} = \frac{4ab}{2ab} = 2

k) Zähler 3 ausmultiplizieren: (5q−4p)(4p−q)=20pq−5q2−16p2+4pq=−16p2+24pq−5q2(5q-4p)(4p-q) = 20pq-5q^2-16p^2+4pq = -16p^2+24pq-5q^2. =(9p2−12pq+4q2)−(25p2+30pq+9q2)−(−16p2+24pq−5q2)2pq= \frac{(9p^2-12pq+4q^2) - (25p^2+30pq+9q^2) - (-16p^2+24pq-5q^2)}{2pq} =9p2−12pq+4q2−25p2−30pq−9q2+16p2−24pq+5q22pq=−66pq2pq=−33= \frac{9p^2-12pq+4q^2-25p^2-30pq-9q^2+16p^2-24pq+5q^2}{2pq} = \frac{-66pq}{2pq} = -33

Exercise 5: Ungleichnamige Bruchterme subtrahieren

Vereinfache den Term:

a+2ba2+2ab+b2−23a+3b\frac{a+2b}{a^{2}+2ab+b^{2}}-\frac{2}{3a+3b}
Solution

Faktorisieren wir zuerst die Nenner, um den Hauptnenner (HN) zu finden.

  • Nenner 1: a2+2ab+b2=(a+b)2a^{2}+2ab+b^{2} = (a+b)^{2}
  • Nenner 2: 3a+3b=3(a+b)3a+3b = 3(a+b) Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache: HN=3(a+b)2HN = 3(a+b)^{2}

Erweitern wir jetzt die Brüche auf den Hauptnenner.

  • Erweiterungsfaktor für Bruch 1 ist 3.
  • Erweiterungsfaktor für Bruch 2 ist (a+b)(a+b).

=3(a+2b)3(a+b)2−2(a+b)3(a+b)2= \frac{3(a+2b)}{3(a+b)^{2}} - \frac{2(a+b)}{3(a+b)^{2}} Nun, da die Nenner gleich sind, können die Zähler subtrahiert werden (Klammer beachten!). =3(a+2b)−2(a+b)3(a+b)2= \frac{3(a+2b)-2(a+b)}{3(a+b)^{2}} =3a+6b−2a−2b3(a+b)2= \frac{3a+6b-2a-2b}{3(a+b)^{2}} =a+4b3(a+b)2= \frac{a+4b}{3(a+b)^{2}} Das Ergebnis kann nicht weiter gekürzt werden.

Exercise 6: 🧩

a) Gib den vereinfachten Term an: 7x−9y18−12x−13y18−14x+15y18+x−7y18\frac{7x-9y}{18}-\frac{12x-13y}{18}-\frac{14x+15y}{18}+\frac{x-7y}{18}

b) Vereinfache: 2a2+3aba+b−3a2+2aba+b−a2+3b2a+b+5a2+ab+2b2a+b\frac{2a^2+3ab}{a+b}-\frac{3a^2+2ab}{a+b}-\frac{a^2+3b^2}{a+b}+\frac{5a^2+ab+2b^2}{a+b}

Solution

a) Hier muss besonders auf die Minuszeichen vor den Brüchen geachtet und Klammern gesetzt werden! =(7x−9y)−(12x−13y)−(14x+15y)+(x−7y)18= \frac{(7x-9y)-(12x-13y)-(14x+15y)+(x-7y)}{18} =7x−9y−12x+13y−14x−15y+x−7y18= \frac{7x-9y-12x+13y-14x-15y+x-7y}{18} =−18x−18y18= \frac{-18x - 18y}{18} =−18(x+y)18=−(x+y)= \frac{-18(x+y)}{18} = -(x+y)

b) Auch hier sind die Klammern entscheidend. =(2a2+3ab)−(3a2+2ab)−(a2+3b2)+(5a2+ab+2b2)a+b= \frac{(2a^2+3ab)-(3a^2+2ab)-(a^2+3b^2)+(5a^2+ab+2b^2)}{a+b} =2a2+3ab−3a2−2ab−a2−3b2+5a2+ab+2b2a+b= \frac{2a^2+3ab-3a^2-2ab-a^2-3b^2+5a^2+ab+2b^2}{a+b} =(2−3−1+5)a2+(3−2+1)ab+(−3+2)b2a+b= \frac{(2-3-1+5)a^2 + (3-2+1)ab + (-3+2)b^2}{a+b} =3a2+2ab−b2a+b= \frac{3a^2+2ab-b^2}{a+b}

Tipp: Der Zähler lässt sich noch faktorisieren zu (3a−b)(a+b)(3a-b)(a+b), womit das Endergebnis 3a−b3a-b lautet.

Exercise 7: 🧩

Vereinfache die folgenden Terme:

a) 2x2−4xy+5y2x2−y2−7xy−4x2+3y2x2−y2−5x2−9xy+y2x2−y2\frac{2x^2-4xy+5y^2}{x^2-y^2} - \frac{7xy-4x^2+3y^2}{x^2-y^2} - \frac{5x^2-9xy+y^2}{x^2-y^2}

b) (5r−8s)212rs−(3r+10s)212rs+(4r+6s)212rs\frac{(5r-8s)^2}{12rs} - \frac{(3r+10s)^2}{12rs} + \frac{(4r+6s)^2}{12rs}

c) (7a−8b)(5a+2b)4a−5b−(2a−b)(5a−4b)4a−5b−(9a+b)(a+5b)−59ab4a−5b\frac{(7a-8b)(5a+2b)}{4a-5b} - \frac{(2a-b)(5a-4b)}{4a-5b} - \frac{(9a+b)(a+5b)-59ab}{4a-5b}

Solution

a) Schreiben wir alle Zähler auf einen Bruchstrich und beachten dabei die Klammern. =(2x2−4xy+5y2)−(7xy−4x2+3y2)−(5x2−9xy+y2)x2−y2= \frac{(2x^2 - 4xy + 5y^2) - (7xy - 4x^2 + 3y^2) - (5x^2 - 9xy + y^2)}{x^2 - y^2} =2x2−4xy+5y2−7xy+4x2−3y2−5x2+9xy−y2x2−y2= \frac{2x^2 - 4xy + 5y^2 - 7xy + 4x^2 - 3y^2 - 5x^2 + 9xy - y^2}{x^2 - y^2} Fassen wir jetzt die Terme zusammen: =(2+4−5)x2+(−4−7+9)xy+(5−3−1)y2x2−y2= \frac{(2+4-5)x^2 + (-4-7+9)xy + (5-3-1)y^2}{x^2 - y^2} =x2−2xy+y2x2−y2= \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2} Kürzen wir am Ende (binomische Formeln erkennen!): =(x−y)2(x−y)(x+y)=x−yx+y= \frac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}

b) Multiplizieren wir zuerst die Binome im Zähler aus. =(25r2−80rs+64s2)−(9r2+60rs+100s2)+(16r2+48rs+36s2)12rs= \frac{(25r^2 - 80rs + 64s^2) - (9r^2 + 60rs + 100s^2) + (16r^2 + 48rs + 36s^2)}{12rs} Lösen wir die Klammern auf und fassen wir zusammen: =25r2−80rs+64s2−9r2−60rs−100s2+16r2+48rs+36s212rs= \frac{25r^2 - 80rs + 64s^2 - 9r^2 - 60rs - 100s^2 + 16r^2 + 48rs + 36s^2}{12rs} =(25−9+16)r2+(−80−60+48)rs+(64−100+36)s212rs= \frac{(25-9+16)r^2 + (-80-60+48)rs + (64-100+36)s^2}{12rs} =32r2−92rs12rs=4r(8r−23s)12rs=8r−23s3s= \frac{32r^2 - 92rs}{12rs} = \frac{4r(8r-23s)}{12rs} = \frac{8r-23s}{3s}

c) Multiplizieren wir alle Zähler-Terme einzeln aus. Zähler 1: (7a−8b)(5a+2b)=35a2−26ab−16b2(7a-8b)(5a+2b) = 35a^2 - 26ab - 16b^2 Zähler 2: (2a−b)(5a−4b)=10a2−13ab+4b2(2a-b)(5a-4b) = 10a^2 - 13ab + 4b^2 Zähler 3: (9a+b)(a+5b)−59ab=9a2+46ab+5b2−59ab=9a2−13ab+5b2(9a+b)(a+5b)-59ab = 9a^2 + 46ab + 5b^2 - 59ab = 9a^2 - 13ab + 5b^2 Schreiben wir alles auf einen Bruchstrich: =(35a2−26ab−16b2)−(10a2−13ab+4b2)−(9a2−13ab+5b2)4a−5b= \frac{(35a^2 - 26ab - 16b^2) - (10a^2 - 13ab + 4b^2) - (9a^2 - 13ab + 5b^2)}{4a-5b} =35a2−26ab−16b2−10a2+13ab−4b2−9a2+13ab−5b24a−5b= \frac{35a^2 - 26ab - 16b^2 - 10a^2 + 13ab - 4b^2 - 9a^2 + 13ab - 5b^2}{4a-5b} =16a2−25b24a−5b=(4a−5b)(4a+5b)4a−5b=4a+5b= \frac{16a^2 - 25b^2}{4a-5b} = \frac{(4a-5b)(4a+5b)}{4a-5b} = 4a+5b

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Bruchterme

Wir bilden unter Angabe der Erweiterungsfaktoren (EF) den Hauptnenner (HN):

Example 4

Für a+2ba2+2ab+b2−23a+3b\frac{a+2b}{a^{2}+2ab+b^{2}}-\frac{2}{3a+3b}:

  • Nenner 1: a2+2ab+b2=(a+b)2a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2} -> EF: 33
  • Nenner 2: 3a+3b=3(a+b)3a+3b=3(a+b) -> EF: (a+b)(a+b)
  • Hauptnenner: HN=3(a+b)2HN=3(a+b)^{2}

Also:

a+2b(a+b)2−23(a+b)=3(a+2b)3(a+b)2−2(a+b)3(a+b)2=3(a+2b)−2(a+b)3(a+b)2=3a+6b−2a−2b3(a+b)2=a+4b3(a+b)2\begin{align*} \frac{a+2b}{(a+b)^{2}}-\frac{2}{3(a+b)} &= \frac{3(a+2b)}{3(a+b)^{2}}-\frac{2(a+b)}{3(a+b)^{2}} \\ &= \frac{3(a+2b)-2(a+b)}{3(a+b)^{2}} \\ &= \frac{3a+6b-2a-2b}{3(a+b)^{2}} \\ &= \frac{a+4b}{3(a+b)^{2}} \end{align*}
Example 5

Für 12x3+4x2+215−3x−15−19x−8x212x3−36x2−120x\frac{1}{2x^{3}+4x^{2}}+\frac{2}{15-3x}-\frac{15-19x-8x^{2}}{12x^{3}-36x^{2}-120x}:

Wir bilden durch Faktorisieren den Hauptnenner:

  • 2x3+4x2=2x2(x+2)2x^{3}+4x^{2}=2x^{2}(x+2)
  • 15−3x=3(5−x)=−3(x−5)15-3x=3(5-x)=-3(x-5)
  • 12x3−36x2−120x=12x(x2−3x−10)=12x(x+2)(x−5)12x^{3}-36x^{2}-120x=12x(x^{2}-3x-10)=12x(x+2)(x-5)
  • HN=12x2(x+2)(x−5)HN=12x^{2}(x+2)(x-5)

Beim Zusammenfassen der gleichnamig gemachten Brüche ersparen wir uns viel Schreibarbeit, wenn wir für den Hauptnennerterm, solange wir nur im Zähler rechnen, einfach kurz HN schreiben:

12x2(x+2)−23(x−5)−15−19x−8x212x(x+2)(x−5)=1⋅6(x−5)−2⋅4x2(x+2)−x(15−19x−8x2)HN=6x−30−(8x3+16x2)−(15x−19x2−8x3)HN=6x−30−8x3−16x2−15x+19x2+8x3HN=3x2−9x−30HN=3(x2−3x−10)12x2(x+2)(x−5)=3(x+2)(x−5)12x2(x+2)(x−5)=312x2=14x2\begin{align*} & \frac{1}{2x^{2}(x+2)} - \frac{2}{3(x-5)} - \frac{15-19x-8x^{2}}{12x(x+2)(x-5)} \\ &= \frac{1 \cdot 6(x-5) - 2 \cdot 4x^2(x+2) - x(15-19x-8x^{2})}{HN} \\ &= \frac{6x-30 - (8x^{3}+16x^{2}) - (15x-19x^{2}-8x^{3})}{HN} \\ &= \frac{6x-30-8x^{3}-16x^{2}-15x+19x^{2}+8x^{3}}{HN} \\ &= \frac{3x^{2}-9x-30}{HN} = \frac{3(x^{2}-3x-10)}{12x^{2}(x+2)(x-5)} \\ &= \frac{3(x+2)(x-5)}{12x^{2}(x+2)(x-5)} = \frac{3}{12x^2} = \frac{1}{4x^{2}} \end{align*}

Nun wissen wir, wie Aggregate aus Bruchterme berechnet werden können. Was machen wir aber mit dem Term 3x+6x7x−23x+\frac{6x}{7x-2}? Wir erinnern uns, dass jeder Nicht-Bruchterm als Bruchterm mit dem Nenner 1 geschrieben werden kann. Das machen wir:

Example 6
3x+6x7x−2=3x1+6x7x−2=3x(7x−2)+6x⋅17x−2=21x2−6x+6x7x−2=21x27x−2\begin{align*} 3x+\frac{6x}{7x-2} &= \frac{3x}{1}+\frac{6x}{7x-2} \\ &= \frac{3x(7x-2)+6x \cdot 1}{7x-2} \\ &= \frac{21x^{2}-6x+6x}{7x-2} = \frac{21x^{2}}{7x-2} \end{align*}

Übungen zu ungleichnamigen Bruchtermen

Exercise 8: Vermischte Aufgaben zum Addieren und Subtrahieren

Berechne und vereinfache.

a) 4a−5b6a+7b−5b+4a6a−7b\frac{4a-5b}{6a+7b}-\frac{5b+4a}{6a-7b}

b) a−b16−2a+b36+−a+b−24\frac{a-b}{16}-\frac{2a+b}{36}+\frac{-a+b}{-24}

c) 1a−1b+a+bab\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{a+b}{ab}

d) 3z−115a−9+1−4z20a−12+−321−35a\frac{3z-1}{15a-9}+\frac{1-4z}{20a-12}+\frac{-3}{21-35a}

e) 4a+14a−7−716a2−49\frac{4a+1}{4a-7}-\frac{7}{16a^{2}-49}

f) x+ba2−b2−x+ba2−ab\frac{x+b}{a^{2}-b^{2}}-\frac{x+b}{a^{2}-ab}

g) 324x−4−6x−1.2536x2−12x+1\frac{3}{24x-4}-\frac{6x-1.25}{36x^{2}-12x+1}

h) −13xy2−26yz+169z2+13x169z2−13yz\frac{-13x}{y^{2}-26yz+169z^{2}}+\frac{13x}{169z^{2}-13yz}

i) 5s+7t2−4t+4−6s−74−t2\frac{5s+7}{t^{2}-4t+4}-\frac{6s-7}{4-t^{2}}

j) x2x−6−x2x2−4x+3\frac{x}{2x-6}-\frac{x^{2}}{x^{2}-4x+3}

k) 2a2−a+2112a2−27+2a−76a−9−1\frac{2a^{2}-a+21}{12a^{2}-27}+\frac{2a-7}{6a-9}-1

l) 5−5x+9x+2+8x4−165-\frac{5x+9}{x+2}+\frac{8}{x^{4}-16}

Solution

a) Der Hauptnenner (HN) ist (6a+7b)(6a−7b)=36a2−49b2(6a+7b)(6a-7b) = 36a^2-49b^2.

=(4a−5b)(6a−7b)−(4a+5b)(6a+7b)36a2−49b2=(24a2−58ab+35b2)−(24a2+58ab+35b2)36a2−49b2=−116ab36a2−49b2\begin{align*} &= \frac{(4a-5b)(6a-7b) - (4a+5b)(6a+7b)}{36a^2-49b^2} \\ &= \frac{(24a^2 - 58ab + 35b^2) - (24a^2 + 58ab + 35b^2)}{36a^2-49b^2} \\ &= \frac{-116ab}{36a^2-49b^2} \end{align*}

b) Der HN von 16, 36 und 24 ist 144. Der letzte Term wird zu a−b24\frac{a-b}{24}.

=9(a−b)144−4(2a+b)144+6(a−b)144=9a−9b−(8a+4b)+6a−6b144=9a−9b−8a−4b+6a−6b144=7a−19b144\begin{align*} &= \frac{9(a-b)}{144}-\frac{4(2a+b)}{144}+\frac{6(a-b)}{144} \\ &= \frac{9a-9b - (8a+4b) + 6a-6b}{144} \\ &= \frac{9a-9b-8a-4b+6a-6b}{144} = \frac{7a-19b}{144} \end{align*}

c) Der HN ist abab.

=bab−aab+a+bab=b−a+a+bab=2bab=2a\begin{align*} &= \frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}+\frac{a+b}{ab} \\ &= \frac{b-a+a+b}{ab} = \frac{2b}{ab} = \frac{2}{a} \end{align*}

d) Nenner: 3(5a−3)3(5a-3), 4(5a−3)4(5a-3), −7(5a−3)-7(5a-3). Der HN ist 84(5a−3)84(5a-3).

=28(3z−1)84(5a−3)+21(1−4z)84(5a−3)+−12(−3)84(5a−3)=84z−28+21−84z+3684(5a−3)=2984(5a−3)\begin{align*} &= \frac{28(3z-1)}{84(5a-3)} + \frac{21(1-4z)}{84(5a-3)} + \frac{-12(-3)}{84(5a-3)} \\ &= \frac{84z-28+21-84z+36}{84(5a-3)} = \frac{29}{84(5a-3)} \end{align*}

e) Der HN ist 16a2−49=(4a−7)(4a+7)16a^2-49 = (4a-7)(4a+7).

=(4a+1)(4a+7)(4a−7)(4a+7)−7(4a−7)(4a+7)=16a2+32a+7−7(4a−7)(4a+7)=16a(a+2)16a2−49\begin{align*} &= \frac{(4a+1)(4a+7)}{(4a-7)(4a+7)} - \frac{7}{(4a-7)(4a+7)} \\ &= \frac{16a^2+32a+7-7}{(4a-7)(4a+7)} = \frac{16a(a+2)}{16a^2-49} \end{align*}

f) Nenner: (a−b)(a+b)(a-b)(a+b) und a(a−b)a(a-b). Der HN ist a(a−b)(a+b)a(a-b)(a+b).

=a(x+b)a(a−b)(a+b)−(a+b)(x+b)a(a−b)(a+b)=ax+ab−(ax+bx+ab+b2)a(a−b)(a+b)=−bx−b2a(a2−b2)=−b(x+b)a(a2−b2)\begin{align*} &= \frac{a(x+b)}{a(a-b)(a+b)} - \frac{(a+b)(x+b)}{a(a-b)(a+b)} \\ &= \frac{ax+ab - (ax+bx+ab+b^2)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{-bx-b^2}{a(a^2-b^2)} \\ &= \frac{-b(x+b)}{a(a^2-b^2)} \end{align*}

g) Nenner: 4(6x−1)4(6x-1) und (6x−1)2(6x-1)^2. Der HN ist 4(6x−1)24(6x-1)^2.

=3(6x−1)4(6x−1)2−4(6x−1.25)4(6x−1)2=18x−3−(24x−5)4(6x−1)2=−6x+24(6x−1)2=−2(3x−1)4(6x−1)2=−(3x−1)2(6x−1)2\begin{align*} &= \frac{3(6x-1)}{4(6x-1)^2} - \frac{4(6x-1.25)}{4(6x-1)^2} \\ &= \frac{18x-3 - (24x-5)}{4(6x-1)^2} = \frac{-6x+2}{4(6x-1)^2} \\ &= \frac{-2(3x-1)}{4(6x-1)^2} = \frac{-(3x-1)}{2(6x-1)^2} \end{align*}

h) Nenner: (y−13z)2(y-13z)^2 und −13z(y−13z)-13z(y-13z). Der HN ist 13z(y−13z)213z(y-13z)^2.

=−13x⋅13z13z(y−13z)2+13x⋅−(y−13z)13z(y−13z)2=−169xz−13x(y−13z)13z(y−13z)2=−169xz−13xy+169xz13z(y−13z)2=−13xy13z(y−13z)2=−xyz(y−13z)2\begin{align*} &= \frac{-13x \cdot 13z}{13z(y-13z)^2} + \frac{13x \cdot -(y-13z)}{13z(y-13z)^2} \\ &= \frac{-169xz - 13x(y-13z)}{13z(y-13z)^2} = \frac{-169xz - 13xy + 169xz}{13z(y-13z)^2} \\ &= \frac{-13xy}{13z(y-13z)^2} = \frac{-xy}{z(y-13z)^2} \end{align*}

i) Nenner: (t−2)2(t-2)^2 und −(t−2)(t+2)-(t-2)(t+2). Der HN ist (t−2)2(t+2)(t-2)^2(t+2).

=(5s+7)(t+2)(t−2)2(t+2)+(6s−7)(t−2)(t−2)2(t+2)=(5st+10s+7t+14)+(6st−12s−7t+14)(t−2)2(t+2)=11st−2s+28(t−2)2(t+2)\begin{align*} &= \frac{(5s+7)(t+2)}{(t-2)^2(t+2)} + \frac{(6s-7)(t-2)}{(t-2)^2(t+2)} \\ &= \frac{(5st+10s+7t+14) + (6st-12s-7t+14)}{(t-2)^2(t+2)} \\ &= \frac{11st-2s+28}{(t-2)^2(t+2)} \end{align*}

j) Nenner: 2(x−3)2(x-3) und (x−1)(x−3)(x-1)(x-3). Der HN ist 2(x−1)(x−3)2(x-1)(x-3).

=x(x−1)2(x−1)(x−3)−2x22(x−1)(x−3)=x2−x−2x22(x−1)(x−3)=−x2−x2(x−1)(x−3)=−x(x+1)2(x−1)(x−3)\begin{align*} &= \frac{x(x-1)}{2(x-1)(x-3)} - \frac{2x^2}{2(x-1)(x-3)} \\ &= \frac{x^2-x-2x^2}{2(x-1)(x-3)} = \frac{-x^2-x}{2(x-1)(x-3)} = \frac{-x(x+1)}{2(x-1)(x-3)} \end{align*}

k) HN: 3(2a−3)(2a+3)3(2a-3)(2a+3).

=2a2−a+213(2a−3)(2a+3)+(2a−7)(2a+3)3(2a−3)(2a+3)−3(4a2−9)3(2a−3)(2a+3)=2a2−a+21+(4a2−8a−21)−(12a2−27)3(2a−3)(2a+3)=−6a2−9a+273(2a−3)(2a+3)=−3(2a2+3a−9)3(2a−3)(2a+3)=−(2a−3)(a+3)(2a−3)(2a+3)=−(a+3)2a+3\begin{align*} &= \frac{2a^2-a+21}{3(2a-3)(2a+3)} + \frac{(2a-7)(2a+3)}{3(2a-3)(2a+3)} - \frac{3(4a^2-9)}{3(2a-3)(2a+3)} \\ &= \frac{2a^2-a+21 + (4a^2-8a-21) - (12a^2-27)}{3(2a-3)(2a+3)} \\ &= \frac{-6a^2-9a+27}{3(2a-3)(2a+3)} = \frac{-3(2a^2+3a-9)}{3(2a-3)(2a+3)} \\ &= \frac{-(2a-3)(a+3)}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{-(a+3)}{2a+3} \end{align*}

l) HN: x4−16=(x−2)(x+2)(x2+4)x^4-16 = (x-2)(x+2)(x^2+4).

=5(x4−16)x4−16−(5x+9)(x−2)(x2+4)x4−16+8x4−16=5x4−80−(5x2−x−18)(x2+4)+8x4−16=5x4−72−(5x4+20x2−x3−4x−18x2−72)x4−16=5x4−72−5x4−2x2+x3+4x+72x4−16=x3−2x2+4x(x−2)(x+2)(x2+4)=x(x2−2x+4)(x−2)(x+2)(x2+4)\begin{align*} &= \frac{5(x^4-16)}{x^4-16} - \frac{(5x+9)(x-2)(x^2+4)}{x^4-16} + \frac{8}{x^4-16} \\ &= \frac{5x^4-80 - (5x^2-x-18)(x^2+4) + 8}{x^4-16} \\ &= \frac{5x^4-72 - (5x^4+20x^2-x^3-4x-18x^2-72)}{x^4-16} \\ &= \frac{5x^4-72 - 5x^4 - 2x^2 + x^3 + 4x + 72}{x^4-16} \\ &= \frac{x^3-2x^2+4x}{(x-2)(x+2)(x^2+4)} = \frac{x(x^2-2x+4)}{(x-2)(x+2)(x^2+4)} \end{align*}
Exercise 9: Verschiedene Nenner-Typen

Vereinfache die Terme.

a) 3a4a−1−2b+13b\frac{3a}{4a-1} - \frac{2b+1}{3b}

b) xy−yx\frac{x}{y} - \frac{y}{x}

Solution

a) Der Hauptnenner (HN) ist das Produkt der beiden Nenner: HN=3b(4a−1)HN = 3b(4a-1). =3a⋅3b(4a−1)⋅3b−(2b+1)(4a−1)3b(4a−1)= \frac{3a \cdot 3b}{(4a-1) \cdot 3b} - \frac{(2b+1)(4a-1)}{3b(4a-1)} =9ab−(8ab−2b+4a−1)3b(4a−1)= \frac{9ab - (8ab - 2b + 4a - 1)}{3b(4a-1)} =9ab−8ab+2b−4a+13b(4a−1)= \frac{9ab - 8ab + 2b - 4a + 1}{3b(4a-1)} =ab−4a+2b+13b(4a−1)= \frac{ab - 4a + 2b + 1}{3b(4a-1)}

b) Der Hauptnenner ist xyxy. =x⋅xy⋅x−y⋅yx⋅y= \frac{x \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y \cdot y}{x \cdot y} =x2−y2xy= \frac{x^2 - y^2}{xy} Das lässt sich nicht weiter vereinfachen.

Exercise 10: Nenner faktorisieren

Vereinfache die Terme.

a) x+ba2−b2−x+ba2−ab\frac{x+b}{a^2-b^2} - \frac{x+b}{a^2-ab}

b) x2x−6−x2x2−4x+3\frac{x}{2x-6} - \frac{x^2}{x^2-4x+3}

Solution

a) Faktorisieren wir zuerst die Nenner: Nenner 1: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2 = (a-b)(a+b) Nenner 2: a2−ab=a(a−b)a^2-ab = a(a-b) Der Hauptnenner ist also HN=a(a−b)(a+b)HN = a(a-b)(a+b). =a(x+b)a(a−b)(a+b)−(x+b)(a+b)a(a−b)(a+b)= \frac{a(x+b)}{a(a-b)(a+b)} - \frac{(x+b)(a+b)}{a(a-b)(a+b)} =ax+ab−(ax+bx+ab+b2)a(a−b)(a+b)= \frac{ax+ab - (ax+bx+ab+b^2)}{a(a-b)(a+b)} =ax+ab−ax−bx−ab−b2a(a2−b2)= \frac{ax+ab-ax-bx-ab-b^2}{a(a^2-b^2)} =−bx−b2a(a2−b2)=−b(x+b)a(a2−b2)= \frac{-bx-b^2}{a(a^2-b^2)} = \frac{-b(x+b)}{a(a^2-b^2)}

b) Faktorisieren wir die Nenner: Nenner 1: 2x−6=2(x−3)2x-6 = 2(x-3) Nenner 2: x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3 = (x-1)(x-3) Der Hauptnenner ist HN=2(x−1)(x−3)HN = 2(x-1)(x-3). =x(x−1)2(x−1)(x−3)−x2⋅22(x−1)(x−3)= \frac{x(x-1)}{2(x-1)(x-3)} - \frac{x^2 \cdot 2}{2(x-1)(x-3)} =x2−x−2x22(x−1)(x−3)= \frac{x^2-x - 2x^2}{2(x-1)(x-3)} =−x2−x2(x−1)(x−3)=−x(x+1)2(x−1)(x−3)= \frac{-x^2-x}{2(x-1)(x-3)} = \frac{-x(x+1)}{2(x-1)(x-3)}

Exercise 11: Hauptnenner-Training mit Binomen

Berechne die Terme.

a) 3p+4q3p−4q+3p−4q3p+4q−48pq9p2−16q2\frac{3p+4q}{3p-4q} + \frac{3p-4q}{3p+4q} - \frac{48pq}{9p^2-16q^2}

b) 324x−4−6x−1.2536x2−12x+1\frac{3}{24x-4} - \frac{6x-1.25}{36x^2-12x+1}

c) 3a−b243a2−3b2+b−3a27ab−3b2\frac{3a-b}{243a^2-3b^2} + \frac{b-3a}{27ab-3b^2}

Solution

a) Der Hauptnenner ist die 3. binomische Formel: HN=(3p−4q)(3p+4q)=9p2−16q2HN = (3p-4q)(3p+4q) = 9p^2-16q^2. =(3p+4q)2(3p−4q)(3p+4q)+(3p−4q)2(3p−4q)(3p+4q)−48pq9p2−16q2= \frac{(3p+4q)^2}{(3p-4q)(3p+4q)} + \frac{(3p-4q)^2}{(3p-4q)(3p+4q)} - \frac{48pq}{9p^2-16q^2} Multiplizieren wir die Zähler aus: =(9p2+24pq+16q2)+(9p2−24pq+16q2)−48pq9p2−16q2= \frac{(9p^2+24pq+16q^2) + (9p^2-24pq+16q^2) - 48pq}{9p^2-16q^2} Fassen wir zusammen: =18p2+32q2−48pq9p2−16q2=2(9p2−24pq+16q2)9p2−16q2= \frac{18p^2+32q^2-48pq}{9p^2-16q^2} = \frac{2(9p^2-24pq+16q^2)}{9p^2-16q^2} Schreiben wir den Zähler wieder als Binom und kürzen: =2(3p−4q)2(3p−4q)(3p+4q)=2(3p−4q)3p+4q= \frac{2(3p-4q)^2}{(3p-4q)(3p+4q)} = \frac{2(3p-4q)}{3p+4q}

b) Faktorisieren wir die Nenner: 24x−4=4(6x−1)24x-4 = 4(6x-1) und 36x2−12x+1=(6x−1)236x^2-12x+1 = (6x-1)^2. Der Hauptnenner ist HN=4(6x−1)2HN = 4(6x-1)^2. =3⋅(6x−1)4(6x−1)2−4⋅(6x−1.25)4(6x−1)2= \frac{3 \cdot (6x-1)}{4(6x-1)^2} - \frac{4 \cdot (6x-1.25)}{4(6x-1)^2} =18x−3−(24x−5)4(6x−1)2=18x−3−24x+54(6x−1)2= \frac{18x-3 - (24x-5)}{4(6x-1)^2} = \frac{18x-3-24x+5}{4(6x-1)^2} =−6x+24(6x−1)2=−2(3x−1)4(6x−1)2=−(3x−1)2(6x−1)2= \frac{-6x+2}{4(6x-1)^2} = \frac{-2(3x-1)}{4(6x-1)^2} = \frac{-(3x-1)}{2(6x-1)^2}

c) Faktorisieren wir die Nenner: 243a2−3b2=3(81a2−b2)=3(9a−b)(9a+b)243a^2-3b^2 = 3(81a^2-b^2) = 3(9a-b)(9a+b) und 27ab−3b2=3b(9a−b)27ab-3b^2 = 3b(9a-b). Schreiben wir den Zähler des zweiten Bruchs um: (b−3a)=−(3a−b)(b-3a) = -(3a-b). =3a−b3(9a−b)(9a+b)−3a−b3b(9a−b)= \frac{3a-b}{3(9a-b)(9a+b)} - \frac{3a-b}{3b(9a-b)} Der Hauptnenner ist HN=3b(9a−b)(9a+b)HN = 3b(9a-b)(9a+b). =b(3a−b)HN−(9a+b)(3a−b)HN= \frac{b(3a-b)}{HN} - \frac{(9a+b)(3a-b)}{HN} Klammern wir den gemeinsamen Faktor (3a−b)(3a-b) im Zähler aus: =(3a−b)⋅[b−(9a+b)]HN=(3a−b)(b−9a−b)HN= \frac{(3a-b) \cdot [b-(9a+b)]}{HN} = \frac{(3a-b)(b-9a-b)}{HN} =(3a−b)(−9a)3b(9a−b)(9a+b)=−3a(3a−b)b(9a−b)(9a+b)= \frac{(3a-b)(-9a)}{3b(9a-b)(9a+b)} = \frac{-3a(3a-b)}{b(9a-b)(9a+b)}