Polynomdivision

Note 1: Divisionsalgorithmus

Gegeben ist ein Polynom P(x)P(x), das durch ein anderes Polynom D(x)D(x) geteilt werden soll.

  1. Ordnen der Terme:

    Man stellt sicher, dass sowohl P(x)P(x) als auch D(x)D(x) nach absteigenden Potenzen von xx sortiert sind. Fehlende Potenzen ersetzt man durch Terme mit dem Koeffizienten 0.

  2. Ersten Term des Quotienten berechnen:

    Dividiere den höchsten Term von P(x)P(x) durch den höchsten Term von D(x)D(x):

    ho¨chster Term von P(x)ho¨chster Term von D(x)→erster Term des Quotienten\frac{\text{höchster Term von } P(x)}{\text{höchster Term von } D(x)} \rightarrow \text{erster Term des Quotienten}

  3. Zurückmultiplizieren:

    Man multipliziert den gesamten Divisor D(x)D(x) mit dem eben bestimmten Term des Quotienten.

  4. Subtrahieren:

    Man subtrahiert das Produkt von P(x)P(x):

    P(x)−[Produkt aus Schritt 3]=neuer RestP(x) - \left[\text{Produkt aus Schritt 3}\right] = \text{neuer Rest}

  5. Wiederholen:

    Der neue Rest wird als neuer „Dividend“ verwendet und die Schritte 2 bis 4 werden wiederholt, bis der Grad des Rests kleiner ist als der Grad von D(x)D(x).

  6. Ergebnis notieren:

    Der Quotient besteht aus allen gesammelten Termen. Wenn ein Rest bleibt, schreibt man ihn als Bruch:

    RestD(x)\frac{\text{Rest}}{D(x)} P(x)D(x)=Quotient+RestD(x)\frac{P(x)}{D(x)} = \text{Quotient} + \frac{\text{Rest}}{D(x)}
Example 1

Wir dividieren folgendes Polynom:

P(x)=x3−2x2+4x−8P(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 8

durch

D(x)=x−2D(x) = x - 2
  1. Division des höchsten Terms des Dividenden durch den höchsten Term des Divisors:
x3x=x2\frac{x^3}{x} = x^2
  1. Multiplikation x2⋅(x−2)x^2 \cdot (x - 2):
x3−2x2x^3 - 2x^2

Subtraktion vom Dividenden:

(x3−2x2+4x−8)−(x3−2x2)=4x−8(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) - (x^3 - 2x^2) = 4x - 8
  1. Division des höchsten Terms des neuen Restes durch xx:
4xx=4\frac{4x}{x} = 4
4⋅(x−2)=4x−8(4x−8)−(4x−8)=0\begin{align*} 4 \cdot (x - 2) &= 4x - 8 \\ (4x - 8) - (4x - 8) &= 0 \end{align*}

Der Quotient ist:

x2+4x^2 + 4

Da der Rest 00 ist, geht die Division ohne Rest auf.

Resultat:

(x3−2x2+4x−8):(x−2)=x2+4(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) : (x - 2) = x^2 + 4
Exercise 1: Division ohne Rest

Berechne die folgenden Divisionen:

a) (6a3−14a2+17a−12):(3a−4)(6a^3 - 14a^2 + 17a - 12) : (3a - 4)

b) (y3−10y2+16y+48):(y−6)(y^3 - 10y^2 + 16y + 48) : (y - 6)

c) (n4+5n−6):(n+2)(n^4 + 5n - 6) : (n + 2)

d) (c3+1.5c2−2c−20):(2c−5)(c^3 + 1.5c^2 - 2c - 20) : (2c - 5)

e) (x3−2x2−5x+6):(x−1)(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1)

Solution

a) 2a2−2a+32a^2 - 2a + 3

b) y2−4y−8y^2 - 4y - 8

c) n3−2n2+4n−3n^3 - 2n^2 + 4n - 3

d) 0.5c2+2c+40.5c^2 + 2c + 4

e) x2−x−6x^2 - x - 6

Exercise 2: Division ohne Rest II

Berechne die folgenden Divisionen:

a) (4a3−12a2+a+4):(2a+1)(4a^3 - 12a^2 + a + 4) : (2a + 1)

b) (z3+9z2−100):(z+5)(z^3 + 9z^2 - 100) : (z + 5)

c) (k5−1):(k−1)(k^5 - 1) : (k - 1)

d) (x4−3x2+1):(x2−x−1)(x^4 - 3x^2 + 1) : (x^2 - x - 1)

Solution

a) 2a2−7a+42a^2 - 7a + 4

b) z2+4z−20z^2 + 4z - 20

c) k4+k3+k2+k+1k^4 + k^3 + k^2 + k + 1

d) x2+x−1x^2 + x - 1

Exercise 3: 🧩

Berechne die folgenden Divisionen:

a) (6a3−17a2+21a−30):(2a−5)(6a^3 - 17a^2 + 21a - 30) : (2a - 5)

b) (n4−3n−22):(n+2)(n^4 - 3n - 22) : (n + 2)

c) (6z4+8z3−19z2−7z−12):(3z2−4)(6z^4 + 8z^3 - 19z^2 - 7z - 12) : (3z^2 - 4)

d) (8x7−10x6+x5−16x4+2x3+25x2+14x−24):(2x3−x2+3x−4)(8x^7 - 10x^6 + x^5 - 16x^4 + 2x^3 + 25x^2 + 14x - 24) : (2x^3 - x^2 + 3x - 4)

e) (x4−3x2+2):(x2+x−1)(x^4 - 3x^2 + 2) : (x^2 + x - 1)

Solution

a) 3a2−a+83a^2 - a + 8, Rest 1010

b) n3−2n2+4n−11n^3 - 2n^2 + 4n - 11

c) 2z2+83z−1132z^2 + \tfrac{8}{3}z - \tfrac{11}{3}, Rest 113z−803\tfrac{11}{3}z - \tfrac{80}{3}

d) 4x4−3x3−7x2+x+64x^4 - 3x^3 - 7x^2 + x + 6

e) x2−x−1+1x2+x−1x^2 - x - 1 + \frac{1}{x^2 + x - 1}