Recap Durchschnittliche Änderung

Recap Differenzenquotient

Bei vielen funktionalen Zusammenhängen ist nicht nur interessant, welche Werte eine Funktion $f$ annimmt und ob sie stetig ist, sondern auch, wie rasch bzw. stark die Funktionswerte $y=f(x)$ zu- oder abnehmen, wenn sich die $x$ -Werte ändern.

Definition 1: Differenzenquotient

Der Differenzenquotient

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \frac{\Delta f}{\Delta x}

gibt die durchschnittliche Änderung der Funktion $f$ im Intervall $[x_0,x_0+h]$ an.

Mit ihm erhält man eine erste Aussage über das Änderungsverhalten der Funktion $f$ . Natürlich kann dieser Differenzenquotient je nach Funktion verschiedene Bedeutungen haben:

Example 1

Der Differenzenquotient

\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \tan(\alpha) = m

entspricht also der Sekantensteigung über dem betrachteten Abschnitt. Der Steigungswinkel ist $\alpha = \arctan(m)$ .

Exercise 1: Könizberg

Köniz liegt auf einer Höhe von 610 M.ü.M. Berechne die durchschnittliche Steigung des Könizbergs (höchster Punkt 674 M.ü.M) in Prozent und berechne den Steigungswinkel, wenn die beiden Messungen horizontal $700\,\mathrm{m}$ auseinander liegen.

Solution

Wir berechnen $\frac{\Delta H}{\Delta x} = \frac{674-610}{700} = \frac{64}{700} \approx 0.091 = 9.1\%$ . Der durchschnittliche Steigungswinkel ist $\alpha \approx \arctan(0.091) \approx 5.2^\circ$ .

Example 2: Radioaktiver Zerfall

Beim radioaktiven Zerfall verringert sich die Anzahl der radioaktiven Kerne allmählich; dementsprechend nimmt die Strahlung jedes radioaktiven Präparats im Laufe der Zeit ab. Die Aktivität/Stoffmenge sinkt innerhalb der sogenannten Halbwertszeit auf die Hälfte ihres Ausgangswerts.

Das folgende Diagramm zeigt den Zerfall von radioaktivem Jod, dessen Halbwertszeit 8 Tage beträgt.

Der Differenzenquotient

\frac{\Delta N}{\Delta t} = \frac{N(t+h)-N(t)}{h}

gibt in diesem Beispiel die durchschnittliche Zerfallsrate des radioaktiven Isotops an.

Exercise 2: Jod

Berechne mit Hilfe der Abbildung oben die durchschnittliche Zerfallsrate für Jod 131 in den Intervallen $[8,16], [16,24]$ und $[5,13]$ .

Solution

Über dem Intervall $[8,16]$ lesen wir ab: $\frac{\Delta N}{\Delta t} = \frac{N(16)-N(8)}{16-8} = \frac{2.5\cdot10^8-5\cdot10^8}{8} = -3.125\cdot10^7$ Zerfälle pro Tag. Für $[16,24]$ ist $\frac{\Delta N}{\Delta t} = -1.5625\cdot10^7$ und für $[5,13]$ ist $\frac{\Delta N}{\Delta t} = \frac{N(13)-N(5)}{13-5} = \frac{10^9(\tfrac{1}{2})^\frac{13}{8}-10^9(\tfrac{1}{2})^\frac{5}{8}}{8}\approx -4.05\cdot10^7$ - die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion ist $N(t) = 10^9\cdot(\tfrac{1}{2})^{\tfrac{t}{8}}$

Exercise 3: Sekantensteigung

Berechne die durchschnittliche Steigung der Sekanten der Funktion $f$ im Intervall $[x_0,x_0+h]$ ; bestätige dein Ergebnis mit einer Skizze.

a) $f(x) = x^2$ in $[1,1.2]$

b) $f(x) = \sin(x)$ in $[0,\pi/2]$

c) $f(x) = \ln(x)$ in $[0.5,\mathrm{e}]$

d) $f(x) = \mathrm{e}^{x/2}$ in $[-1,1]$

Solution

a) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \frac{1.2^2-1^2}{1.2-1} = 2.2$

b) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \frac{\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(0)}{\tfrac{\pi}{2}} = \frac{1}{\tfrac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}$

c) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\ln(\mathrm{e})-\ln(0.5)}{\mathrm{e}-0.5}\approx0.76$

d) $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\mathrm{e}^\frac{1}{2}-\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}}{1-(-1)}\approx0.52$

Exercise 4: Computer

Eine neue Computeranlage für ein grösseres Unternehmen kostet $500\,000\,\mathrm{CHF}$ . Ihr Wert nach $t$ Jahren beträgt etwa

W(t) = 500\,000\cdot \mathrm{e}^{-0.35t}.

Berechne ihre durchschnittliche Wertänderung pro Jahr zwischen dem 2. und 5. Jahr.

Solution

$\frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{W(5)-W(2)}{5-2} \approx -53801\,\mathrm{CHF}$