Multiplizieren & Dividieren von Bruchtermen

Multiplizieren von Bruchtermen

Vom Rechnen mit Zahlen ist die Regel bekannt, dass Brüche miteinander multipliziert werden, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. So ist z. B.

37⋅813=3⋅87⋅13=2491\frac{3}{7} \cdot \frac{8}{13} = \frac{3 \cdot 8}{7 \cdot 13} = \frac{24}{91}

Aus diesem Grund ergeben die Terme ab⋅cd\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} und acbd\frac{ac}{bd} bei jeder Einsetzung denselben Zahlenwert. Also sind sie äquivalent. Damit ist bekannt, wie Bruchterme miteinander multipliziert werden:

Theorem 1

Bruchterme werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert; kurz:

ab⋅cd=acbd\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}
Note 1
  1. Produkte sind meist bequemer zu verarbeiten als Summen, deshalb wird nicht ausmultipliziert, sondern im Gegenteil versucht, so weit wie möglich zu faktorisieren, um gegebenenfalls kürzen zu können. Übrig bleibende Zahlenfaktoren werden ausmultipliziert.
  2. Die Klammern dürfen nicht vergessen werden, wenn ein Bruchstrich gezogen wird.
Example 1
10x2−60x+90x2−4⋅4x2+4x−85x−15=10(x2−6x+9)⋅4(x2+x−2)(x2−4)⋅5(x−3)=10⋅4(x−3)2(x+2)(x−1)5(x−2)(x+2)(x−3)=2⋅4(x−3)(x−1)x−2=8(x−3)(x−1)x−2\begin{align*} \frac{10x^2-60x+90}{x^2-4} \cdot \frac{4x^2+4x-8}{5x-15} &= \frac{10(x^2-6x+9) \cdot 4(x^2+x-2)}{(x^2-4) \cdot 5(x-3)}\\ &= \frac{10 \cdot 4(x-3)^2(x+2)(x-1)}{5(x-2)(x+2)(x-3)}\\ &= \frac{2 \cdot 4(x-3)(x-1)}{x-2}\\ &= \frac{8(x-3)(x-1)}{x-2} \end{align*}

Nun ist bekannt, wie Bruchterme miteinander multipliziert werden können. Was geschieht aber mit dem Produkt 12x⋅1+x6x2−18x12x \cdot \frac{1+x}{6x^2-18x}? 12x12x wird als Bruchterm 12x1\frac{12x}{1} geschrieben und der obige Satz angewendet:

12x⋅1+x6x2−18x=12x1⋅1+x6x2−18x=12x(1+x)1⋅(6x2−18x)=12x(1+x)6x(x−3)=2(x+1)x−312x \cdot \frac{1+x}{6x^2-18x} = \frac{12x}{1} \cdot \frac{1+x}{6x^2-18x} = \frac{12x(1+x)}{1 \cdot (6x^2-18x)} = \frac{12x(1+x)}{6x(x-3)} = \frac{2(x+1)}{x-3}

Es gilt also:

a⋅bc=abca \cdot \frac{b}{c} = \frac{ab}{c}
Exercise 1: Multipliziere und vereinfache

Multipliziere und vereinfache.

a) 6ab⋅9a4b6ab \cdot \frac{9a}{4b}

b) 44x2y2⋅2x311y344x^2y^2 \cdot \frac{2x^3}{11y^3}

c) 21m3n⋅−7cd12mn221m^3n \cdot \frac{-7cd}{12mn^2}

Solution

a) 27a22\frac{27a^2}{2}
b) 8x5y\frac{8x^5}{y}
c) −49m2cd4n-\frac{49m^2cd}{4n}

Exercise 2: Multipliziere und vereinfache II

Multipliziere und vereinfache.

a) 45⋅73\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{3}

b) ab⋅cd\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}

c) ab⋅ba\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}

d) (ab)3\left(\frac{a}{b}\right)^3

Solution

a) 28/1528/15
b) acbd\frac{ac}{bd}
c) 11
d) a3/b3a^3/b^3

Exercise 3: Multipliziere und vereinfache III

Multipliziere und vereinfache.

a) 8a12m⋅9bc14m\frac{8a}{12m}\cdot\frac{9bc}{14m}

b) −xy235z⋅7z2−xy2-\frac{xy^2}{35z}\cdot\frac{7z^2}{-xy^2}

c) −18u2w65v4⋅−26v27uw3\frac{-18u^2w}{65v^4}\cdot\frac{-26v}{27uw^3}

d) 17t454t5⋅24st285r2\frac{17t^4}{54t^5}\cdot\frac{24st^2}{85r^2}

Solution

a) 3abc7m2\frac{3abc}{7m^2}
b) z5\frac{z}{5}
c) 4u15v3w2\frac{4u}{15v^3w^2}
d) 4st35r2\frac{4st}{35r^2}

Exercise 4: Multipliziere und vereinfache IV

Multipliziere und vereinfache.

a) m−n3m⋅5m2m−2n\frac{m-n}{3m}\cdot\frac{5m}{2m-2n}

b) d−118d⋅12d21−d\frac{d-1}{18d}\cdot\frac{12d^2}{1-d}

c) x2+y2x2−y2⋅x−yxy\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\cdot\frac{x-y}{xy}

Solution

a) 5/65/6
b) −2d/3-2d/3
c) x2+y2xy(x+y)\frac{x^2+y^2}{xy(x+y)}

Exercise 5: Multipliziere und vereinfache V

Multipliziere und vereinfache.

a) xy(xy+yx)xy\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)

b) (n−z)⋅nn2−z2(n-z)\cdot\frac{n}{n^2-z^2}

c) (r2s2)(s2r2)(s3r3)\left(\frac{r^2}{s^2}\right)\left(\frac{s^2}{r^2}\right)\left(\frac{s^3}{r^3}\right)

Solution

a) x2+y2x^2+y^2
b) nn+z\frac{n}{n+z}
c) s3r3\frac{s^3}{r^3}

Exercise 6: Multipliziere und vereinfachen VI

Multipliziere und vereinfache.

a) 15d4e⋅6d6de\frac{15d}{4e} \cdot \frac{6d}{6de}

b) 19r3s223t⋅119r2s2\frac{19r^3s^2}{23t} \cdot \frac{1}{19r^2s^2}

c) −16ab227c⋅1−16bc2\frac{-16ab^2}{27c} \cdot \frac{1}{-16bc^2}

Solution

a) 15d4e2\frac{15d}{4e^2}
b) r23t\frac{r}{23t}
c) ab27c3\frac{ab}{27c^3}

Exercise 7: Multiplizieren von Bruchtermen

Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich.

a) a+ba−b⋅(a−b)2\frac{a+b}{a-b} \cdot (a-b)^2

b) 8−24z3x−y⋅18x−6y24z−8\frac{8-24z}{3x-y} \cdot \frac{18x-6y}{24z-8}

c) (5m−n)213mn⋅78m2+39m25m2−n2\frac{(5m-n)^2}{13mn} \cdot \frac{78m^2+39m}{25m^2-n^2}

d) 3(a+b)24x2−y2⋅4x+2y2ax−ay+2bx−by\frac{3(a+b)^2}{4x^2-y^2} \cdot \frac{4x+2y}{2ax-ay+2bx-by}

e) 2x−56x2−x−12⋅3x+48x2−14x−15\frac{2x-5}{6x^2-x-12} \cdot \frac{3x+4}{8x^2-14x-15}

f) (12+2x)⋅2x(\frac{1}{2}+\frac{2}{x})\cdot 2x

g) (1x2−1y2)⋅x+yx−y(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2})\cdot\frac{x+y}{x-y}

h) (a+b)(1a+1b)(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})

i) (uu+v+vu−v)(u−v2u)(\frac{u}{u+v}+\frac{v}{u-v})(u-\frac{v^2}{u})

j) (p2p+10q+2.5qp+5q)(p2p+10q−2.5qp+5q)(\frac{p}{2p+10q}+\frac{2.5q}{p+5q})(\frac{p}{2p+10q}-\frac{2.5q}{p+5q})

k) (2x+3y3x−4y−2x−3y3x+4y)⋅9x2−16y24x2−9y2(\frac{2x+3y}{3x-4y}-\frac{2x-3y}{3x+4y}) \cdot \frac{9x^2-16y^2}{4x^2-9y^2}

l) (1+1a2)(4aba2−b2+a−ba+b−a+ba−b)(1+\frac{1}{a^2})(\frac{4ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{a+b}-\frac{a+b}{a-b})

Solution

a) a2−b2a^2-b^2 b) −6-6 c) 3(5m−n)(2m+1)n(5m+n)\frac{3(5m-n)(2m+1)}{n(5m+n)} d) 6(a+b)(2x−y)2\frac{6(a+b)}{(2x-y)^2} e) 1(2x−3)(4x+3)\frac{1}{(2x-3)(4x+3)} f) x+4x+4 g) −(y+x)2x2y2-\frac{(y+x)^2}{x^2y^2} h) (a+b)2ab\frac{(a+b)^2}{ab} i) u2+v2u\frac{u^2+v^2}{u} j) p−5q4(p+5q)\frac{p-5q}{4(p+5q)}
k) 34xy(2x+3y)2\frac{34xy}{(2x+3y)^2} l) 00

Dividieren von Bruchtermen

Vom Rechnen mit Zahlen ist die Regel bekannt, dass durch einen Bruch dividiert wird, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. So ist z. B. 73:138=73⋅813=5639\frac{7}{3}:\frac{13}{8}=\frac{7}{3}\cdot\frac{8}{13}=\frac{56}{39}. Aus diesem Grund ergeben die Terme ab:cd\frac{a}{b}:\frac{c}{d} und adbc\frac{ad}{bc} bei jeder Einsetzung denselben Zahlenwert. Also sind sie äquivalent. Damit ist bekannt, wie durch einen Bruchterm dividiert wird:

Theorem 2

Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert; kurz:

ab:cd=adbc\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}
Example 2
42(x−y)285(a2−b2):56(x2−y2)51(a+b)2=42(x−y)2⋅51(a+b)285(a−b)(a+b)⋅56(x−y)(x+y)=3⋅3(x−y)(a+b)5⋅4(a−b)(x+y)=9(x−y)(a+b)20(a−b)(x+y)\begin{align*} \frac{42(x-y)^2}{85(a^2-b^2)}:\frac{56(x^2-y^2)}{51(a+b)^2} &= \frac{42(x-y)^2 \cdot 51(a+b)^2}{85(a-b)(a+b) \cdot 56(x-y)(x+y)}\\ &= \frac{3 \cdot 3(x-y)(a+b)}{5 \cdot 4(a-b)(x+y)} =\frac{9(x-y)(a+b)}{20(a-b)(x+y)} \end{align*}25a5:15a24b2=25a5⋅4b215a2=25a5⋅4b215a2=5⋅4a3b23=20a3b23=203a3b225a^5:\frac{15a^2}{4b^2} = 25a^5 \cdot \frac{4b^2}{15a^2} = \frac{25a^5 \cdot 4b^2}{15a^2} = \frac{5 \cdot 4a^3b^2}{3} = \frac{20a^3b^2}{3} = \frac{20}{3}a^3b^2
Exercise 8: Dividiere und vereinfache

Dividiere und vereinfache.

a) 2a+2bab:(a+b)\frac{2a+2b}{ab} : (a+b)

b) w2−x2w+x2:(w−x)\frac{w^2-x^2}{w+x^2} : (w-x)

c) c2−cdd2:(3c−3d)\frac{c^2-cd}{d^2} : (3c-3d)

Solution

a) 2/ab2/ab
b) w+xw+x2\frac{w+x}{w+x^2}
c) c/3d2c/3d^2

Exercise 9: Dividiere und vereinfache II

Dividiere und vereinfache.

a) 5km6:3k2m\frac{5km}{6} : \frac{3k}{2m}

b) 112n219xyz:−7n13xyz\frac{112n^2}{19xyz} : \frac{-7n}{13xyz}

c) 12n2w25tu:18uw235tw\frac{12n^2w}{25tu} : \frac{18uw^2}{35tw}

Solution

a) 5m2/95m^2/9
b) −208n19-\frac{208n}{19}
c) 14n215u2\frac{14n^2}{15u^2}

Exercise 10: Dividiere und vereinfache III

Dividiere und vereinfache.

a) uvu+v:uvu2+v\frac{uv}{u+v} : \frac{uv}{u^2+v}

b) z3z−3:z3z−3\frac{z}{3z-3} : \frac{z}{3z-3}

c) n2−19n+90n+9:n−9n+9\frac{n^2-19n+90}{n+9} : \frac{n-9}{n+9}

Solution

a) u2+vu+v\frac{u^2+v}{u+v}
b) 11
c) n−10n-10

Exercise 11: Dividiere und vereinfache IV

Dividiere und vereinfache.

(ab−cd):(ab+cd)\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right) : \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)
Solutionad−bcbd:ad+bcbd=ad−bcbd⋅bdad+bc=ad−bcad+bc\frac{ad - bc}{bd} : \frac{ad + bc}{bd} = \frac{ad - bc}{bd} \cdot \frac{bd}{ad + bc} = \frac{ad - bc}{ad + bc}