Reelle Zahlen

In der goldenen Ära Griechenlands (bis ca. 400 v. Chr.) galten unter den Gelehrten die natürlichen Zahlen und die Lehre ihrer Verhältnisse als das Mass aller Dinge. Es gibt aber offensichtlich Dezimalbrüche, die weder abbrechend noch periodisch sind, also nicht rational.

Example 1

0.1234567891011121314\dots

Exercise 1: Irrationale Dezimalzahlen

Konstruiere einen nicht periodischen und nicht abbrechenden Dezimalbruch, der nur Nullen und Einsen enthält.

Solution

$0.101001000100001\dots$

Intermezzo: Die $n$ -te Wurzel

Example 2

Wir suchen eine Zahl, die viermal mit sich selbst multipliziert $81$ ergibt:

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81

Diese Zahl nennen wir die 4. Wurzel aus 81. Wir schreiben:

\sqrt[4]{81} = 3, \quad \text{da } 3^4 = 81

Allgemein gilt: Das Wurzelziehen ist die Umkehroperation zum Potenzieren mit natürlichen Exponenten.

Definition 1: $n$-te Wurzel

Unter der $n$ -ten Wurzel aus einer nicht-negativen Zahl $a$ versteht man diejenige nicht-negative Zahl $x$ , deren $n$ -te Potenz gleich $a$ ist.

\sqrt[n]{a} = x \iff x^n = a

Dabei gilt: $a \in \R_{\geq 0}$ , $n \in \N, n \geq 2$ . $a$ bezeichnet man als Radikand, $n$ als Wurzelexponent.

Note 1

Ist der Wurzelexponent ungerade und geht es nur um den Wert einer Wurzel, so lässt man manchmal auch negative Radikanden zu. Wir sagen dann zum Beispiel: $\sqrt[3]{-8}=-2$ .

Wurzelgesetze

Theorem 1

Für das Rechnen mit Wurzeln gelten bei gleichem Wurzelexponenten folgende Regeln ( $a, b \geq 0$ ):

Multiplikationsregel: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
Divisionsregel: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b > 0)$
Wurzel einer Potenz: $\sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$

Proof

Der Beweis erfolgt über die Rückführung auf die Potenzgesetze. Sei $x = \sqrt[n]{a}$ und $y = \sqrt[n]{b}$ , also $x^n = a$ und $y^n = b$ . Dann gilt:

a \cdot b = x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n

Zieht man auf beiden Seiten die $n$ -te Wurzel, folgt:

\sqrt[n]{a \cdot b} = x \cdot y = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

Dies zeigt exemplarisch die Gültigkeit der Multiplikationsregel.

Exercise 2: Wurzelwerte bestimmen und Terme vereinfachen

Berechne oder vereinfache die folgenden Ausdrücke:

a) $\sqrt[3]{64}$

b) $\sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{16}$

c) $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$

d) $\sqrt[4]{x^8}$ (für $x \geq 0$ )

e) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$

Solution

a) $\sqrt[3]{64} = 4$ , da $4^3 = 64$

b) $\sqrt[5]{2 \cdot 16} = \sqrt[5]{32} = 2$

c) $\sqrt[3]{\frac{54}{2}} = \sqrt[3]{27} = 3$

d) $\sqrt[4]{(x^2)^4} = x^2$

e) $\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$

Zurück zu nicht-rationalen Zahlen: Ein weiteres Beispiel einer nicht rationalen Zahl ist $\sqrt{2}$ (dies ist diejenige positive Zahl, deren Quadrat gleich $2$ ist). Mithilfe der indirekten Beweismethode lässt sich einsehen, dass $\sqrt{2} \notin \Q$ .

Theorem 2

$\sqrt{2}$ ist nicht rational.

Proof

Wir zeigen mit einem Widerspruchsbeweis, dass $\sqrt{2}$ nicht rational ist. Gegenannahme: Sei $\sqrt{2}$ rational. Wegen $\sqrt{2}\in\Q$ gibt es die eindeutig bestimmte Darstellung

\sqrt{2}=\frac{p}{q}

mit $p,q\in\N$ und $\operatorname{ggT}(p,q)=1$ (vollständig gekürzt). Durch Quadrieren und Multiplizieren mit $q^2$ folgt

2q^2=p^2

Das bedeutet, dass $p^2$ und damit $p$ eine gerade Zahl ist (Primfaktorzerlegung in $\N$ ). Also setzen wir $p:=2k$ . Weiter ist nun

2q^2=(2k)^2=4k^2\quad\implies\quad q^2 = 2k^2

Also ist $q^2$ gerade und damit $q$ gerade. Widerspruch zur Annahme, dass $\frac{p}{q}$ vollständig gekürzt sei. Da sowohl $p$ als auch $q$ gerade sind, kann $\frac{p}{q}$ sicher mit $2$ gekürzt werden. Also muss das Gegenteil der Annahme gelten: $\sqrt{2}$ ist irrational. ( $\sqrt{2}$ ist irrational kommentiert)

Exercise 3: 🧩

Sei $p\in\mathbb{P}$ . Zeige, dass alle Primzahlwurzeln $\sqrt{p}$ irrational sind.

Solution

Sei $p\in\N$ , $p$ prim. Gegenannahme $\sqrt{p}\in\Q$ , das heisst, es existieren $a\in\Z, b\in\N$ so, dass

\sqrt{p}=\frac{a}{b}

Es folgt

\begin{aligned} \sqrt{p} &= \frac{a}{b} \tag{$(\,)^2$} \\ p &= \frac{a^2}{b^2} \tag{$\cdot b^2$} \\ b^2 \cdot p &= a^2 \end{aligned}

In der Primfaktorzerlegung der Quadratzahlen $a^2$ und $b^2$ kommt jeder Primfaktor der Zerlegung sicher eine gerade Anzahl mal vor. Der Primfaktor $p$ jedoch kommt in der Zahl $b^2\cdot p$ eine ungerade Anzahl mal vor; im Widerspruch zur Gleichheit!

Diese und andere Tatsachen führen dazu, dass wir eine umfassendere Zahlenmenge brauchen. Wir geben hier keine formale Definition, sondern beschreiben sie folgendermassen:

Note 2

Die reellen Zahlen $\R$ entsprechen sämtlichen Punkten der Zahlengeraden.

Demnach ist also jede rationale Zahl auch eine reelle, d. h. $\Q\subset\R$ . Wir unterscheiden noch:

Definition 2: irrational

Reelle Zahlen, die nicht rational sind, heissen irrational. Manchmal wird $\mathbb{I}$ oder $\irrational$ für die Menge der irrationalen Zahlen geschrieben.

Note 3

Offensichtlich ist $\Q\cup\mathbb{I}=\R$ .

Im Gegensatz zu rationalen Zahlen (ratio (lat.): Verhältnis) sind irrationale nicht als Verhältnis $\frac{a}{b}$ darstellbar.

Note 4

Wenn nichts anderes gesagt wird, ist die Grundmenge die Menge der reellen Zahlen:

\mathbb{G} = \R

Exercise 4: Venn-Diagramm

Skizziere die Situation aller oben vorgestellten Zahlenmengen $\N$ , $\Z$ , $\Q$ , $\R$ und $\mathbb{I}$ in einem Venn-Diagramm.

Solution

Es muss $\N\subset\Z\subset\Q\subset\R$ und $\mathbb{I}=\R\setminus\Q$ gelten.

Exercise 5: Zahlenmengen

Es gelten die üblichen Bezeichnungen für Zahlenmengen:

Natürliche Zahlen: $\N=\{1,2,3,\dots\}$
Ganze Zahlen: $\Z=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$
Rationale Zahlen: $\Q=\{\frac{a}{b} \mid a\in\Z, b\in\N\}$
Reelle Zahlen: $\R$ , alle Punkte der Zahlengeraden.
Irrationale Zahlen: $\mathbb{I}=\R\setminus\Q$ .

Ermittle:

a) $\R\cap\Q$

b) $(\N\cap\Z)\cup\Q$

c) $\R\cup(\Z\cap\Q)$

d) $(\Q\setminus\Z)\cap\N$

e) $(\R\setminus\Q)\cap\Z$

f) $(\N\cup\Z)\cap(\Q\setminus\N)$

g) $\overline{\Q}\cap\R$ , wobei das Komplement relativ zu $\R$ genommen wird.

Solution

a) $\R\cap\Q=\Q$

b) $(\N\cap\Z)\cup\Q=\N\cup\Q=\Q$

c) $\R\cup(\Z\cap\Q)=\R\cup\Z=\R$

d) $(\Q\setminus\Z)\cap\N=\emptyset$ , da keine natürliche Zahl nicht ganzzahlig ist.

e) $(\R\setminus\Q)\cap\Z=\emptyset$ , da alle ganzen Zahlen rational sind.

f) $(\N\cup\Z)\cap(\Q\setminus\N)=\Z\cap(\Q\setminus\N)=\Z\setminus\N=\{0,-1,-2,\dots\}$

g) $\overline{\Q}\cap\R=\R\setminus\Q = \mathbb{I}$ (Menge der irrationalen Zahlen).

Exercise 6: Konstruktion von Zahlen

Konstruiere auf einer Zahlengeraden die Punkte:

a) $\sqrt{5}$

b) $\frac{2}{3}$

c) $-1\frac{1}{4}$

d) $-\sqrt{3}$

e) $0.\overline{7}$

Solution

a) Verwende den Satz von Pythagoras $\sqrt{5}=\sqrt{1^2+2^2}$ . Das heisst, die Hypotenuse ist $\sqrt{5}$ lang, wenn die Katheten $1$ bzw. $2$ gewählt werden.

b) Zu dieser Aufgabe wird ein ausführlicher Bericht bereitgestellt: Die Konstruktion basiert auf dem ersten Strahlensatz. Dieser besagt: Wenn zwei von einem gemeinsamen Punkt ausgehende Strahlen von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, sind die Verhältnisse der Abschnitte auf den Strahlen gleich.

Zeichne vom Punkt $0$ ausgehend einen beliebigen Hilfsstrahl, der nicht auf der Zahlengeraden liegt.
Nimm den Zirkel und stelle eine beliebige, feste Öffnung ein. Setze die Zirkelspitze bei Punkt $0$ an und schlage einen Bogen auf dem Hilfsstrahl, um den Punkt $P_1$ zu erhalten. Fahre bei $P_1$ so fort bis zu $P_3$ . Wir haben nun drei gleich lange Strecken auf dem Hilfsstrahl erzeugt: $|0P_1| = |P_1P_2| = |P_2P_3|$ .
Verbinde den letzten Punkt $P_3$ auf dem Hilfsstrahl mit dem Punkt $1$ auf der Zahlengeraden. Zeichne nun eine Parallele zu der eben erstellten Strecke ( $P_3$ zu $1$ ), die durch den Punkt $P_2$ verläuft. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Zahlengeraden ist der gesuchte Punkt.

c) Trage auf der Zahlengeraden nach links ab und konstruiere ein Viertel analog zu einem Drittel.

d) $\sqrt{3}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}$ und $\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}$ werden ebenfalls mit dem Pythagoras konstruiert.

e) Da $0.\overline{7}=\frac{7}{9}$ gilt, werden Neuntel so wie oben die Drittel konstruiert.

Exercise 7: 🧩

Mithilfe des Satzes von Pythagoras kann jede natürlichzahlige Wurzel konstruiert werden. Erkläre, wie das funktioniert.

Solution

Betrachte folgendes Bild und begründe kurz rechnerisch, dass diese "Spirale" so fortgesetzt werden könnte.

Intervalle

Oft müssen Bereiche auf der Zahlengeraden angegeben werden. Daher hat man einen Namen und eine kurze Schreibweise für diese Mengen vereinbart.

Definition 3: Intervall

Seien $a,b\in\R$ und $a\le b$ . Die Menge

[a,b] := \{x\in\R\mid a\le x\le b\}

heisst abgeschlossenes Intervall, und die Menge

(a,b) := \{x\in\R\mid a< x< b\}

heisst offenes Intervall.

Note 5

Statt $(a,b)$ wird manchmal auch $]a,b[$ geschrieben.

Exercise 8: Intervalle skizzieren

Skizziere die Intervalle:

a) $[-1,1]$

b) $(0,1)$

c) $(-\infty,0)$

d) $\overline{(-1,1)}$

e) $[-2,-1)\cup(1,2]$

Solution

Exercise 9: Intervalle notieren

Notiere die Intervalle:

Solution

a) $(0,2)$

b) $[0,1]$

c) $[0,\infty)$

d) $[0,1)$

e) $[-2,-1)\cup[0,1)$

Überabzählbarkeit von R

Definition 4

Eine Menge $M$ heisst abzählbar, wenn es eine Bijektion $f:\N\to M$ gibt, also wenn sich die Elemente von $M$ in eine (endlose) Liste

m_1, m_2, m_3, \dots

bringen lassen, sodass jedes Element von $M$ genau einmal vorkommt.

Eine Menge heisst überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist, also grösser als jede abzählbare Menge.

Theorem 3

Das Intervall $(0,1)$ ist überabzählbar. Damit ist auch $\R$ überabzählbar.

Proof

Angenommen, $(0,1)$ sei abzählbar. Dann gäbe es eine Liste aller Zahlen aus $(0,1)$ :

x_1, x_2, x_3, \dots

Jede Zahl $x_i$ wird als Dezimalbruch ohne unendliche 9er-Enden geschrieben. Die Ziffern werden in einer Tabelle notiert:

\begin{array}{ccl} x_1 &=& 0.\, a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}\dots\\ x_2 &=& 0.\, a_{21}a_{22}a_{23}a_{24}\dots\\ x_3 &=& 0.\, a_{31}a_{32}a_{33}a_{34}\dots\\ \vdots \end{array}

mit $a_{ij}\in\{0,1,\dots,9\}$ .

Wir konstruieren nun eine neue Zahl $y\in(0,1)$ Ziffer für Ziffer entlang der Diagonale:

y=0.b_1 b_2 b_3\dots,\qquad b_i := \begin{cases} 1,& \text{falls } a_{ii}\neq 1,\\ 2,& \text{falls } a_{ii}=1. \end{cases}

Dann unterscheidet sich $y$ von $x_1$ in der 1. Ziffer, von $x_2$ in der 2. Ziffer, allgemein von $x_i$ in der $i$ -ten Ziffer. Also ist $y$ nicht in der Liste $x_1,x_2,\dots$ enthalten — Widerspruch zur Annahme, dass die Liste vollständig sei. Also ist $(0,1)$ nicht abzählbar, sondern überabzählbar.

Da $(0,1)\subset\R$ gilt, ist auch $\R$ überabzählbar.

Wurzelziehen mit Heron

Das Heron-Verfahren

Das Heron-Verfahren ist eine iterative Methode, um die Quadratwurzel einer Zahl $a$ numerisch (näherungsweise) zu berechnen.

Angenommen, wir suchen die Wurzel aus $a$ — also $\sqrt{a}$ . Das ist geometrisch gesehen die Seitenlänge $x$ eines Quadrats, das die Fläche $a$ hat, denn $x \cdot x = a$ . Das Verfahren basiert auf folgenden Überlegungen:

Rate einen Startwert $x_0$ .
Berechne $a/x_0$ , da $x_0 \cdot (a/x_0) = a$ .
Ist $x_0$ genau die Wurzel $\sqrt{a}$ , dann ist $a/x_0$ ebenfalls $\sqrt{a}$ . Ist $x_0$ aber zu klein, ist $a/x_0$ zu gross (und umgekehrt). Die wahre Wurzel $\sqrt{a}$ liegt genau zwischen diesen beiden Werten.
Eine bessere Schätzung $x_1$ ist daher der Mittelwert der beiden Rechteckseiten $x_0$ und $a/x_0$ .
Wiederholung: $x_1$ ist jetzt der neue Startwert. Der Vorgang wird wiederholt, bis das Rechteck "quadratisch genug" ist (d. h., $x_n$ und $a/x_n$ fast gleich sind).

Das Heron-Verfahren zum Schätzwert $x_0$ wird iterativ formuliert:

x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)

Wiederhole diesen Schritt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Example 3

Wir wollen $\sqrt{9}$ berechnen und wählen absichtlich einen schlechten Startwert $x_0 = 1$ .

x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{9}{x_0} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{9}{1} \right) = 5

x_2 = \frac{1}{2} \left( x_1 + \frac{9}{x_1} \right) = \frac{1}{2} \left( 5 + \frac{9}{5} \right) = \frac{1}{2} (5 + 1.8) = 3.4

x_3 = \frac{1}{2} \left( x_2 + \frac{9}{x_2} \right) = \frac{1}{2} \left( 3.4 + \frac{9}{3.4} \right) \approx \frac{1}{2} (3.4 + 2.647) \approx 3.0235

x_4 = \frac{1}{2} \left( x_3 + \frac{9}{x_3} \right) \approx \frac{1}{2} \left( 3.0235 + \frac{9}{3.0235} \right) \approx \frac{1}{2} (3.0235 + 2.976) \approx 3.00015

Wie wir sehen, nähert sich der Wert extrem schnell der korrekten Lösung 3 an — die Anzahl der korrekten Nachkommastellen verdoppelt sich bei jedem Schritt (quadratische Konvergenz).

Exercise 10: Aufgabe 1: Perfektes Quadrat

Berechne $\sqrt{64}$ mit dem Heron-Verfahren.

Verwende den Startwert $x_0 = 2$ .
Führe 4 Iterationsschritte durch (berechne $x_1, x_2, x_3$ und $x_4$ ).

Solution

Wir verwenden $a=64$ und $x_0 = 2$ . Die Formel lautet: $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{64}{x_n} \right)$

$x_1$ : $x_1 = \frac{1}{2} \left( 2 + \frac{64}{2} \right) = \frac{1}{2} (2 + 32) = 17$
$x_2$ : $x_2 = \frac{1}{2} \left( 17 + \frac{64}{17} \right) \approx \frac{1}{2} (17 + 3.7647) \approx 10.3824$
$x_3$ : $x_3 = \frac{1}{2} \left( 10.3824 + \frac{64}{10.3824} \right) \approx \frac{1}{2} (10.3824 + 6.1643) \approx 8.2734$
$x_4$ : $x_4 = \frac{1}{2} \left( 8.2734 + \frac{64}{8.2734} \right) \approx \frac{1}{2} (8.2734 + 7.7358) \approx 8.0046$

Exercise 11: Aufgabe 2: Bekannte Konstante

Approximiere $\sqrt{2}$ .

Verwende den Startwert $x_0 = 1$ .
Führe 3 Iterationsschritte durch (berechne $x_1, x_2$ und $x_3$ ). Runde deine Ergebnisse auf 5 Nachkommastellen.

Solution

Wir verwenden $a=2$ und $x_0 = 1$ . Die Formel lautet: $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right)$

$x_1$ : $x_1 = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{2}{1} \right) = \frac{1}{2} (3) = 1.50000$
$x_2$ : $x_2 = \frac{1}{2} \left( 1.5 + \frac{2}{1.5} \right) = \frac{1}{2} (1.5 + 1.33333\dots) \approx 1.41667$
$x_3$ : $x_3 = \frac{1}{2} \left( 1.41667 + \frac{2}{1.41667} \right) \approx \frac{1}{2} (1.41667 + 1.41176) \approx 1.41422$

(Der wahre Wert von $\sqrt{2}$ ist ca. $1.41421356\dots$ )

Exercise 12: Aufgabe 3: Sinnvoller Startwert

Approximiere $\sqrt{40}$ .

Wähle selbst einen sinnvollen ganzzahligen Startwert $x_0$ . (Tipp: $\sqrt{36} = 6$ und $\sqrt{49} = 7$ )
Führe 3 Iterationsschritte durch.

Solution

Wir verwenden $a=40$ . Ein sinnvoller Startwert ist $x_0 = 6$ (da $6^2 = 36$ nahe an 40 liegt). Die Formel lautet: $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{40}{x_n} \right)$

$x_1$ : $x_1 = \frac{1}{2} \left( 6 + \frac{40}{6} \right) = \frac{1}{2} (6 + 6.666\dots) \approx 6.3334$
$x_2$ : $x_2 = \frac{1}{2} \left( 6.3334 + \frac{40}{6.3334} \right) \approx \frac{1}{2} (6.3334 + 6.3157) \approx 6.3246$
$x_3$ : $x_3 = \frac{1}{2} \left( 6.3246 + \frac{40}{6.3246} \right) \approx \frac{1}{2} (6.3246 + 6.3245) \approx 6.3246$

(Das Ergebnis ist bereits nach 3 Schritten sehr stabil.)

Exercise 13: Aufgabe 4: Genauigkeitsziel

Berechne $\sqrt{10}$ mit dem Startwert $x_0 = 3$ .

Führe die Iteration so lange durch, bis sich die ersten 3 Nachkommastellen deines Ergebnisses nicht mehr ändern (d. h., $x_n$ und $x_{n+1}$ sind auf 3 Stellen gerundet identisch).
Wie viele Schritte hast du benötigt?

Solution

Wir verwenden $a=10$ und $x_0 = 3$ . Die Formel lautet: $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{10}{x_n} \right)$

$x_1$ : $x_1 = \frac{1}{2} \left( 3 + \frac{10}{3} \right) \approx \frac{1}{2} (3 + 3.3333) \approx 3.1667$ (Gerundet auf 3 Nachkommastellen: 3.167)
$x_2$ : $x_2 = \frac{1}{2} \left( 3.1667 + \frac{10}{3.1667} \right) \approx \frac{1}{2} (3.1667 + 3.1578) \approx 3.1623$ (Gerundet auf 3 Nachkommastellen: 3.162)
$x_3$ : $x_3 = \frac{1}{2} \left( 3.1623 + \frac{10}{3.1623} \right) \approx \frac{1}{2} (3.1623 + 3.1622) \approx 3.1623$ (Gerundet auf 3 Nachkommastellen: 3.162)

Vergleich: $x_2$ (3.162) und $x_3$ (3.162) sind auf 3 Nachkommastellen identisch. Wir stoppen nach der Berechnung von $x_3$ . Es waren 3 Iterationsschritte nötig.

Höhere Dimensionen

Der Vollständigkeit halber wird hier noch die Definition der Produktmenge (auch kartesisches Produkt genannt) angefügt, da sie einen formalen Zugang zu mehrdimensionalen Punkten gibt.

Definition 5: Produktmenge

Seien $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ Mengen. Dann verstehen wir unter dem kartesischen Produkt der Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ die Menge

\mathbb{A}\times\mathbb{B} := \{(x|y) \mid x\in\mathbb{A}\text{ und }y\in\mathbb{B}\}

Note 6

Bei der Produktmenge $\mathbb{A}\times\mathbb{B}$ handelt es sich also um alle Zahlenpaare/Koordinaten $(x|y)$ , sodass $x\in\mathbb{A}$ und $y\in\mathbb{B}$ ist.

Example 4

Seien $\mathbb{A}=\{1,2\}$ und $\mathbb{B}=\{a,b\}$ . Dann ist

\mathbb{A}\times\mathbb{B} = \{(1|a),(1|b),(2|a),(2|b)\}

Exercise 14: Kartesisches Produkt

Beschreibe die Menge geometrisch und skizziere sie:

a) $\N\times\N$

b) $\R\times\R =: \R^2$

c) $\Z\times\Q$

d) $\R\times\N$

e) $\R^+_0\times\R$

f) $\R\times\R\times\R =: \R^3$

Solution

a) Die Menge aller natürlichen Gitterpunkte

b) Die $xy$ -Ebene

c) Durch ganzzahlige $x$ -Werte gehende Parallelen zur $y$ -Achse

d) Durch natürlichzahlige $y$ -Werte gehende Parallelen zur $x$ -Achse

e) Die rechte Halbebene

f) Der 3D-Raum

Reelle Zahlen

Reelle Zahlen

Intermezzo: Die nn-te Wurzel

Wurzelgesetze

Intervalle

Das Heron-Verfahren

Höhere Dimensionen

Intermezzo: Die $n$ -te Wurzel