Basics Funktionen

Eine Seite aus dem Tractatus de latitudinibus formarum des Nikolaus von Oresme (um 1320/25–1382) mit graphischen Darstellungen von Funktionen. Handschrift aus dem 14. Jahrhundert (Codex latinus monacensis 4377, folium 122r).

Im Geometrieunterricht lernt man, was man unter einer Abbildung versteht. Beispiele von Abbildungen sind Achsenspiegelung, Punktspiegelung und Verschiebung. In der Geometrie spricht man immer dann von einer Abbildung, wenn jedem Punkt $P$ der Ebene genau ein Bildpunkt $P'$ zugeordnet wird.

Solche eindeutigen Zuordnungen kommen auch in anderen Teilgebieten der Mathematik, bei Naturvorgängen und in vielen anderen Zusammenhängen vor.

Example 1

Hans bietet Uli ein Würfelspiel nach folgender Regel an: Uli darf würfeln. Bei einer ungeraden Augenzahl erhält er von Hans, bei einer geraden Augenzahl zahlt er an Hans so viele €, wie die Augenzahl jeweils angibt.

Durch diese Spielregel ist tatsächlich Ulis Gewinn bzw. Verlust (= negativer Gewinn) für jede Augenzahl genau festgelegt. Man kann alle möglichen Fälle in einer Tabelle zusammenstellen:

Augenzahl	1	2	3	4	5	6
Gewinn in €	1	-2	3	-4	5	-6

Bei diesem Spiel lässt sich die Regel, nach welcher einer Augenzahl $x$ der Gewinn $y$ € zugeordnet wird, auch kurz durch eine Gleichung ausdrücken: $y=(-1)^{x+1} \cdot x$ .

Example 2

Wie viele Primzahlen befinden sich unter den ersten $n$ natürlichen Zahlen $1, 2, 3, \dots, n$ ? Bezeichnet man die gesuchte Anzahl mit $m$ , so kann man folgende Tabelle aufstellen:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
m	0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	5

Diese Tabelle lässt sich, wenn auch mit wachsendem Rechenaufwand, beliebig weit fortsetzen. Zu jeder natürlichen Zahl $n$ erhält man genau eine Zahl $m$ .

Example 3

Den Flächeninhalt $A$ eines Quadrats kann man aus der Quadratseite $a$ berechnen: $A = a^2$ . Jeder Seitenlänge $a$ ist also eindeutig der Flächeninhalt $A$ zugeordnet.

Example 4

Am Thermometer einer meteorologischen Station wurden im Laufe eines Tages folgende Temperaturen abgelesen:

Uhrzeit in Std.	0	3	6	9	12	15	18	21	24
Temperatur $\vartheta$ in °C	7.1	5.0	8.3	14.9	19.0	22.2	18.8	12.5	9.8

Natürlich hätte man das Thermometer auch zu anderen Zeiten ablesen können; es zeigte zu jedem Zeitpunkt eine bestimmte Temperatur an.

Das Gemeinsame an diesen Beispielen lässt sich folgendermassen beschreiben: Man hat jeweils zwei Mengen und eine Vorschrift, welche jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Die Zuordnungsvorschrift wird dabei durch Pfeile dargestellt. Wesentlich ist, dass von jedem Element der ersten Menge nur ein einziger Pfeil ausgeht; denn zu ihm gehört ja genau ein Element der zweiten Menge. Wohl aber können zwei oder mehr Pfeile auf dasselbe Element der zweiten Menge zeigen.

Da das Wesentliche an einer Abbildung die Eindeutigkeit der Zuordnung ist, spricht man auch in solchen Fällen, wo – wie in unseren Beispielen – nicht Punkten wieder Punkte zugeordnet werden, von einer Abbildung. Man sagt, dass die erste Menge in die zweite Menge abgebildet wird. Für eine solche nicht geometrische Abbildung gibt es aber noch eine andere Bezeichnung; man nennt sie auch Funktion (functio (lat.) = Verrichtung).

Als Zeichen für eine Funktion verwendet man im Allgemeinen einen kleinen lateinischen Buchstaben, zumeist $f$ . Die erste Menge heisst Definitionsmenge $\mathbb{D}$ der Funktion $f$ . Ein Element von $\mathbb{D}$ wird in der Regel mit der Variablen $x$ bezeichnet. Für das ihm zugeordnete Element der zweiten Menge verwendet man dann das Zeichen $f(x)$ , gelesen „ $f$ von $x$ “. Man nennt $f(x)$ den zu $x$ gehörenden Funktionswert; $x$ bezeichnet man oft als Argument (argumentum (lat.) = Gegenstand, Inhalt, Gehalt) der Funktion $f$ . Alle Funktionswerte einer Funktion fasst man zu ihrer Wertemenge $\mathbb{W}$ zusammen. Die Zuordnung zwischen den Elementen der Definitions- und der Wertemenge wird durch einen besonderen Pfeil, den Abbildungspfeil oder Fusspfeil $\mapsto$ , dargestellt. Man schreibt kurz: $f: x \mapsto f(x), \quad x \in \mathbb{D}$

Aus dem Alltag kennt man graphische Darstellungen von Funktionen. Zum Beispiel wird in den Nachrichten der SMI (Swiss Market Index) häufig als Graph illustriert. Jedem Datum wird ein bestimmter Index zugeordnet.

Example 5

Beim SMI ordnet die Funktion $f$ jedem Monat $x$ genau eine Quote $y$ zu.

Example 6

Das Quadrieren ist eine Funktion. Jeder reellen Zahl $x$ wird ihr Quadrat $y=x^2$ zugeordnet.

In der Mathematik versteht man unter einer Funktion folgendes:

Definition 1: Funktion

Unter einer Funktion $f$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ und der Wertemenge $\mathbb{W}$ verstehen wir eine Abbildung, die jedem Element $x\in\mathbb{D}$ genau ein Element $f(x)\in\mathbb{W} \subset \mathbb{R}$ als Funktionswert zuordnet. Man schreibt dafür $y=f(x)$ (" $y$ gleich $f$ von $x$ ") oder $f: x \mapsto f(x)$ und für die Funktion $f:\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{W}$ .

Exercise 1: Funktion

Wie sieht das Schaubild der Definition einer Funktion aus?

Solution

Oft wird als Bezeichnung für ein Element der Wertemenge die Variable $y$ verwendet. Ausführlicher kann man auch $f: x \mapsto y$ mit $y=f(x)$ und $x \in \mathbb{D}$ schreiben. Dabei ist zu beachten, dass den Variablen $x$ und $y$ ganz verschiedene Rollen zugeteilt sind. Für $x$ darf ein beliebiger Wert aus der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ gewählt werden. Für $y$ muss dann der diesem $x$ zugeordnete Funktionswert genommen werden. Wegen dieses Unterschiedes nennt man $x$ die unabhängige und $y$ die abhängige Variable.

Das Wort functio hat 1692 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) bei geometrischen Betrachtungen in die Mathematik eingeführt. Die Bezeichnungen $f$ und $f(x)$ für Funktion und Funktionswert gehen auf Leonhard Euler (1707–1783) zurück, bei dem sie erstmals 1734 in einer Abhandlung vorkommen. Die Schreibweise $y=f(x)$ wurde erstmals 1883 von dem italienischen Mathematiker Giuseppe Peano (1858–1932) verwendet.

Betrachten wir noch einmal unsere vier Beispiele, um darauf die neuen Begriffe anzuwenden:

In Beispiel 1 handelt es sich um eine Funktion mit der Definitionsmenge $\mathbb{D}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Der zu $x \in \mathbb{D}$ gehörende Funktionswert $y$ kann mithilfe der Gleichung $y=(-1)^{x+1} \cdot x$ berechnet werden. Eine solche Gleichung heisst Funktionsgleichung; sie hat die Form $y=f(x)$ . Der auf ihrer rechten Seite für $f(x)$ stehende Term heisst Funktionsterm. Damit lässt sich die Funktion schreiben als: $f: x \mapsto y \text{ mit } y=(-1)^{x+1} \cdot x \text{ und } x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

In Beispiel 2 handelt es sich um eine Funktion mit der Definitionsmenge $\mathbb{N}$ . Die Zuordnungsvorschrift lässt sich hier nur in Worten ausdrücken: Jedem $x \in \mathbb{N}$ wird als Funktionswert $f(x)$ die Anzahl aller Primzahlen $p$ zugeordnet, für welche $p \le x$ .

In Beispiel 3 setzen wir $a=x$ m und $A=y$ m², so gilt: $y = x^2$ . Die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ besteht hier aus allen positiven rationalen Zahlen, also $\mathbb{D} = \mathbb{R}^+$ . Die Funktion lässt sich so schreiben: $f: x \mapsto x^2, \quad x \in \mathbb{R}^+$

In Beispiel 4 stellen die Zeitangaben die Definitionsmenge und die Temperaturangaben die Wertemenge dar. Da die Natur keine Sprünge macht, gehören bei einer kontinuierlichen Messung auch alle dazwischen liegenden Temperaturwerte zu $\mathbb{W}$ .

Eine Funktion erzeugt Zahlenpaare $(x|y)$ . Ein solches Paar ist geordnet, d. h. die Reihenfolge ist wesentlich. In einem kartesischen Koordinatensystem (zu Ehren von René Descartes) werden diese Paare als Punkte $P(x|y)$ dargestellt.

Definition 2: Graph

Sei $f:\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{W}$ eine Funktion. Die Menge aller geordneten Paare $\mathbb{G}_f=\{(x|f(x))\mid x\in\mathbb{D}\}$ heisst Graph von $f$ .

Darstellung einer Funktion am Beispiel des Quadrierens mit $\mathbb{D} = \mathbb{N}_0$ :

Wertetabelle
Funktionsgleichung: $f(x)=x^2$
Graphische Darstellung:

Exercise 2: Graphen von Funktionen identifizieren

Welche Kurven sind Graphen von Funktionen?

Solution

Graphen von Funktionen sind b), d), g) und h). Die anderen verletzen das Kriterium der Eindeutigkeit (einem $x$ werden mehrere $y$ zugeordnet).

Einschränkungen des Definitionsbereichs einer Funktion

Note 1

Die Definitionsmenge beeinflusst massgeblich das Aussehen des Graphen (z. B. Punkte vs. durchgezogene Linie).

Note 2

Falls nicht erwähnt oder anderweitig festgelegt, so sind Definitions- und Wertemenge gleich $\mathbb{R}$ .

Example 7

Die Funktion, welche vorschreibt, eine Zahl zu quadrieren, notiert man kurz mit

f(x)=x^2.

Es ist dann beispielsweise $f(2)=2^2=4$ , $f(0)=0^2=0$ , $f(-3)=(-3)^2=9$ , $\dots$ . Praktisch ist häufig die Illustration einer Funktion in einem Koordinatensystem. Man trägt ausgewählte Zahlenpaare $(2|4)$ , $(0|0)$ , $(-3|9)$ , $\dots$ ein.

Note 3

In $y=f(x)$ heisst $x$ Argument von $f$ und $y$ bzw. $f(x)$ Funktionswert/Bild von $x$ .

Exercise 3: g von x

Gegeben sei die Funktion

g(x)=x^2-2x+3.

a) Berechne $g(2)$ , $g(3)$ , $g(4)-g(-4)$ und $g(a^2)$ .

b) Für welchen Wert $x$ ist $g(x)=2$ , $3$ bzw. $x^{2}$ ?

Solution

a) $g(2)=2^{2}-2\cdot2+3=3$ , $g(3)=3^{2}-2\cdot3+3=6$ , $g(4)=11$ und $g(-4)=27 \implies g(4)-g(-4)=-16$ , $g(a^{2})=(a^2)^2-2a^2+3 = a^{4}-2a^{2}+3$

b) $g(x)=2$ :

\begin{align*} 2 &= x^{2}-2x+3 \quad \iff \quad 0 = x^{2}-2x+1 \\ 0 &= (x-1)^{2} \quad \iff \quad x = 1 \end{align*}

$g(x)=3$ :

\begin{align*} 3 &= x^{2}-2x+3 \quad \iff \quad 0 = x^2-2x \\ 0 &= x(x-2) \quad \iff \quad x_1=0, x_2=2 \end{align*}

$g(x)=x^2$ :

\begin{align*} x^2 &= x^2-2x+3 \quad \iff \quad 0 = -2x+3 \\ 2x &= 3 \quad \iff \quad x = \frac{3}{2} \end{align*}

Exercise 4: h(z)

Es sei

h(z)=z^3-z+2.

Berechne $h(3)$ , $h(-1)$ und $h(0)$ .

Solution

$h(3)=3^{3}-3+2=26$ , $h(-1)=(-1)^{3}-(-1)+2=2$ und $h(0)=2$ .

Exercise 5: s(t)

Betrachte

s(t)=\frac{t+2}{t-1}

Berechne $s(0)$ , $s(-2)$ , $s(1)$ und $s(10)$ . Für welche Argumente $t$ ist der Funktionswert $s(t)=1$ , $2$ , $-5$ bzw. $0$ ?

Solution

$s(0)=-2$ , $s(-2)=0$ , $s(1)$ ist nicht definiert ( $\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ ) und $s(10)=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ .

$s(t)=1$ :

\begin{align*} 1 &= \frac{t+2}{t-1} \quad \iff \quad t-1 = t+2 \\ -1 &= 2 \quad \text{(falsche Aussage)} \end{align*}

Also ist $s(t)=1$ nicht erfüllbar ( $\mathbb{W} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ ).

$s(t)=2$ :

\begin{align*} 2 &= \frac{t+2}{t-1} \quad \iff \quad 2t-2 = t+2 \\ t &= 4 \end{align*}

$s(t)=-5$ :

\begin{align*} -5 &= \frac{t+2}{t-1} \quad \iff \quad -5t+5 = t+2 \\ 6t &= 3 \quad \iff \quad t = \frac{1}{2} \end{align*}

$s(t)=0$ :

\begin{align*} 0 &= \frac{t+2}{t-1} \quad \iff \quad 0 = t+2 \\ t &= -2 \end{align*}

Exercise 6: Rechnen mit Funktionstermen

Gegeben sei $s(t)=20-5t^2$ . Berechne den Quotienten $\frac{s(t+h)-s(t)}{h}$ .

Solution

\begin{align*} \frac{s(t+h)-s(t)}{h} &= \frac{[20-5(t+h)^2] - [20-5t^2]}{h} \\ &= \frac{20-5(t^2+2th+h^2)-20+5t^2}{h} \\ &= \frac{-10th-5h^2}{h} = -10t-5h \end{align*}

Der Quotient strebt für $h \to 0$ gegen den Wert $-10t$ .

Exercise 7: Exponentialfunktion

Berechne für

f(x)=2^x-1

$f(1)$ , $f(3)$ und $f(10)$ .

Solution

$f(1)=2^{1}-1=1$ , $f(3)=2^{3}-1=7$ und $f(10)=2^{10}-1=1023$ .

Exercise 8: In Worten

Drücke die folgenden Aussagen kurz und prägnant in mathematischer Schreibweise aus:

a) Durch die Funktion $f$ wird der Zahl $5$ die Zahl $132$ zugeordnet.

b) Die Funktion $h$ nimmt für $x=-2$ den Funktionswert $18$ an.

c) Die Funktion $f$ ordnet der Zahl $3$ einen grösseren Wert zu als der Zahl $8$ .

d) Alle Funktionswerte der Funktion $f$ sind positiv.

e) Die Funktion $f$ ordnet jeder reellen Zahl das um $7$ vermehrte Quadrat dieser Zahl zu.

f) Die Funktion $g$ ordnet jeder reellen Zahl das Quadrat der um $3$ vergrösserten Zahl zu.

g) Die Funktion $h$ ordnet jeder reellen Zahl den um $13$ vergrösserten Kehrwert dieser Zahl zu.

h) Die Funktion $f$ ordnet jeder reellen Zahl den Kehrwert der um $4$ verminderten Zahl zu.

Solution

a) $f(5)=132$

b) $h(-2)=18$

c) $f(3)>f(8)$

d) $f(x)>0\ \text{für alle}\ x\in\mathbb{R}$

e) $f(x)=x^{2}+7$

f) $g(x)=(x+3)^{2}$

g) $h(x)=\frac{1}{x}+13$

h) $f(x)=\frac{1}{x}-4$

Definition 3: Nullstelle

Gilt für einen Wert $x=a\in\mathbb{D}$

f(a)=0

so heisst $a$ Nullstelle der Funktion $f$ .

Nullstellen sind also diejenigen Stellen, an denen der Funktionswert $0$ ist.

Exercise 9: Definitionsmenge

Ermittle die maximale Definitionsmenge $\mathbb{D}$ , die minimale Wertemenge $\mathbb{W}$ und die Nullstellen der Funktionen

a) $f(x)=2x-6$

b) $g(x)=3x+1$

c) $h(x)=x^2$

d) $k(x)=\sqrt{x}$

e) $m(x)=\frac{1}{x}$

f) $n(x)=\sqrt{x-5}$

Solution

a) $0=2x-6 \iff x=3$ . $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ , $\mathbb{W}=\mathbb{R}$ .

b) $0=3x+1 \iff x=-\frac{1}{3}$ . $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ , $\mathbb{W}=\mathbb{R}$ .

c) $0=x^2 \iff x=0$ . $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ , $\mathbb{W}=\mathbb{R}^{+}_{0}$ .

d) $0=\sqrt{x} \iff x=0$ . $\mathbb{D}=\mathbb{R}^{+}_{0}$ , $\mathbb{W}=\mathbb{R}^{+}_{0}$ .

e) $0=\frac{1}{x}$ hat keine Lösung. $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , $\mathbb{W}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

f) $0=\sqrt{x-5} \iff x=5$ . $\mathbb{D}=[5,\infty)$ , $\mathbb{W}=\mathbb{R}^{+}_{0}$ .

Note 4: $y$-Achsenschnittpunkt

Falls der Graph der Funktion $f$ die $y$ -Achse schneidet, dann im Punkt $(0|f(0))$ ; denn die $y$ -Achse schneidet ja die $x$ -Achse bei $x=0$ .

Exercise 10: y-Achsenschnittpunkt

Bestimme zu den Funktionen aus Aufgabe Definitionsmenge jeweils den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

Solution

a) $f(0)=2\cdot0-6=-6 \implies S_y(0|-6)$

b) $g(0)=3\cdot0+1=1 \implies S_y(0|1)$

c) $h(0)=0^2=0 \implies S_y(0|0)$

d) $k(0)=\sqrt{0}=0 \implies S_y(0|0)$

e) $m(0)=\frac{1}{0}$ ist nicht definiert; kein Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

f) $n(0)=\sqrt{0-5}$ ist im Reellen nicht definiert ( $0 \notin \mathbb{D}$ ); kein Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

Example 8

Lässt man einen Stein vom obersten Stock des schiefen Turms von Pisa fallen, so wird durch

h(t)=56-4.9t^2

die Höhe $h$ des Steins in Metern über dem Erdboden $t$ Sekunden nach dem Fallenlassen beschrieben.

Exercise 11: Stein

Ausgehend von obiger Funktion $h(t)=56-4.9t^2$ : Wie viele Meter über dem Boden ist der Stein nach $2$ Sekunden Flugzeit? Wann trifft der Stein auf den Boden auf? Wie hoch ist der schiefe Turm von Pisa?

Solution

Nach zwei Sekunden: $h(2)=56-4.9\cdot2^{2}=56-19.6=36.4\,\mathrm{m}$ .

Aufprall bei $h(t)=0$ :

\begin{align*} 0 &= 56-4.9\cdot t^{2} \quad \iff \quad 4.9 \cdot t^2 = 56 \\ t^2 &= \frac{56}{4.9} \approx 11.428... \\ t &\approx 3.38\,\mathrm{s} \quad (t > 0) \end{align*}

Anfangshöhe (Turmhöhe): $h(0)=56\,\mathrm{m}$ .

Definition 4: Graph

Sei $f:\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{W}$ eine Funktion. Die Menge aller Punkte

\{(x|y)\mid y=f(x),x\in\mathbb{D}\}

heisst Graph der Funktion $f$ .

Exercise 12: Graphen

Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=x^3$ .

Solution

Verwende GeoGebra und vergleiche mit deinem Plot. Der Graph verläuft durch $(-2|-8), (-1|-1), (0|0), (1|1), (2|8)$ .