Gleichungen

Aussagen und Aussageformen

Jeder Mensch stellt in seinem Leben viele Behauptungen auf.

Example 1

Ich bin heute müde.
Ich habe nicht von Karl abgeschrieben.
Mathematik macht Spass.
$2 + 3 = 5$ .

In der Logik bezeichnet man Sätze, in denen eine Behauptung aufgestellt wird, auch als Aussagen. Wesentlich an einer Aussage ist, dass man sinnvollerweise sagen kann, dass sie entweder wahr oder falsch ist. Das ist bei Sätzen der Umgangssprache oft nicht einfach zu entscheiden. Bei dem Satz "Mathematik macht Spass" kann man sich verschiedene Entscheidungen vorstellen. Der eine wird zum Urteil kommen, er sei wahr, der andere, er sei falsch. Um solchen Schwierigkeiten aus dem Weg zu gehen, beschränken wir uns auf mathematische Aussagen, bei denen wir hoffen, dass wir immer entscheiden können, ob eine wahre oder eine falsche Aussage vorliegt.

Definition 1: Aussagen

Sätze, bei denen feststeht, ob sie wahr oder falsch sind, heissen Aussagen.

Man kennzeichnet wahre Aussagen durch ein w und falsche Aussagen durch ein f. w und f heissen die Wahrheitswerte der Aussagen.

Example 2

$2 + 3 = 5$ (w)
$2 \cdot 3 = 5$ (f)
$17^2 = 289$ (w)
$17^2 < 290$ (w)
$17^2 \le 288$ (f)
$5 \le 7$ (w)
$0.5 \le 7$ (f)
39 ist eine Primzahl (f)

Ersetzt man in einer Aussage eine oder mehrere Zahlen durch Variablen oder durch einen Term mit Variablen, dann entsteht eine Aussageform. Ersetzt man in einer Aussageform alle Variablen durch geeignete Zahlen, dann entsteht wieder eine Aussage, die wahr oder falsch ist.

Example 3: Beispiele

Aussageform	Ersetzung	Aussage	Wahrheitswert
$x$ ist eine Primzahl	$x = 39$	39 ist eine Primzahl	f
	$x = 41$	41 ist eine Primzahl	w
$x + 3 = 5$	$x = \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} + 3 = 5$	f
	$x = 2$	$2 + 3 = 5$	w
$x^2 < 25$	$x = -8\frac{1}{2}$	$(-8\frac{1}{2})^2 < 25$	f
	$x = 0$	$0^2 < 25$	w
$\frac{5x-y}{3} + y^2 = 5$	$x=1; y=3$	$\frac{5 \cdot 1 - 3}{3} + 3^2 = 5$	f
	$x=3; y=0$	$\frac{5 \cdot 3 - 0}{3} + 0^2 = 5$	w

Definition 2: Aussageformen

Sätze mit mindestens einer Variablen, die durch geeignete Ersetzungen aller Variablen zu Aussagen werden, heissen Aussageformen.

Die Menge, aus der die geeigneten Ersetzungen für die jeweilige Variable genommen werden, heisst Grundmenge $\mathbb{G}$ dieser Variablen. Bei der Aussageform "Der grösste gemeinsame Teiler der Zahlen 36 und $x$ ist 4", kurz " $\operatorname{ggT}(36; x) = 4$ ", sind nur natürliche Zahlen geeignete Ersetzungen für $x$ . Also kann $\mathbb{N}$ als Grundmenge für $x$ gewählt werden. Kommen in einer Aussageform mehrere Variablen vor, dann muss man für jede Variable die Grundmenge angeben, aus der die Einsetzungen genommen werden dürfen. Wir treffen folgende Vereinbarung:

Theorem 1

Ist keine besondere Grundmenge angegeben, dann ist die grösste jeweils bekannte Zahlenmenge die Grundmenge. Das ist zurzeit die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen.

Man interessiert sich bei einer Aussageform natürlich besonders für die Ersetzungen, bei denen eine wahre Aussage entsteht. Solche Ersetzungen heissen Lösungen der Aussageform.

Definition 3: Lösungsmenge

Die Menge aller Ersetzungen, die eine Aussageform zu einer wahren Aussage machen, heisst Lösungsmenge der Aussageform.

Example 4

Aussageform	Lösungsmenge
$x$ ist eine Primzahl	$\{2, 3, 5, 7, 11, \dots\}$
$x + 3 = 5$	$\{2\}$
$x^2 < 25$	Menge aller Zahlen zwischen -5 und 5, also $\{x \mid -5 < x < 5\}$

Ausserhalb der Mathematik treten Aussageformen oft als Formulare auf. Die Variablen werden dann meist durch Leerstellen gekennzeichnet.

Example 5: Beispiel

Der Schüler ___________________________ besucht im Schuljahr _____________ die Klasse _____________ des Gymnasiums Lerbermatt.

Aussageformen können also sehr verschieden aussehen. Für die Mathematik sind die wichtigsten Aussageformen Gleichungen und Ungleichungen.

Existenzaussagen und Allaussagen

Wir haben oben eine Möglichkeit kennengelernt, wie man aus Aussageformen Aussagen gewinnt, nämlich dadurch, dass man alle Variablen durch geeignete Zahlen (oder gegebenenfalls auch Wörter) ersetzt. Es gibt aber noch eine zweite Möglichkeit, aus Aussageformen Aussagen zu machen. $x + 0 = x$ ist eine Aussageform, ihre Lösungsmenge ist $\mathbb{R}$ . Diesen Sachverhalt können wir auch so ausdrücken: Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $x + 0 = x$ .

Dieser Satz enthält zwar eine Variable, ist aber keine Aussageform mehr, weil durch den vorangestellten Redeteil "Für alle $x \in \mathbb{R}$ " entschieden wird, ob der Satz wahr oder falsch ist; d. h., der Satz ist eine Aussage. Man kann noch durch einen zweiten Redeteil eine Aussageform zu einer Aussage machen, nämlich durch "Es gibt ein $x \in \mathbb{R}$ , sodass $\dots$ ". Zum Beispiel erhält man aus der Aussageform $x^2 = 9$ die Aussage: Es gibt ein $x \in \mathbb{R}$ , sodass $x^2 = 9$ . Diese Aussage ist wahr, weil z. B. $(-3)^2 = 9$ . Allgemein legen wir fest:

Definition 4: Existenz- und Allaussagen

Eine Aussage, die den Redeteil "Es gibt ein ..." bzw. "Es existiert ein ..." enthält, heisst Existenzaussage. Man schreibt $\exists$ .

Eine Aussage, die den Redeteil "Für alle ..." enthält, heisst Allaussage. Man schreibt $\forall$ .

All- und Existenzaussagen können natürlich auch falsch sein: "Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $x + 1 = 5$ " ist falsch, weil z. B. $2 + 1 = 5$ falsch ist. "Es gibt ein $x \in \mathbb{R}$ , sodass $x + 1 = x$ " ist falsch, weil für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, dass $x + 1 \neq x$ ist. Die wichtigsten Beispiele für wahre All- und Existenzaussagen sind die Rechengesetze für die reellen Zahlen, wie z. B. das Kommutativgesetz der Addition, das ausführlich geschrieben so lautet: Für alle $a \in \mathbb{R}$ und alle $b \in \mathbb{R}$ gilt $a + b = b + a$ .

Lösen von Gleichungen

Der Hyksoskönig A'User-Re Apophis (um 1590 bis 1550 v. Chr.) herrschte schon seit 33 Jahren über Ägypten. Im 4. Monat der Überschwemmungsjahreszeit dieses 33. Regierungsjahres schrieb Ahmose ein altes Buch der Mathematik ab, das aus der Zeit des Königs Amenemhet III. (1842–1794 v. Chr.) stammte.

Die Rolle wurde im 19. Jahrhundert wiederaufgefunden und im Jahre 1858 in Luxor an den schottischen Juristen Alexander Henry Rhind (1833–1863) verkauft. Sie ist $\qty{33}{cm}$ breit und $\qty{5.44}{m}$ lang und beidseitig beschrieben.

Der Text der Rolle – sie heisst heute Papyrus Rhind – beginnt mit einer grossen Versprechung:

»Regeln zur Erforschung aller Dinge, zur Erkenntnis alles Seienden, aller dunklen Geheimnisse.«

Dann kommen Divisionstabellen, an die sich 84 Aufgaben anschliessen. Diese entschleiern zunächst das Geheimnis der Zahlen und der Bruchrechnung, dann lösen sie Probleme aus der Geometrie und der Lehre von den Körpern, und schliesslich beschäftigen sie sich mit Fragen aus der Landwirtschaft. Aufgabe 24 – man liest den Text von rechts nach links – lautet:

Übersetzung: Haufen, sein Siebtel zu ihm, es macht 19. Gemeint war: Ein Siebtel einer unbekannten Zahl wird zu dieser Zahl hinzugefügt; man erhält dann 19.

Die Unbekannte

Die Ägypter waren vermutlich die ersten, die für eine unbekannte Zahl eine eigene Bezeichnung verwendeten. Im Papyrus Rhind schrieben sie dafür in Hieroglyphen 𓎛𓂝𓏭𓂋𓏏𓏭. Ausgesprochen wurde dieses Wort "aha"; seine Bedeutung war eigentlich Haufen.

Es war sicherlich ein ganz grosser Einfall in der Entwicklung der Mathematik, für eine Zahl, die man noch gar nicht kennt, ein eigenes Wort zu verwenden. Denn nun konnte man, da sie ja einen Namen hatte, von ihr reden, mit ihr Überlegungen, ja sogar Rechnungen ausführen. Diese grossartige Idee taucht auch bei den Babyloniern und bei den Indern auf. Im 4. Jh. v. Chr. finden wir bei griechischen Mathematikern, Thymaridas nennt die gesuchte Zahl genauso, wie wir es heute machen, nämlich unbekannt (ἀόριστον (aóriston)). Bei Al-Charizmi (um 780–nach 847) heisst die unbekannte Zahl شيء (schai: ein Etwas).

Es hat sich immer mehr eingebürgert, bekannte Zahlen durch Buchstaben wiederzugeben, wenn man allgemeine Rechenregeln angeben oder einen allgemeingültigen Rechenweg beschreiben wollte. Was lag also näher, als auch für die unbekannte Zahl einen Buchstaben zu verwenden? Aber welchen? Recht einleuchtend ist eigentlich die Idee von François Viète (1540–1603), der 1591 vorschlug, für die unbekannte Zahl den Vokal $A$ zu verwenden, und, falls es mehrere unbekannte Zahlen gibt, eben die Vokale der Reihe nach zu benützen, nämlich $A$ , $E$ , $I$ , $O$ , $U$ und $Y$ . Bekannte Zahlen sollten durch Konsonanten bezeichnet werden, also durch $B$ , $D$ , $G$ usw. Durchgesetzt hat sich aber eine Schreibweise, die 1637 der grosse französische Philosoph und Mathematiker René Descartes (1596 bis 1650) ohne weitere Begründung im Discours de la méthode einführte. Er bezeichnete die unbekannten Zahlen mit $x$ , $y$ und $z$ , die bekannten dagegen mit den ersten Buchstaben des Alphabets, also mit $a$ , $b$ , $c$ usw. Wir wollen es genauso halten.

Die Gleichung als Aussageform

$x + \frac{1}{7}x = 19$ ist ein Satz, der eine Variable enthält; also ist er nach Definition eine Aussageform. Deuten wir eine Bestimmungsgleichung als Aussageform, so besteht unsere Aufgabe darin, alle Zahlen zu finden, durch die man die Variable $x$ ersetzen kann, sodass dabei aus der Aussageform eine wahre Aussage wird. Kurz, wir suchen die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ der Aussageform. Im Papyrus Rhind wird behauptet, die Lösungsmenge der Aussageform $x + \frac{1}{7}x = 19$ sei $\{16\frac{5}{8}\}$ .

Die Probe

Wenn man eine Zahl gefunden hat, von der man vermutet, dass sie eine Lösung der Gleichung ist, dann kann man diese Vermutung durch eine Probe bestätigen oder widerlegen. Dazu ersetzt man die Variable $x$ durch die gefundene Zahl und berechnet getrennt die linke und die rechte Seite der Gleichung. Wir führen in $x + \frac{1}{7}x = 19$ die Probe für $x = 16\frac{5}{8}$ durch. Die linke Seite ist:

\begin{align*} 16\frac{5}{8} + \frac{1}{7} \cdot 16\frac{5}{8} &= 16\frac{5}{8} + \frac{1}{7} \cdot \frac{133}{8} \\ &= 16\frac{5}{8} + \frac{19}{8} \\ &= 16\frac{5}{8} + 2\frac{3}{8} \\ &= 19 \end{align*}

und die rechte 19. Also ist $16\frac{5}{8}$ eine Lösung der Gleichung $x + \frac{1}{7}x = 19$ , was man kurz durch $16\frac{5}{8} \in \mathbb{L}$ ausdrücken kann. Schon im Papyrus Rhind ist diese Probe ausgeführt.

Äquivalenzumformungen von Gleichungen

Der einfachste Gleichungstyp ist von der Bauart $x = 7$ . Eine Lösung dieser Gleichung liest man direkt ab, nämlich 7. Weitere Lösungen gibt es nicht, da man mit keiner von 7 verschiedenen Zahlen anstelle von $x$ eine wahre Aussage erhält. Die Information über die gesuchte Zahl ist also eindeutig. Die gesuchte Zahl ist 7.

Definition 5: Äquivalente Gleichungen

Zwei Gleichungen heissen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen. Eine Gleichungsumformung heisst Äquivalenzumformung, wenn die ursprüngliche Gleichung und die neue Gleichung äquivalent sind.

Unser Ziel ist es nun, Gleichungsumformungen aufzufinden, die als Äquivalenzumformungen zum Lösen von Gleichungen benützt werden können.

Example 6

Zum Beispiel haben die Gleichungen $x=7$ und die durch die Äquivalenzumformung $+3$ gebildete Gleichung $x+3=10$ dieselbe Lösungsmenge.

Example 7

Betrachte die Gleichung

x=7

und quadriere beide Seiten, $(\phantom{x})^2$ . Was lässt sich nun über die Lösungsmenge der Gleichung

x^2=49

sagen?

Solution

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Die erste Gleichung hat offensichtlich die Lösungsmenge $\{7\}$ , die zweite Gleichung aber die Lösungsmenge $\{7, -7\}$ . Durch das Quadrieren ist also eine weitere Lösung dazugekommen.

Lineare Gleichungen

Definition 6: Lineare Gleichung

Eine Gleichung, in der die Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommt, heisst lineare Gleichung.

Den Weg zur Lösung einer linearen Gleichung fassen wir wie folgt zusammen:

Note 1

Eine lineare Gleichung wird durch Äquivalenzumformungen in der folgenden Reihenfolge gelöst:

Vereinfachen
Addieren
Multiplizieren

Lineare Gleichungen lassen sich immer nach demselben Prinzip lösen: "Bringe $x$ -Terme auf die eine Seite und die Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens."

Example 8

Die Gleichung

3x-4 = 0

kann wie folgt gelöst werden:

\begin{align*} 3x -4 & = 0 \tag{$+4$} \\ 3x & = 4 \tag{$\div3$} \\ x & = \frac{4}{3} \end{align*}

Example 9

Die Variable $x$ steht auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens:

0.5 x-3 = 2 x+1

Bringe wiederum alle $x$ auf die eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens:

\begin{align*} 0.5 x-3 & = 2 x+1 \tag{$-2x$} \\ -1.5 x -3 & = 1 \tag{$+3$} \\ -1.5 x & =4 \tag{$\div-1.5$} \\ x & = \frac{4}{-1.5}=-2.\overline{6} \end{align*}

Example 10

Löse die Gleichung:

0.5 x-3 +4x +5 = 2.4 x+1 -3x+2-6x

\begin{align*} 4.5 x +2 & = -6.6x +3 \tag{$+6.6x$} \\ 11.1 x +2 & = 3 \tag{$-2$} \\ 11.1 x & =1 \tag{$\div11.1$} \\ x & = \frac{1}{11.1}=\frac{10}{111} \end{align*}

Example 11

Hier ist ein weiteres Beispiel:

\begin{align*} 2x^2+4x-3 &= 2-x+2x^2 \tag{$-2x^2$} \\ 4x -3 & = 2-x \tag{$+x$} \\ 5x -3 & = 2 \tag{$+3$} \\ 5x & = 5 \tag{$\div5$} \\ x &= 1 \end{align*}

Example 12

Und ein letztes Beispiel:

\begin{align*} \frac{4}{x}-3 &= 2 \tag{$+3$} \\ \frac{4}{x} & = 5 \tag{$\cdot x$} \\ 4 & = 5x \tag{$\div5$} \\ \frac{4}{5} & = x \end{align*}

Beachte, dass schon im ersten Schritt beide Seiten mit $x$ multipliziert werden könnten:

\begin{align*} \frac{4}{x}-3 &= 2 \tag{$\cdot x$} \\ x\cdot \left(\frac{4}{x}-3\right) &= 2x \\ 4-3x &= 2x \tag{$+3x$} \\ 4 &= 5x \tag{$\div5$} \\ \frac{4}{5} &= x \end{align*}

Note 2

Wir empfehlen, durch einen kurzen Check die berechneten Lösungen in der Ausgangsgleichung zu überprüfen. Beispielsweise wurde im letzten Beispiel $x=\frac{4}{5}$ erhalten. Wir prüfen:

\begin{align*} \frac{4}{\frac{4}{5}}-3 &= 2 \\ 4\cdot\frac{5}{4}-3 &= 2 \\ 5-3 &= 2 \\ 2 &= 2 \;\checkmark \end{align*}

Exercise 1: Lineare Gleichungen lösen 1

Löse die folgenden Gleichungen.

a) $8+6x=20$

b) $-3+5x=17$

c) $4x-12=44$

d) $1-13=6x$

e) $10-24x=-36$

f) $19-x=100-10x$

g) $3x+1=5x-3$

h) $19-2x=8x-16$

i) $4x+15=x-54$

j) $5x+2+x=26$

k) $-x+8-3x=0$

l) $17-17=12x+3x$

m) $11x-41=10x-31$

n) $5x-5=15+3x$

o) $4x-16=19-3x$

p) $8x+22-x=100-11x-42$

q) $9x-7x+16=5x+7-10x$

r) $19+3x-23=10+2x-34$

s) $29x+39-34x=49-20x-10$

t) $4x+4-7x=-8x+2+5x-4$

Solution

a) $x=2$

b) $x=4$

c) $x=14$

d) $x=-2$

e) $x=\frac{23}{12}$

f) $x=9$

g) $x=2$

h) $x=3.5$

i) $x=-23$

j) $x=4$

k) $x=2$

l) $x=0$

m) $x=10$

n) $x=10$

o) $x=5$

p) $x=2$

q) $x=-\frac{9}{7}$

r) $x=-20$

s) $x=0$

t) Keine Lösung

Exercise 2: Lineare Gleichungen lösen 2

Löse die folgenden Gleichungen.

a) $2x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x + 2 - \frac{1}{3}x$

b) $-0.5x + 9 = \frac{2}{5}x + 4 - \frac{4}{5}x + 0.2$

c) $\frac{2x+5}{3} = x+4$

d) $\frac{8+12x}{19} = \frac{6x-7}{4}$

e) $\frac{3x-6}{5} - \frac{1-15x}{2} = 1$

f) $\frac{13x+8}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6-11x}{15}$

g) $9x-2-(7-2x)=13$

h) $12x - 12 - (12x-12) = 13$

i) $9 - (5x+2) + (10+8x) - (3x-18) = x+20$

j) $93+2x-(19x-15)=100-7x-(11x-5+2x)$

k) $1.45x+3.29=12.9x-0.99x-11x+0.32$

l) $\frac{1}{2}(x-5) - x = 1 + \frac{1}{3}(11-2x)$

m) $3x(x+7)-x(3x+7)+70=0$

n) $6x - \frac{x-3}{2} - \frac{3+x}{2} = -x+3$

o) $[(x+1)\cdot2+1]\cdot3+1 = ([(x+1)\cdot2+1]\cdot2+\frac{x}{3})\cdot3 + \frac{x}{4}$

p) $x-2[x+3[x+4]] = 15$

q) $1.5(3-5x) - [4(2.8+0.3x)-10] + 9x = 0.3x$

Solution

a) $\mathbb{L} = \{\frac{24}{17}\}$

b) $\mathbb{L} = \{48\}$

c) $\mathbb{L} = \{-7\}$

d) $\mathbb{L} = \{\frac{5}{2}\}$

e) $\mathbb{L} = \{\frac{1}{3}\}$

f) $\mathbb{L} = \{-\frac{6}{29}\}$

g) $\mathbb{L} = \{2\}$

h) $\mathbb{L} = \emptyset$

i) $\mathbb{L} = \{15\}$

j) $\mathbb{L} = \{-1\}$

k) $\mathbb{L} = \{-5.5\}$

l) $\mathbb{L} = \{43\}$

m) $\mathbb{L} = \{-5\}$

n) $\mathbb{L} = \{\frac{1}{2}\}$

o) $\mathbb{L} = \{-\frac{32}{29}\}$

p) $\mathbb{L} = \{-\frac{39}{7}\}$

q) $\mathbb{L} = \{1\}$

Exercise 3: Falls linear

Falls linear, löse die Gleichung nach $x$ auf.

a) $6x-10=x-5$

b) $-x-2=x+3$

c) $3-4x=5-2x-16$

d) $15x-73-24x=59-16+20x$

e) $56x-43-52-19x=7-72x-56x+165x-112$

f) $92-13x-x^2=52-3x-x^2$

g) $14-(10-x)=0$

h) $14-(x-15)=2-(6x+13)$

i) $5(4x+9)-6(2x-5)=75$

j) $10-6(x-14)=20-3(2x-25)$

k) $(15x-3)^2=x(225x-15)$

l) $(x-5)(x-2)=(x-4)(x-3)$

m) $(x+3)(x-5)=(x-3)^2$

n) $x^2-3x+14=x(x+7)$

o) $(2x-3)^2=(2x+3)^2+12$

p) $\frac{x}{4}+\frac{1}{5}=\frac{x}{2}+\frac{x}{6}$

q) $\frac{x+3}{5}=\frac{2x-8}{3}$

r) $\frac{3}{x}+1 = 2$

s) $\frac{7}{x}-4 = \frac{2}{x}+2$

t) $\frac{2}{x}+x = x+7$

Solution

a) $x=1$

b) $x=-2.5$

c) $x=7$

d) $x=-4$

e) Keine Lösung

f) $x=4$

g) $x=-4$

h) $x=-8$

i) $x=0$

j) Keine Lösung

k) $x=0.12$

l) Keine Lösung

m) $x=6$

n) $x=1.4$

o) $x=-0.5$

p) $x=0.48$

q) $x=7$

r) $x=3$

s) $x=0.8\overline{3}$

t) $x=\frac{2}{7}$

Exercise 4: Einige Textaufgaben

Finde die Gleichung und löse sie.

a) Die Summe fünf aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist $960$ . Finde diese Zahlen.

b) Die Differenz zweier natürlicher Zahlen ist $3$ , die Differenz der Quadrate $381$ . Finde diese Zahlen.

c) Eine Treppe in den ersten Stock hat $22$ Stufen. Würde jede Stufenhöhe um $\qty{1.6}{cm}$ erhöht, bräuchte es nur $20$ Stufen. Wie hoch sind die Treppenstufen?

d) Ein Baum hat die Höhe $\qty{2.5}{m}$ und ist irgendwo in der Mitte gebrochen, und zwar so, dass der obere Teil nun den Boden $\qty{50}{cm}$ entfernt vom Stamm berührt. Auf welcher Höhe ist die Bruchstelle des Baums?

e) Ein Zug mit einer Geschwindigkeit von $\qty{72}{km/h}$ verlässt den Bahnhof $A$ um 15:00 und fährt Richtung Bahnhof $B$ . Um 15:15 fährt ein anderer Zug mit einer Geschwindigkeit von $\qty{88}{km/h}$ vom Bahnhof $B$ in Richtung $A$ . Die Distanz zwischen $A$ und $B$ beträgt $\qty{120}{km}$ . Wann kreuzen sich die Züge?

f) Hahn 1 füllt den Pool in $\qty{1}{Stunde}$ , Hahn 2 in $\qty{2}{Stunden}$ , Hahn 3 in $\qty{3}{Stunden}$ , und Hahn 4 in $\qty{4}{Stunden}$ . Wie lange dauert es, den Pool zu füllen, wenn alle Hähne gleichzeitig aufgedreht werden?

Solution

a) Es sei $x$ die kleinste dieser Zahlen. Die fünf Zahlen sind also $x, x+1, x+2, x+3, x+4$ . Die Summe ist 960, also: $x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=960$ , was vereinfacht wird zu: $5x+10=960$ . Die Lösung ist: $x=\frac{950}{5}=190$ . Kontrolle: $190+191+192+193+194=960$ .

b) Es sei $x$ die kleinere der zwei Zahlen. Die grössere Zahl ist also $x+3$ . Wir erhalten die Gleichung: $(x+3)^2-x^2=381$ Auflösung: $x^2+6x+9 -x^2 = 381 \Rightarrow 6x = 372 \Rightarrow x = 62$ . Die Zahlen sind 62 und 65. Kontrolle: $65^2-62^2=381$ .

c) Mit $x$ als ursprünglicher Stufenhöhe ergibt sich folgende Gleichung: $20(x+1.6) = 22x$ Auflösen nach $x$ : $20x+32 = 22x \Rightarrow 32 = 2x \Rightarrow 16 =x$ . Die originale Stufenhöhe ist also $\qty{16}{cm}$ .

d) Es sei $x$ die Höhe der Bruchstelle in cm. Die Gleichung lautet: $x^2+50^2 = (250-x)^2$ Lösung: $x^2+2500 = 62\,500-500x+x^2 \Rightarrow 2500 = 62\,500-500x \Rightarrow -60\,000 = -500x \Rightarrow 120 =x$ . Die Höhe der Bruchstelle ist $\qty{120}{cm}=\qty{1.2}{m}$ .

e) Es sei $t$ die Zeit in Stunden seit 15:15. In dieser Zeit hat der erste Zug bereits $\qty{18}{km}$ zurückgelegt ( $72 \cdot 0.25$ ). Die Restdistanz von $\qty{102}{km}$ wird mit einer relativen Geschwindigkeit von $\qty{160}{km/h}$ (72 + 88) überwunden. $102-160t = 0 \Rightarrow t=0.6375\,\mathrm{h} = 38.25 \,\mathrm{min}$ . Die Züge kreuzen sich um 15:53 und 15 Sekunden.

f) Das Volumen des Pools sei $V$ . Wir haben dann: Sind alle Hähne offen, befindet sich zur Zeit $x$ die folgende Menge Wasser im Pool: $x V+\frac{x}{2}V+\frac{x}{3}V+\frac{x}{4}V = V$ . Wir können $V$ kürzen und erhalten: $x +\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=1 \Rightarrow \frac{12x+6x+4x+3x}{12} = 1 \Rightarrow 25x = 12 \Rightarrow x = 0.48$ . Es braucht also 0.48 Stunden, oder 28.8 Minuten.

Exercise 5: Lineare Gleichungen mit Parametern

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in Abhängigkeit von den Parametern. Führe gegebenenfalls eine vollständige Fallunterscheidung durch.

a) $x+a^2=1$

b) $x-a-3b+2c=0$

c) $a^2=x-a(1+a)$

d) $a^2 x = 3a^2-2ab$

e) $(b+1)x = 2b^2-2$

f) $\frac{x}{1+a^2} = 1-a^2$

g) $px-p^2-1=x-2p$

h) $ax-1=a-a^2x$

i) $\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=\frac{a}{b}+1$

j) $\frac{15x}{2m}-\frac{10x-2}{3m}=\frac{34}{m}$

Solution

a) $\mathbb{L}=\{1-a^2\}$

b) $\mathbb{L}=\{a+3b-2c\}$

c) $\mathbb{L}=\{2a^2+a\}$

d) Fall 1: $a \neq 0 \Rightarrow \mathbb{L}=\{3-\frac{2b}{a}\}$ . Fall 2: $a=0 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}$ .

e) Fall 1: $b \neq -1 \Rightarrow \mathbb{L}=\{2b-2\}$ . Fall 2: $b=-1 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}$ .

f) $\mathbb{L}=\{1-a^4\}$ g) Fall 1: $p \neq 1 \Rightarrow \mathbb{L}=\{p-1\}$ . Fall 2: $p=1 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}$ .

h) Fall 1: $a \notin \{0, -1\} \Rightarrow \mathbb{L}=\{\frac{1}{a}\}$ . Fall 2: $a=0 \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$ . Fall 3: $a=-1 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}$ .

i) Fall 1: $a \neq -b, a\neq0, b\neq0 \Rightarrow \mathbb{L}=\{a\}$ . Fall 2: $a=-b, a\neq0, b\neq0 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}$ .

j) $\mathbb{L}=\{8\}$ für $m\neq0$

Exercise 6: Lineare und Bruchgleichungen mit Parametern

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in Abhängigkeit von den Parametern. Führe gegebenenfalls eine vollständige Fallunterscheidung durch.

a) $x+a^2=1$

b) $(b+1)x = 2b^2-2$

c) $2ax-5a^2=3ab+ax$

d) $ax-1=a-a^2x$

e) $(2a-b)x-b(4-3x)=4a$

f) $x(ax+b)-ax(x-1)+a^2=b^2$

g) $\frac{a}{x} = b$

h) $\frac{x+a}{x-a} = \frac{a+b}{a-b}$

i) $\frac{x-a}{x+a} = 2-\frac{x+a}{x-a}$

j) $\frac{5b}{x-a}+\frac{2b}{a+x}=\frac{4ab}{a^2-x^2}$

k) $\frac{4x+b}{4x-b}-\frac{4x-b}{4x+b}=\frac{bx-15}{16x^2-b^2}$

l) $\frac{1-\frac{a}{a+x}}{1+\frac{a}{a+x}}=\frac{2x+a}{2a+x}$

Solution

a) $\mathbb{L}=\{1-a^2\}$

b) Falls $b \neq -1 \Rightarrow \mathbb{L}=\{2b-2\}$ . Falls $b=-1 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}$ .

c) Falls $a \neq 0 \Rightarrow \mathbb{L}=\{5a+3b\}$ . Falls $a=0 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}$ .

d) Falls $a \notin \{0, -1\} \Rightarrow \mathbb{L}=\{\frac{1}{a}\}$ . Falls $a=-1 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}$ . Falls $a=0 \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$ .

e) Falls $a \neq -b \Rightarrow \mathbb{L}=\{2\}$ . Falls $a=-b \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}$ .

f) Falls $a \neq -b \Rightarrow \mathbb{L}=\{b-a\}$ . Falls $a=-b \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}$ .

g) Falls $b \neq 0, a \neq 0 \Rightarrow \mathbb{L}=\{\frac{a}{b}\}$ . Falls $b \neq 0, a=0 \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$ . Falls $b=0, a \neq 0 \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$ . Falls $b=0, a=0 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

h) Falls $b \neq 0$ und $a \neq b \Rightarrow \mathbb{L}=\{\frac{a^2}{b}\}$ . Falls $b=0$ oder $a=b \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$ .

i) Falls $a=0 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Falls $a \neq 0 \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$ .

j) $\mathbb{L}=\emptyset$

k) Falls $b \neq 0 \Rightarrow \mathbb{L}=\{-\frac{1}{b}\}$ . Falls $b=0 \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$ .

l) Falls $a=0 \Rightarrow \mathbb{L}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Falls $a \neq 0 \Rightarrow \mathbb{L}=\emptyset$ .