Lineare Funktionen

Proportionalität

Definition 1: Proportionalität

Eine Funktion der Form

f(x)=mx, \quad m\in\mathbb{R}

heisst Proportionalität. Der Parameter $m$ heisst Proportionalitätskonstante oder Proportionalitätsfaktor.

Example 1

Die Menge der nötigen Zutaten für ein Rezept in Abhängigkeit der Anzahl der Personen ist eine Proportionalität.

Theorem 1

Die zu einer Proportionalität $f$ gehörenden Zahlenpaare haben denselben Quotienten.

Proof

Sei $f(x)=mx$ eine Proportionalität. Dann gilt für beliebige Zahlenpaare $(x|y)=(x|mx)$ und damit für den Quotienten:

\frac{y}{x}=\frac{mx}{x}=m

Example 2

$f(x)=2x$

Example 3

Der Schweredruck $P$ in Wasser ist proportional zur Tiefe $h$ unter der Wasseroberfläche. Aus Messungen kennt man die Beziehung

P(h)=\rho_w gh

wobei $\rho_w$ die Dichte von Wasser und $g$ den Ortsfaktor bezeichnet. $P(h)$ ist eine Proportionalität mit der Proportionalitätskonstante $\rho_w g$ .

Note 1

Wenn für die Argumentation bloss wichtig ist, dass es sich um eine Proportionalität handelt und der Wert der Konstanten keine Rolle spielt, schreibt man kurz $P \sim h$ .

Lineare Funktionen

In der Mathematik beschreiben lineare Funktionen Zusammenhänge, bei denen sich eine Grösse gleichmässig mit einer anderen ändert. Die grafische Darstellung einer solchen Funktion ist immer eine Gerade.

Example 4

Für ein Handy-Abonnement zahlt man eine Grundgebühr von $\qty{10.00}{Franken}$ pro Monat. Jede SMS kostet $\qty{0.25}{Franken}$ . Wir stellen die Kosten in Abhängigkeit der verschickten SMS dar ( $\mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0$ ).

a) Ohne Grundgebühr (reine Proportionalität):

f(x)=0.25x

b) Mit Grundgebühr (Verschiebung):

k(x)=0.25x+10

Die Addition der Grundgebühr bewirkt eine Verschiebung des Graphen parallel zur $y$ -Achse um $10$ Einheiten: $k(x) = f(x) + 10$ .

Definition 2: Lineare Funktion

Eine Funktion der Form

f(x)=mx+q, \quad m,q\in\mathbb{R}

heisst linear. Den Parameter $m$ nennt man Steigung, den Parameter $q$ $y$ -Achsenabschnitt.

Theorem 2

Der Graph einer linearen Funktion $f(x)=mx+q$ ist eine Gerade, welche die $y$ -Achse im Punkt $(0|q)$ schneidet.

Proof

Dass der Graph eine Gerade ist, folgt aus der konstanten Steigung (Ähnlichkeitsargument). Der Schnittpunkt ergibt sich durch $f(0)=m\cdot 0+q=q$ , also $(0|q)$ .

Example 5: Bestimmung der Funktionsgleichung aus zwei Punkten

Gesucht ist die Gerade durch $P(-1|1)$ und $Q(3|2)$ .

Steigung berechnen:

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{q_y - p_y}{q_x - p_x} = \frac{2 - 1}{3 - (-1)} = \frac{1}{4} = 0.25

Parameter $q$ bestimmen (Punkt $P$ einsetzen):

1 = 0.25 \cdot (-1) + q \Rightarrow 1 = -0.25 + q \Rightarrow q = 1.25

Die Gleichung lautet: $f(x) = 0.25x + 1.25$ oder $f(x) = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$ .

Eigenschaften der Parameter $m$ und $q$

Steigung $m$ : Ist $m > 0$ , steigt die Gerade; ist $m < 0$ , fällt sie. Bei $m = 0$ handelt es sich um eine konstante Funktion (Gerade parallel zur $x$ -Achse).
$y$ -Achsenabschnitt $q$ : Gibt an, wo die Gerade die vertikale Achse schneidet.

Exercise 1: Wertetabellen vervollständigen

Ergänze die Tabellen so, dass eine lineare Funktion entsteht.

x	-3	0	1.2	6	7
y	-3.5		2.8		11.5

x		1	3	7	11
y	14	0		-21

Solution

a) $y = 1.5x + 1$ . Fehlende Werte: bei $x=0 \rightarrow y=1$ ; bei $x=6 \rightarrow y=10$ .

b) $y = -3.5x + 3.5$ . Fehlende Werte: bei $y=14 \rightarrow x=-3$ ; bei $x=3 \rightarrow y=-7$ ; bei $x=11 \rightarrow y=-35$ .

Exercise 2: Geraden zeichnen und bestimmen

Bestimme die Funktionsgleichung:

a) $g$ durch den Punkt $P(-3|-2)$ parallel zur $x$ -Achse.

b) $g$ fallend mit einem Neigungswinkel von $45^\circ$ durch den Punkt $Q(1|-2)$ .

c) $g$ parallel zu $f(x) = -\frac{5}{3}x + 1$ durch $R(0|2.7)$ .

d) $g$ mit Steigung $1.5$ , schneidet $f(x) = 0.9x - 1.5$ bei $x=5$ .

Solution

a) $y = -2$

b) Neigung $45^\circ$ fallend bedeutet $m = -1$ . Punkt $Q$ einsetzen: $-2 = -1(1) + q \Rightarrow q = -1$ . Also $y = -x - 1$ .

c) $y = -\frac{5}{3}x + 2.7$ .

d) Schnittpunkt $S$ bestimmen: $y_S = 0.9 \cdot 5 - 1.5 = 3 \rightarrow S(5|3)$ . Einsetzen in $y = 1.5x + q$ : $3 = 1.5 \cdot 5 + q \Rightarrow 3 = 7.5 + q \Rightarrow q = -4.5$ . Also $y = 1.5x - 4.5$ .

Exercise 3: Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?

Überprüfe durch Rechnung, ob die angegebenen Punkte auf der Geraden $g$ liegen. Geradengleichung $g(x) = 2.5x - 4$

a) $P(2 | 1)$

b) $Q(4 | 7)$

c) $R(-2 | -9)$

d) $S(0 | -4)$

Solution

a) $2.5 \cdot 2 - 4 = 5 - 4 = 1$ . Wahr. $P$ liegt auf $g$ .

b) $2.5 \cdot 4 - 4 = 10 - 4 = 6 \neq 7$ . Falsch. $Q$ liegt nicht auf $g$ .

c) $2.5 \cdot (-2) - 4 = -5 - 4 = -9$ . Wahr. $R$ liegt auf $g$ .

d) $2.5 \cdot 0 - 4 = -4$ . Wahr. $S$ liegt auf $g$ (es ist der $y$ -Achsenabschnitt).

Exercise 4: Nullstellenberechnung

Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen. Eine Nullstelle ist diejenige Stelle $x$ , an der der Funktionswert $y = 0$ ist.

a) $f(x) = 3x - 12$

b) $g(x) = -0.5x + 5$

c) $h(x) = \frac{2}{3}x + 4$

Solution

a) $0 = 3x - 12 \Rightarrow 12 = 3x \Rightarrow x = 4$

b) $0 = -0.5x + 5 \Rightarrow -5 = -0.5x \Rightarrow x = 10$

c) $0 = \frac{2}{3}x + 4 \Rightarrow -4 = \frac{2}{3}x \Rightarrow -12 = 2x \Rightarrow x = -6$

Exercise 5: Geradengleichung aus zwei Punkten

Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft. Hinweis: Berechne zuerst die Steigung $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ und setze dann einen Punkt ein, um $q$ zu finden.

a) $A(1 | 5)$ und $B(3 | 11)$

b) $A(-2 | 8)$ und $B(2 | 0)$

Solution

a) $m = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ . Einsetzen von $A(1|5)$ in $y = 3x + q$ : $5 = 3 \cdot 1 + q \Rightarrow q = 2$ . Lösung: $y = 3x + 2$

b) $m = \frac{0 - 8}{2 - (-2)} = \frac{-8}{4} = -2$ . Einsetzen von $B(2|0)$ in $y = -2x + q$ : $0 = -2 \cdot 2 + q \Rightarrow q = 4$ . Lösung: $y = -2x + 4$

Note 2

Wenn zwei Geraden die gleiche Steigung $m$ haben, verlaufen sie parallel zueinander. Sie unterscheiden sich dann nur in ihrem $y$ -Achsenabschnitt $q$ .

Exercise 6: Die brennende Kerze

Eine Kerze hat eine Anfangshöhe von $\qty{20}{cm}$ . Nach $\qty{4}{Stunden}$ Brenndauer ist sie nur noch $\qty{12}{cm}$ hoch. Wir nehmen an, dass die Kerze gleichmässig abbrennt.

a) Stelle die Funktionsgleichung auf ( $x$ in Stunden, $y$ in cm).

b) Wie hoch ist die Kerze nach $\qty{2.5}{Stunden}$ Brenndauer?

c) Nach wie vielen Stunden ist die Kerze komplett abgebrannt?

Solution

a) Zum Zeitpunkt $x=0$ ist $y=20$ , also $q=20$ . Nach $4$ Stunden ( $x=4$ ) ist $y=12$ .

m = \frac{12 - 20}{4 - 0} = \frac{-8}{4} = -2

Gleichung: $h(t) = -2x + 20$

b) $h(2.5) = -2 \cdot 2.5 + 20 = -5 + 20 = 15$ . Die Kerze ist noch $\qty{15}{cm}$ hoch.

c) Nullstelle suchen: $0 = -2x + 20 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10$ . Die Kerze ist nach $10$ Stunden abgebrannt.

Anwendungsaufgaben

Exercise 7: Taxi- und Mietwagenkosten

Taxi: In einer Stadt beträgt die Grundgebühr $\qty{3.20}{CHF}$ und der Kilometerpreis $\qty{1.80}{CHF}$ .

a) Stelle die Kostenfunktion auf.

b) Ein Gast zahlte $\qty{17.60}{CHF}$ . Wie weit ist er gefahren?

Mietauto: Grundgebühr $\qty{80.00}{CHF}$ pro Tag plus $\qty{0.15}{CHF}$ für jeden gefahrenen Kilometer.

c) Berechne, wie teuer diese Fahrt für Herrn Knapp wird, wenn er $\qty{324}{km}$ zurücklegt. d) Die Firma bietet wahlweise einen Tagessatz von $\qty{134.00}{CHF}$ an. Bestimme, ab welcher Strecke dieses Angebot günstiger ist.

Solution

a) $y = 1.80x + 3.20$ (Kosten $y$ in $\mathrm{CHF}$ , Strecke $x$ in $\mathrm{km}$ ).

b) $17.60 = 1.80x + 3.20 \Rightarrow 14.40 = 1.80x \Rightarrow x = 8$ . Er ist $\qty{8}{km}$ gefahren.

c) $y = 0.15 \cdot 324 + 80 = 48.60 + 80 = \qty{128.60}{CHF}$ .

d) $134 < 0.15x + 80 \Rightarrow 54 < 0.15x \Rightarrow x > 360$ . Ab $\qty{360}{km}$ ist die Flatrate günstiger.

Exercise 8: Die Schraubenfeder

Eine Schraubenfeder ist unbelastet $\qty{16}{cm}$ lang. Bei einer Belastung von $\qty{100}{g}$ verlängert sie sich um $\qty{8}{cm}$ ; die Elongation sei proportional zur Belastung.

a) Stelle die Federlänge $l$ in $\qty{}{cm}$ als Funktion der Belastung $m$ in $\qty{}{g}$ dar.

b) Berechne die Masse, die man höchstens anhängen kann, wenn die Feder maximal auf $\qty{80}{cm}$ gedehnt werden darf.

Solution

a) Steigung (Verlängerung pro Gramm): $m = \frac{\qty{8}{cm}}{\qty{100}{g}} = \qty{0.08}{cm/g}$ . Gesamtlänge: $l(m) = 0.08m + 16$ .

b) $80 = 0.08m + 16 \Rightarrow 64 = 0.08m \Rightarrow m = 800$ . Es können maximal $\qty{800}{g}$ angehängt werden.

Lineare Funktionen

Proportionalität

Lineare Funktionen

Eigenschaften der Parameter mm und qq

Anwendungsaufgaben

Eigenschaften der Parameter $m$ und $q$