Stationäre Punkte

Wir sind oft daran interessiert, die höchsten oder tiefsten Punkte auf dem Graphen einer Funktion $f$ zu finden (wir werden Anwendungen davon im Kapitel Optimierung sehen).

Zum Beispiel, betrachten den Graph unten.

Wir nennen $A$ ein lokales Maximum (oder ein Hochpunkt), und Punkt $B$ ein lokales Minimum (oder ein Tiefpunkt). $A$ oder $B$ sind lokale Extrempunkte. Beachte, dass $A$ und $B$ nur die höchsten oder tiefsten Punkte in einer lokalen Umgebung sind, daher $A$ ist der höchste Punkt eines Hügels und $B$ der tiefste Punkt eines Tals. Etwas formaler formuliert, $A$ ist ein Hochpunkt, da wir auf dem Graphen hinuntergehen wenn wir uns ein bisschen nach links oder rechts bewegen. Und $B$ is ein Tiefpunkt, weil wir uns dann hinauf bewegen.

Es gibt Punkte auf dem Graphen die klar höher oder tiefer sind, die sind aber schwieriger zu entdecken (oft haben wir kein Bild des Graphen). Die lokalen Extrempunkte hingegen sind einfach zu finden. In der Tat, es sollte intuitiv klar sein, dass die Tangente in diesen Punkten horizontal sein muss (Punkte $A$ und $C$ im Bild unten). Punkte auf dem Graphen mit einer horizontalen Tangente werden stationäre Punkte genannt.

Beachte aber, dass nicht nur lokale Extrempunkte eine eine horizontale Tangente besitzen (Punkt $B$ im Bild unten). Wir nennen diese Punkte Sattelpunkte. Bewegen wir uns von einem Sattelpunkt aus nach links, so gehen wir abwärts , bewegen wir uns rechts, so gehen wir aufwärts (oder umgekehrt).

Fassen wir zusammen:

Theorem 1

Gegeben sei eine Funktion $f$ , und ein Punkt $P(x|y)$ auf dem Graphen von $f$ . $P$ ist ein stationären Punkt genau dann, wenn gilt

f'(x)=0

Ein stationärer Punkt ist entweder ein lokaler Extrempunkt (lokales Maximum oder Minimum), oder ein Sattelpunkt.

Example 1

Finde die stationären Punkte der Funktion $f(x)=x^3-2x^2$ durch Berechnung. Zeichne anschliessend den Graphen, um die stationären Punkte als lokales Maximum, lokales Minimum oder Sattelpunkt zu klassifizieren.

Solution

Um die $x$ -Koordinate der stationären Punkte zu finden, bestimme alle Werte von $x$ mit

f'(x)=0

3x^2-4x=0

Verwende die Mitternachtsformel, um die Gleichung zu lösen. Alternativ, forme um

x(3x-4)=0

woraus folgt, dass $x_1=0$ und $x_2=\frac{4}{3}$ . Mit $f(0)=0$ und $f(\frac{4}{3})=-\frac{32}{27}$ erhalten wir die stationären Punkte $\underline{P_1(0|0)}$ und $\underline{P_2(\frac{4}{3} | -\frac{32}{27})}$ . Aus der Zeichnung folgt (nicht gezeigt), dass $P_1$ ein lokales Maximum und $P_2$ ein lokales Minimum ist.

Können wir irgendwie den Typ des stationären Punktes (Maximum, Minimum, Sattelpunkt) bestimmen? Dies könnte praktisch sein, wenn wir den Graphen nicht zeichnen können, oder wenn es z. B. so viele stationäre Punkte gibt, dass es schwierig ist, sie alle zu identifizieren und zu klassifizieren (z.B. zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=\sin(1/x)$ ).

Glücklicherweise gibt es einige einfache Kriterien, um stationäre Punkte zu klassifizieren.

Theorem 2

Nehmen wir an, dass $P(x|y)$ ein stationärer Punkt einer Funktion $f$ ist, d.h. $f'(x)=0$ . Dann haben wir das Folgende:

\begin{array}{lll} f^{\prime\prime}(x)<0 & \rightarrow & \text{$x$ lokales Maximum}\\ f^{\prime\prime}(x)>0 & \rightarrow & \text{$x$ lokales Minimum}\\ f^{\prime\prime}(x)=0 \text{ und } f^{\prime\prime\prime}(x)\neq 0 & \rightarrow & \text{$x$ Sattelpunkt} \\ f^{\prime\prime}(x)=0 \text{ und } f^{\prime\prime\prime}(x)= 0 & \rightarrow & \text{unklar, entscheide mit Skizze} \end{array}

Klicke rechts, um die Begründung zu sehen, oder noch besser, versuche es selbst durch grafisches Ableiten.

Proof

Um dies zu sehen, betrachten wir zunächst die "Hügel" und "Täler" eines Graphen $f$ und wie deren Ableitungen aussehen (siehe unten). Beachte, dass im Falle eines Tals der Graph von $f'$ am tiefsten Punkt $x$ eine positive Steigung hat, also $f^{\prime\prime}(x)>0$ , und im Falle eines Hügels der Graph von $f'$ am höchsten Punkt $x$ eine negative Steigung hat, also $f^{\prime\prime}(x)<0$ .

Betrachtet man einen Sattel und untersucht die Ableitung, so sieht man, dass $f'$ eine horizontale Tangente am Sattelpunkt $x$ hat, und somit $f^{\prime\prime}(x)=0$ , aber $f^{\prime\prime\prime}(x)\neq 0$ .

Schlussendlich, falls $f^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime\prime}(x)=0$ so haben wir entweder einen flachen Hügel, ein flaches Tal, oder einen flachen Sattelpunkt (siehe Skizze unten). In diesem Fall müssen wir den Graphen skizzieren, um zu sehen, ob $P$ ein lokales Maximum, lokales Minimum oder ein Sattelpunkt ist.

Exercise 1

Bestimme durch Berechnung die stationären Punkte, und klassifiziere sie mit Hilfe der Ableitungen. Skizziere den Graphen (mit TA) um das Resultat zu überprüfen.
1. $f(x)=x^2$
2. $g(x)=x^3$
3. $h(x)=5-x^4$
4. $k(x)=x^4-\frac{1}{2}x^2$
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^3-u\cdot x^2$ , wobei $u$ eine feste Zahl ist (ein sogenannter Parameter).
1. Zeige, dass $f$ für alle Werte von $u$ einen stationären Punkt bei $x=0$ besitzt.
2. Für welche Werte von $u$ hat $f$ bei $x=0$ ein lokales Maximum, ein lokales Minimum, oder einen Sattelpunkt?

Solution

Es ist
1. Finde den stationären Punkt $P$ : $f^\prime(x)=2x=0 \rightarrow x=0$ , also $\underline{P(0|0)}$ . Wegen $f^{\prime\prime}(x)=2 \rightarrow f^{\prime\prime}(0)=2>0 \rightarrow$ lokales Minimum.
2. Finde den stationären Punkt $P$ : $g^\prime(x)=3x^2=0 \rightarrow x=0$ , also $\underline{P(0|0)}$ .Wegen $g^{\prime\prime}(x)=6x \rightarrow g^{\prime\prime}(0)=0$ und $g^{\prime\prime\prime}(x)=6\neq 0$ ist es ein Sattelpunkt.
3. Finde den stationären Punkt $P$ : $h^\prime(x)=-4x^3=0 \rightarrow x=\underline{0}$ , also $\underline{P(0|5)}$ .Wegen $h^{\prime\prime}(x)=-12x^2 \rightarrow h^{\prime\prime}(0)=0$ und $h^{\prime\prime\prime}(x)=-24x \rightarrow h^{\prime\prime\prime}(0)=0$ . Skizziere den Graphen $\rightarrow$ "flaches" lokales Maximum.
4. Finde den stationären Punkt $P$ : $k^\prime(x)=4x^3-x=0 \rightarrow x(4x^2-1)=0 \rightarrow x_1=0, x_2=-0.5, x_3=0.5$ , also $\underline{P_1(0|0)}, \underline{P_2(-0.5|-0.0625)}, \underline{P_3(0.5|-0.0625)}$ .Wegen $k^{\prime\prime}(x)=12x^2-1 \rightarrow k^{\prime\prime}(0)=-1<0 \rightarrow$ lokales Maximum, $k^{\prime\prime}(-0.5)=2>0 \rightarrow$ lokales Minimum, $k^{\prime\prime}(0.5)=2>0 \rightarrow$ lokales Minimum.
$f^\prime(x)=3x^2-2ux$ , $f^{\prime\prime}(x)=6x-2u$ , $f^{\prime\prime\prime}(x)=6$
1. Für jeden Wert von $u$ gilt $f^\prime(0)=3\cdot 0^2-2u\cdot 0=0 \rightarrow x=0 \rightarrow$ stationärer Punkt für alle Werte von $u$ .
2. $f^{\prime\prime}(0)=6\cdot 0-2u=-2u<0 \rightarrow$ bei $x=0$ ein lokales Maximum für $\underline{u>0}$ , und ein lokales Minimum bei $\underline{u<0}$ . Für $\underline{u=0}$ ist $f^{\prime\prime}(0)=0$ und $f^{\prime\prime\prime}(0)=6\neq 0$ , also bei $x=0$ ist ein Sattelpunkt.