Grenzwerte

Wir besprechen nun das "Langzeit verhalten" von Folgen. Es sei also

(a_n)=(a_1, a_2, ...)

eine Folge. Wir nehmen an, dass wir eine rekursive oder explizite Methode haben, um jedes Glied $a_n$ der Folge zu bestimmen. Wir sind daran interessiert zu wissen, wohin $a_n$ strebt, wenn wir $n$ grösser und grösser werden lassen (daher, wenn wir uns in der Folge nach rechts bewegen).

Dabei unterscheiden wir zwei Fälle:

Definition 1: Konvergente Folge

Wir sagen, dass die Folge $(a_n)$ konvergent ist, falls für grösser werdendes $n$ die Folgenglieder $a_n$ gegen eine reelle Zahl $a_\infty$ strebt. Dies wird dann wie folgt notiert:

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = a_\infty

oder auch

a_n \xrightarrow[]{n\rightarrow \infty} a_\infty

$a_\infty$ heisst Grenzwert der Folge $(a_n)$ . Wir sagen auch, dass die Folge $(a_n)$ gegen $a_\infty$ konvergiert.

Definition 2: Divergente Folge

Falls die Folge $(a_n)$ nicht konvergiert, so nennen wir sie divergent.

Insbesondere sind also Folgen, die gegen $\infty$ oder $-\infty$ streben, divergent. Auch Folgen welche zwischen zwei Werten alternieren, sind divergent.

Example 1

Nochmals die Beispiele vom Anfang des Kapitels, hier nochmals notiert. Bestimme, ob die Folgen konvergent sind oder divergent.

$(a_n)=(1,3,5,...)$
$(b_n)=(1, 0.5, 0.25, 0.125, ...)$
$(c_n)=(1,-1,1,-1,...)$
$(d_n)=(1,2,4,8,...)$

Solution

divergent, da die Summe laufend wächst, wird sie nie gegen eine reelle Zahl streben. Die Folge strebt zwar gegen $\infty$ , aber dies ist keine reelle Zahl.
konvergent, die Folge konvergiert gegen $0$ , daher es ist $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 0$ .
divergent, die Folge strebt nirgendwo hin.
divergent, wie in (1).

Exercise 1

Gib ebenfalls ein Beispiel einer Folge, die nach $1.7$ konvergiert.

Solution

Eine Folge, die nach $1.7$ konvergiert ist zum Beispiel $a_n=1.7-\frac{1}{n}$ $(n=1,2,3,...)$ .

Angewandt auf eine Reihe $(s_n)$ bekommt der Grenzwert $s_\infty$ noch eine etwas andere Bedeutung.

Es ist ja

\begin{array}{lll} s_1 &=& a_1\\ s_2 &=& a_1+a_2\\ s_3&=& a_1+a_2+a_3\\ ...\\ s_\infty &=& \lim_{n\rightarrow \infty} s_n = a_1+a_2+a_3+...\\ \end{array}

Daher, $s_\infty$ ist die Summe von allen unendlich vielen Glieder (oder Zahlen).

Es lässt sich vieles über die Konvergenz und Divergenz von Folgen sagen, zum Beispiel ist es nicht ganz trivial, eine exakte Definition davon zu liefern. Bei Interesse kann das hier nachgelesen werden, es ist aber nicht Teil des Prüfungsstoff.

Show

Was genau meinen wir mit $a_n$ strebt oder konvergiert gegen eine reelle Zahl $a_\infty$ ? Intuitiv ist es einigermassen klar: die Glieder $a_n$ nähern sich dem Wert $a_\infty$ immer mehr an, falls wir in der Folge nach rechts rutschen. Keines der Glieder $a_n$ muss aber den Wert $a_\infty$ annehmen (siehe Figure unten):

Wir können dies mathematisch noch genauer beschreiben:

Definition 3

Die Folge $(a_n)$ konvergiert nach $a_\infty$ , falls wir noch so ein kleines $\epsilon>0$ vorgeben können, und ab einem bestimmten $n_0$ sind dennoch alle folgenden Glieder innerhalb der $\epsilon$ -Umgebung:

(a_\infty-\epsilon) \leq a_n \leq (a_\infty+\epsilon) \text{ für alle } n\geq n_0

Nebenbemerkung: die obige Ungleichung wird auch oft so geschrieben

\vert a_\infty-a_n\vert \leq \epsilon \text{ für alle } n\geq n_0

Example 2

Intuitiv ist klar, dass die Folge

(b_n)=(1, 0.5, 0.25, 0.125, ...)

gegen $0$ strebt:

\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = 0

Daher für jeden noch so kleinen Wert $\epsilon>0$ gibt es ein $n_0$ mit

0-\epsilon \leq b_n \leq 0+\epsilon \text{ für alle } n\geq n_0

Bestimme solch ein $n_0$ für $\epsilon=0.00001$ .

Solution

Es ist $b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ (für $n=1,2,3,...)$ . Da $b_n>0$ für alle $n$ , müssen wir also nur ein $n_0$ mit

b_n\leq 0+\epsilon \text{ für alle } n \geq n_0

daher mit

=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\leq 0.00001

Bestimmen wir zuerst das $n$ so, dass

\begin{array}{rll} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} &=& 0.00001 \quad\vert \ln(..)\\ \ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) &=& \ln(0.00001)\quad \vert \ln(.)\\ (n-1)\ln(\frac{1}{2}) &=& \ln(0.00001) \quad \vert :\ln(\frac{1}{2}), +1\\ n&=&\frac{\ln(0.00001)}{\ln(\frac{1}{2})}+1 = 17.61\\ \end{array}

Für alle $n\geq 18$ ist $-0.00001\leq b_n\leq 0.00001$ (daher $n_0=\underline{18}$ ).

Extra: Divergente Folgen - etwas genauer

Divergente Folgen streben also nicht nach einer Zahl. Das kann bedeuten, dass die Folge für immer und ewig zwischen verschiedenen Zahlen hin und her springt (siehe Figure unten).

Es kann aber auch bedeuten, dass die Folge gegen $\infty$ oder gegen $-\infty$ strebt. Wiederum ist intuitiv klar, was wir damit meinen: Eine Folge $(a_n)$ strebt gegen $\infty$ , falls die Glieder grösser und grösser werden, ohne jemals an eine Grenze zu gelangen. Und eine Folge strebt nach $-\infty$ , falls die Glieder mehr und mehr negativ werden, ohne jemals an eine Grenze zu gelangen (siehe Figure unten).

Wir können dies exakt wie folgt formulieren.

Definition 4

Eine Folge $(a_n)$ strebt nach $\infty$ , falls es für jede beliebig grosse Zahl $N$ ein $n_0$ so gibt, dass alle nachfolgenden Glieder $a_n$ grösser sind als $N$ :

a_n \geq N \text{ für alle } n\geq N

Und eine Folge $(a_n)$ strebt nach $-\infty$ , falls es für jede beliebig grosse negative Zahl $N$ ein $n_0$ so gibt, dass alle nachfolgenden Glieder $a_n$ kleiner sind als $N$ :

a_n \leq N \text{ für alle } n\geq N

Example 3

Die Folge der Quadratzahlen

(a_n)=(1,4,9,16,...)

ist divergent und strebt nach $\infty$ . Wir können also für jeden beliebig grossen Wert $N$ ein $n_0$ so finden, dass

a_n\geq N \text{ für alle } n\geq n_0

Finde so ein $n_0$ für $N=1\,000\,000$ .

Solution

Es ist $a_n=n^2$ . Wir müssen ein $n_0$ so finden, dass

n^2 \geq 1\,000\,000 \text{ für alle } n\geq n_0

Dies ist $n_0=\sqrt{1\,000\,000}=\underline{1\,000}$ .