Arithmetische und geometrische Reihen

Für die meisten Folgen $(a_n)$ lässt sich oftmals nur schwer, wenn überhaupt, eine Formel finden, mit der sich der $n$ -te Term $s_n$ berechne lässt. Eine Ausnahme bilden die Reihen der arithmetischen und geometrischen Folgen. Diese werden wir nun diskutieren.

Definition 1

Gegeben sei eine Folge

(a_n)=(a_1, a_2, ...)

Die dazugehörige Reihe

(s_n)=(s_1, s_2, ...)

wird arithmetische Reihe genannt, falls $(a_n)$ eine arithmetischen Folge ist.
wird geometrische Reihe genannt, falls $(a_n)$ eine geometrische Folge ist.

Und so berechnen wir die Summe der ersten $n$ Glider einer arithmetischen oder geometrischen Folge (Beweis ist angefügt, und muss zumindest für die arithmetische Folge anhand eines Beispiels erklärt werden können):

Theorem 1: Arithmetische und geometrischen Summenformeln

Proof

Hier sind die Beweise. Gegeben sei die Folge

(a_n)=(a_1,a_2,...,a_n, ...)

und

s_n=a_1+a_2+...+a_n

Arithmetische Summenformel

Es sei $(a_n)$ eine arithmetische Folge mit gemeinsamer Differenz $d$ :

\begin{array}{lll} a_1 \xrightarrow[]{+d} a_2 \xrightarrow[]{+d} a_3 \xrightarrow[]{+d} ... \xrightarrow[]{+d} a_{n-2} \xrightarrow[]{+d} a_{n-1} \xrightarrow[]{+d} a_n, ...\end{array}

Wir berechnen nun zuerst das zweifache von $s_n$ , und ordnen die Glieder wie folgt an:

\begin{array}{lll} 2s_n &=& a_1 &+& a_2 &+& a_3 & + & ... & + & a_{n-2} &+& a_{n-1} &+ & a_n \\ & + & a_{n} &+& a_{n-1} &+& a_{n-2} & + & ... & + & a_3 &+&a_2 &+ & a_1 \end{array}

Beachte nun, dass

a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2} = ...

In der Tat, wir haben

\begin{array}{lll} a_2+a_{n-1} & = \underbrace{a_1+d}_{a_2}+\underbrace{a_n-d}_{a_{n-1}}\\ & = a_1+a_n\\ a_3+a_{n-2} & = \underbrace{a_1+2d}_{a_3}+\underbrace{a_n-2d}_{a\_{n-2}}\\ & = a_1+a_n\\ ...&&\\ \end{array}

Wir sehen also, dass wir $n$ mal den Term $a_1+a_n$ addieren

2s_n = n(a_1+a_n)

Somit ist

s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}

Geometrische Summenformel

Es sei $(a_n)$ eine geometrische Folge mit gemeinsamem Quotient $q$ :

\begin{array}{lll} a_1 \xrightarrow[]{\cdot q} a_2 \xrightarrow[]{\cdot q} a_3 \xrightarrow[]{\cdot q} ... \xrightarrow[]{\cdot q} a_{n-1}\xrightarrow[]{\cdot q} a_{n}, ...\end{array}

Es ist

\begin{array}{lll} s_n &=& a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n\\ &=& a_1 + a_1 q +a_1 q^2 +...+ a_1 q^{n-2} + a_1 q^{n-1} \end{array}

Um $s_n$ zu bestimmen, machen wir einen Umweg, und bestimmen zuerst die Summe $s_n-q \cdot s_n$ :

\begin{array}{lll} s_n-q\cdot s_n &=& a_1+a_1 q+a_1 q^2+...+a_1 q^{n-2}+a_1 q^{n-1}\\ && -a_1 q - a_1 q^2+ a_1 q^3 +...+a_1 q^{n-1}+a_1 q^{n}\\ &=& a_1-a_1 q^n \end{array}

Die meisten Terme kürzen sich weg! Wir haben also

\begin{array}{lll} s_n-q\cdot s_n &=& a_1-a_1 q^n\\ s_n(1-q) &=& a_1(1-q^n)\\ s_n =a_1\frac{1-q^n}{1-q} \end{array}

Der n-te Term einer arithmetischen Serie ist gegeben durch
$s_n=a_1+...+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$
wobei $d$ die gemeinsame Differenz der Folge $(a_n)$ ist.
Der n-te Term einer geometrischen Serie ist gegeben durch
$s_n=a_1+...+a_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$
wobei $q$ der gemeinsame Quotient der geometrischen Folge $(a_n)$ ist.

Hier sind ein paar Beispiele:

Example 1

Bestimme die Summe der ersten

$45$ Glieder der Folge $(a_n)=(2,5,8,...)$ .
$20$ Glieder der Folge $(a_n)=(1,2,3,...,20)$ .
$10$ Glieder der Folge $(a_n)=(2,6,18,54,...)$ .
$12$ Glieder der Folge $(a_n)=(-\frac{1}{4},\frac{1}{6},-\frac{1}{9}, \frac{2}{27},...)$ .

Solution

Arithmetische Folge mit $d=3$ . Also gilt
$s_{45}=\frac{45\cdot(2+a_{45})}{2}$
und wegen
$a_{45}=2+44\cdot 3=134$
ist $s_{45}=\underline{3060}$ .
Arithmetische Folge mit $d=1$ und $a_{20}=20$ . Also gilt
$s_{20}=\frac{20\cdot 21}{2}=\underline{210}$
Geometrische Folge mit $q=3$ . Also gilt
$s_{10}=2\cdot \frac{1-3^{10}}{1-3}=\underline{59048}$
Geometrische Folge mit $q=-2/3$ . Also gilt
$s_{12}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{1-\left(-\frac{2}{3}\right)^{12}}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\underline{-0.1488...}$

Exercise 1

Finde die nächsten beiden Glieder der arithemtischen Folge $(a_n)=(-0.25, 0.32, ...)$ . Was ist die Summe der ersten $20$ Glieder?
Finde die nächsten beiden Glieder der geometrischen Folge $(a_n)=3, -4, ...$ Was ist die Summe der ersten $20$ Glieder?
Eine arithmetischen Folge hat als $7$ -tes Glied den Wert $16.5$ und als $12$ -tes Glied den Wert $24$ . Finde den Wert des $26$ -ten Glied.
Eine geometrische Folge hat als $10$ -tes Glied den Wert $2$ und als $13$ -tes Glied den Wert $1.1$ . Finde den Wert des $17$ -ten Glieds.
Ein Auto hat den Neuwert $25600.-$ . Jeden Monat verliert es $90.-$ an Wert. Wie lange dauert es, bis der Wert des Autos das erste Mal unter $15000.-$ fällt?
Ein Computergeschäft rechnet damit, im ersten Monat $20$ Computer zu verkaufen, $23$ im zweiten Monat, $26$ im dritten Monat, und so weiter. Wie viele Monate dauert es, bis das Geschäft ein Total von $1000$ Computer verkauft hat?
Der Neuwert eines Autos ist $340\,000.-$ . Es verliert jedes Jahr $15\%$ des Werts vom vorhergehenden Jahres. Nach wie vielen Jahren fällt der Wert des Autos das erste Mal unter $100\,000.-$ ?
Zeichne die Glieder der arithmetischen Folge $(a_n)=(1,1.5,2,...)$ in einem Koordinatensystem als Punkte ein ( $n$ entlang der $x$ -axis, $a_n$ entlang der $y$ -Achse). Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen, der durch diese Punkte geht.
Zeichne die Glieder der geometrischen Folge $(a_n)=(1,1.5,2.25,...)$ als Punkte in eine Koordinatensystem. Bestimme die Funktionsgleichung des Graphen, der durch diese Punkte geht.

Solution

$d=0.57$ , $a_3=0.32+0.57=\underline{0.89}$ , $a_4=0.89+0.57=\underline{1.46}$ . Das $n$ -te Glied ist
$a_{20}=-0.25+19\cdot 0.57 = 10.58$
und somit
$s_{20}=\frac{20\cdot (-0.25+a_{20})}{2}=\underline{103.3}$
$q=a_2/a_1=-4/3=-\frac{4}{3}$ , $a_1=3$ , also $a_3=a_2\cdot q = -4 \cdot (-4/3)=\underline{16/3}$ , $a_4=a_3\cdot q = (16/3)\cdot(-4/3)=\underline{-64/9}$ . Die Summe ist
$s\_{20}=3\cdot \frac{1-(-\frac{4}{3})^{20}}{1-(-\frac{4}{3})}=\underline{-404.147...}$
$a_7=16.5 \xrightarrow[]{+d} a_8 \xrightarrow[]{+d} a_9 \xrightarrow[]{+d} a_{10} \xrightarrow[]{+d} a_{11} \xrightarrow[]{+d} a_{12}=24$ Somit ist $16.5+5\cdot d = 24$ und $d=(24-16.5)/5=1.5$ . Es ist also $a_{26}=a_{12}+14\cdot 1.5= \underline{45}$ .
$a_{10} = 2 \xrightarrow[]{\cdot q} a_{11} \xrightarrow[]{\cdot q} a_{12} \xrightarrow[]{\cdot q} a_{13}= 1.1$ Somit ist $2\cdot q^3 =1.1$ , also $q = (\frac{1.1}{2})^{1/3}=0.55^{1/3}$ . Es folgt $a_{17}=a_{13}\cdot q^4 = 1.1 \cdot (0.55)^{4/3}=\underline{0.495...}$ .
$a_1=25600$ , $d=-90$ . Finde $n$ so, dass $a_n=a_1+(n-1)d<15000$ , also $256000-90(n-1)<15000$ . Wir lösen die Gleichung $25600-90(n-1)=15000$ , also $n-1=(25600-15000)/90= 117.7$ und somit $n=118.7$ . Also im Monat $\underline{119}$ (oder nach $118$ Monaten).
$(a_n)=20,23,26,...$ , also $d=3$ und $a_n=20+(n-1)\cdot 3$ . Finde $n$ mit $s_n=a_1+...+a_n=1000$ , wir müssen also die Gleichung $\frac{n(20+a_n)}{2}=1000$ lösen. Es folgt $\frac{n(20+20+(n-1)\cdot 3)}{2}=\frac{n(37+3n)}{2}=1000$ , und somit $3n^2 + 37n-2000=0$ . Mit der Mitternachtsformel erhalten wir $n_1=20.37$ und $n_2=-32.7$ . Also im Monat $21$ und somit nach $\underline{20}$ Monaten.
$n$ ="Anzahl Jahre", $a_1 \xrightarrow[]{-15\%} a_2 \xrightarrow[]{-15\%} a_3 \xrightarrow[]{-15\%} ...$ Geometrische Folge mit $a_1=340000$ , $a_2=340000-0.15\cdot 340000=289000$ , und $a_3=289000-0.15\cdot 289000=245650$ . Wir haben also $q=a_2/a_1=a_3/a_2=0.85$ . Finde $n$ -tes Glied mit $a_n=340000\cdot 0.85^{n-1}=100000$ . Es folgt $0.85^{n-1}=\frac{100000}{340000}=0.294...$ und somit $n=\frac{\ln(0.294...)}{\ln(0.85)}+1=8.5$ (Logarithmus anwenden), also nach $\underline{9}$ Jahren.
Dies ist typisches lineares Wachstum, das schon einmal besprochen wurde:
$\begin{array}{lllcc} y:&& 1 \xrightarrow[]{+0.5} &1.5& \xrightarrow[]{+0.5} &2 &\xrightarrow[]{+0.5}\, ... \xrightarrow[]{+0.5} y\\ x: && 1 \xrightarrow[]{+1} &2 &\xrightarrow[]{+1} &3& \xrightarrow[]{+1}\,... \xrightarrow[]{+1} x\\ \end{array}$
Also ist
$y=1+n\cdot 0.5$
wobei $n$ die Anzahl Schritte der Grösse $\Delta x=1$ sind, um von $1$ nach $x$ to kommen:
$n=\frac{x-1}{1}=x-1$
Also ist $y=1+(x-1)\cdot 0.5$ die lineare Funktion dessen Graph durch die Punkte der Folge geht. Schreiben wir dies in der typischen Form $f(x)=ax+b$ , wo erhalten wir
$f(x)=\underline{0.5x+0.5}$
Dies ist typisches exponentielles Wachstum, das schon einmal besprochen wurde:
$\begin{array}{lllcc} y:&& 1 \xrightarrow[]{\cdot 1.5} &1.5& \xrightarrow[]{\cdot 1.5} &2.25 &\xrightarrow[]{\cdot 1.5} \, ...\xrightarrow[]{\cdot 1.5} y\\ x: && 1 \xrightarrow[]{+1} &2 &\xrightarrow[]{+1} &3& \xrightarrow[]{+1}\,...\xrightarrow[]{\cdot 1.5} x\\ \end{array}$
Also ist
$y=1\cdot 1.5^n$
wobei $n$ die Anzahl Schritte der Grösse $\Delta x=1$ sind, um von $1$ nach $x$ to kommen:
$n=\frac{x-1}{1}=x-1$
Wir erhalten also die Exponentialfunktion
$f(x)=\underline{1.5^{x-1}}$
Der Graph dieser Funktion geht durch die Punkte der Folge.