Der Grenzwert von arithmetischen und geometrischen Folgen und Reihen

Da die arithmetische Folge $(a_n)$ immer um den gleichen Betrag $d$ wächst oder fällt, ist es klar, dass so eine Folge gegen unendlich oder minus unendlich strebt (also divergiert). Zum Beispiel, für $d=3$ und $d=-3$ und $a_1=1$ haben wir die Folgen

(a_n)=(1, 4, 7, 10, ...)

oder

(a_n)=(1,-2, -5, -8, ...)

Die Ausnahme ist der triviale Fall $d=0$ , der ziemlich uninteressant ist, etwa

(a_n)=(1,1,1,1,...)

Wir haben also:

Definition 1

Für eine arithmetische Folge $(a_n)$ mit gemeinsamer Differenz $d$ gilt

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = \begin{cases} \infty, & d>0\\-\infty, & d<0\\a_1, & d=0 \end{cases}

Es ist auch klar, dass die Reihenglieder $s_n$ gegen $\infty$ oder $-\infty$ streben. Oder anders formuliert, für die unendliche Summe einer arithmetischen Folge gilt

s_\infty=a_1+a_2+... = \pm \infty

Das Konvergenzverhalten von arithmetischen Folgen und deren Summen ist also nicht sehr interessant. Wie steht es mit der geometrischen Folge? Dies hängt vom gemeinsamen Quotienten $q$ ab. Schauen wir uns dazu die folgenden Beispiele an, wobei wir immer $a_1=1$ setzen, wir also geometrische Folgen der Form

(a_n)=(1, q, q^2, q^3, ...)

diskutieren.

$q$ ist zwischen $-1$ und $1$ ( $-1<q<1$ ): Für $q=\frac{1}{2}$ gilt
$(a_n)=(1, 0.5, 0.25, 0.125, ...)\xrightarrow[]{n\rightarrow \infty} 0$
und wir sehen, dass die Folge gegen $0$ konvergiert. Dasselbe gilt für $q=-\frac{1}{2}$ :
$(a_n)=(1, -0.5, 0.25, -0.125, ...)\xrightarrow[]{n\rightarrow \infty} 0$
Und dasselbe gilt für jedes andere $q$ mit $-1<q<1$ . Dies gilt sogar für $q=0.9999999999$ , aber in diesem Fall strebt die Folge sehr langsam gegen $0$ . Dies kann leicht mit dem TA überprüft werden.
$q$ ist grösser als $1$ oder kleiner als $-1$ ( $q>1$ and $q<-1$ ). Für $q=2$ gilt
$(a_n)=(1,2,4,8,...)$
und strebt gegen unendlich. Dies ist auch der Fall für kleinere $q$ , wie etwa $q=1.0000000000001$ . Die Folge wächst dann viel langsamer, aber strebt immer noch gegen unendlich, wie leicht mit den TA überprüft werden kann.

Beginnen wir mit einem negativen $a_1$ , so ist leicht einsehbar, dass die Folge nach $-\infty$ strebt. Etwa für $a_1=-1$ bekommen wir
$(a_n)=(-1,-2,-4,-8,...)$
Für $q=-2$ erhalten wir die Folge
$(a_n)=(1,-2,4,-8,...)$
und wir sehen, dass die Folge divergiert.
Für $q=1$ und $q=-1$ erhalten wir die uninteressanten Folgen
$(a_n)=(1,1,1,1,...)$
(konvergiert gegen $1$ ) und
$(a_n)=(1,-1,1,-1,...)$
(divergiert).

Fassen wir zusammen:

Theorem 1

Für eine geometrische Folge $(a_n)$ mit gemeinsamen Quotient $q$ gilt

\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = a_1 q^{n-1}= \begin{cases} \pm \infty & (q>1)\\ a_1 & (q=1)\\ 0 & (-1 < q < 1)\\ \text{divergent} & (q\leq -1) \end{cases}

Es ist auch klar, dass die Reihenglieder $s_n$ nur dann gegen eine Zahl streben, falls $-1<q<1$ . In diesem Fall konvergiert $q^n$ gegen $0$ (siehe ersten Fall oben) und wir erhalten für die unendliche Summe der Glieder

s_\infty = a_1+a_2+... = a_1\frac{1}{1-q}

Example 1

Finde die unendliche Summe der Folge $(a_n)=-\frac{1}{4},\frac{1}{6},-\frac{1}{9}, \frac{2}{27},...$

Solution

Dies ist eine geometrische Folge mit $a_1=-1/4$ und $q=-2/3$ . Da $-1<-2/3<1$ , folgt

\begin{array}{lll} s_n&=&-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{9}+\frac{2}{27}- ...\\ &=&-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-\left( -\frac{2}{3} \right)}\\ &=&\underline{-\frac{3}{20}}\end{array}

Example 2

Bestimme die unendliche Summe $1+0.5+0.25+0.125+...$

Solution

Die Folge $(a_n)=(1,0.5, 0.25, 0.125,...)$ bildet eine geometrische Folge mit $a_1=1$ und $q=0.5$ . Da $-1<0.5<1$ gilt

\begin{array}{lll}s_n&=&1+0.5+0.25+0.125+...\\ &=&1\cdot \frac{1}{1-0.5}\\ &=&\underline{2}\end{array}

Warning

Die Summenformel gilt nur falls $-1<q<1$ . Falls $q$ nicht zwischen $-1$ und $1$ liegt können wir zwar immer noch die Formel benutzen, das Resultat ist aber falsch. Zum Beispiel, die geometrische Folge mit $a_1=1$ und $q=2$ ist

(a_n)=(1,2,4,8,...)

und es ist schnell ersichtlich, dass

s_\infty=1+2+4+8+...=\infty

Brauchen wir aber fälschlicherweise die Summenformel ( $2$ ist ja nicht zwischen $-1$ und $1$ ), so erhalten wir

s_\infty = 1\cdot \frac{1}{1-2}=-1 \quad \text{FALSCH!}

was offensichtlich nicht stimmen kann.