Schnittpunkt zwischen Geraden

Gegeben seien zwei Geraden $g$ und $h$ im 3d-Raum. Die Gerade $g$ geht durch Punkt $A$ und hat den Richtungsvektor $\vec v$ , und die Gerade $h$ geht durch den Punkt $B$ und hat den Richtungsvektor $\vec w$ . Die beiden Geraden können die folgende relative Lage besitzen:

Die Geraden schneiden sich in einem Punkt $S$

Zwei Geraden schneiden sich, falls sie genau einen gemeinsamen Punkt $S$ besitzen. Dieser Punkt wird Schnittpunkt genannt.

Wie können wir den Schnittpunkt $S$ finden? Beachte dazu, dass $S$ der einzige Punkt im 3d-Raum ist, der sowohl auf $g$ wie auch auf $h$ ist. In Vektorsprache bedeutet dies, dass für $S$ gelten muss:

\boxed{\overrightarrow{AS} \parallel \vec v \text{ und } \overrightarrow{BS} \parallel \vec w}

oder, mit Geradengleichungen ausgedrückt, dass es zwei Skalare $c$ und $d$ geben muss mit:

\boxed{\begin{array}{lll} \vec S=\vec A+c\cdot \vec v\\ \vec S=\vec B+d\cdot \vec w \end{array}}

Das Beispiel unten zeigt, wie wir diese zwei Bedingungen nutzen können, um $S$ zu berechnen.

Example 1

Die Gerade $g$ geht $A(1 \vert 0 \vert 0)$ und hat Richtungsvektor $\vec v=\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ 1 \end{array}\right)$ , die Gerade $h$ geht durch $B(13 \vert -5 \vert -5)$ and hat Richtungsvektor $\vec w =\left(\begin{array}{r} -3 \\ 1\\ 4 \end{array}\right)$ . Sie schneiden sich im Punkt $S$ . Finde die Koordinaten.

Solution

Wir benennen die Koordinaten von $S$ mit $S(x\vert y\vert z)$ . Es muss zwei Skalare $c$ and $d$ geben, so dass gilt

\vec S = \vec A+ c\cdot \vec{v}

\vec S = \vec B+ d\cdot \vec{w}

Ausgedrückt in Komponentenschreibweise:

\left(\begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right) +c\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1+2c\\ -c\\ c \end{array}\right)

\left(\begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 13\\ -5\\ -5 \end{array}\right) +d\cdot\left(\begin{array}{r} -3\\ 1\\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 13-3d\\ -5+d\\ -5+4d \end{array}\right)

und wir erhalten die drei Gleichungen:

\begin{array}{rll} 1+2c&=& 13-3d\\ -c&=&-5+d\\ c &=& -5+4d \end{array}

Die Lösung ist $c=3$ und $d=2$ . Für $c=3$ erhalten wir den Punkt $S(7\vert -3 \vert 3)$ , für $d=2$ erhalten wir den gleichen Punkt. Dies muss so sein, wenn wir alles richtig gemacht haben.

Warning

Berechne die Koordinaten von $S$ immer mit dem Wert $c$ und auch mit dem Wert $d$ . Falls wir wissen, dass ein Schnittpunkt $S$ existiert, können wir so prüfen, ob wir alles richtig berechnet haben. Wenn wir nicht wissen, ob es einen Schnittpunkt gibt, können wir dadurch mehr über die Lage der Geraden erfahren (siehe unten, windschiefe Geraden).

Die Geraden sind parallel

Zwei Geraden sind parallel, falls sie kollineare Richtungsvektoren besitzen.

Die Skizze oben zeigt zwei Fälle auf. Im ersten Fall sind die Geraden parallel und verschieden:

\boxed{\vec v\parallel \vec w}

Im zweiten Fall sind es die gleichen Geraden ("überlappend"):

\boxed{\overrightarrow{AB} \parallel \vec v \text{ or } \overrightarrow{AB} \parallel \vec w}

Die Geraden sind windschief

Zwei Geraden sind windschief, falls sie weder parallel noch überschneidend sind. Windschiefe Geraden kommen im 2d-Raum nicht vor, da sie sich auf zwei verschiedenen, parallelen Ebenen befinden müssen (siehe Skizze unten):

Um herauszufinden, ob zwei Geraden windschief sind:

Schliesse aus, dass sie parallel sind (dies ist einfach und schnell gemacht).
Nimm an, die Geraden haben eine Schnittpunkt $S$ , und berechne diesen. Falls für $c$ und $d$ der Punkt $S$ nicht die gleichen Koordinaten besitzt, so existiert kein Schnittpunkt, und die Geraden müssen windschief sein.

Example 2

Die Gerade $g$ geht durch $A(1 \vert 0 \vert 0)$ und hat den Richtungsvektor $\vec v=\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ 1 \end{array}\right)$ . Die Gerade $h$ geht durch $B(3 \vert -5 \vert -5)$ und hat den Richtungsvektor $\vec w =\left(\begin{array}{r} -3 \\ 1\\ 4 \end{array}\right)$ . Sind die Geraden windschief?

Solution

Sie sind nicht parallel, da $\vec v \not \parallel \vec w$ . Sie könnten also windschief sein. Nehmen wir an, sie schneiden sich im Punkt $S(x\vert y\vert z)$ . Es sollte also Werte $c$ und $d$ geben mit

\left(\begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right) +c\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1+2c\\ -c\\ c \end{array}\right)

\left(\begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 3\\ -5\\ -5 \end{array}\right) +d\cdot\left(\begin{array}{r} -3\\ 1\\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3-3d\\ -5+d\\ -5+4d \end{array}\right)

Wir erhalten die drei Gleichungen

\begin{array}{rll} 1+2c&=& 3-3d\\ -c&=&-5+d\\ c &=& -5+4d \end{array}

und es folgt $c=3$ und $d=2$ . Für $c=3$ erhalten wir den Punkt $S(7\vert -3 \vert 3)$ , für $d=2$ den Punkt $S(-3\vert -3 \vert 3)$ . Wir erhalten also verschiedene Koordinaten, ein Schnittpunkt existiert also nicht. Die Linien müssen also windschief sein!

Exercise 1

F1

Die Gerade $g$ geht durch $A$ und hat Richtungsvektor $\vec{v}$ , die Gerade $h$ geht durch $B$ and Richtungsvektor $\vec{w}$ . Bestimme die relative Lage von $g$ und $h$ (parallel, schneiden, windschief). Falls sie sich schneiden, berechne den Schnittpunkt $S$ .

$A(-2\vert 1 \vert 3)$ , $B(1\vert 6\vert 2)$ , $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} -0.6\\ -1\\ 0.2 \end{array}\right)$ , $\vec{w}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 5\\ -1 \end{array}\right)$
$A(3\vert 2\vert -1)$ , $B(2\vert 6\vert 1)$ , $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 0.8\\ 0.2\\ -1 \end{array}\right)$ , $\vec{w}=\left(\begin{array}{r} -4\\ -1\\ 5 \end{array}\right)$
$A(2\vert -1\vert 1)$ , $B(-3\vert 5\vert 4)$ , $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 1 \end{array}\right)$ , $\vec{w}=\left(\begin{array}{r} 3\\ -2\\ 1 \end{array}\right)$
$A(0\vert 0\vert 1)$ , $B(-2\vert -2\vert 5)$ , $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 3 \end{array}\right)$ , $\vec{w}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 3\\ 1 \end{array}\right)$

F2

Gegeben ist ein Dreieck $ABC$ mit den Eckpunkten $A(0\vert 0\vert 0)$ , $B(4\vert 0\vert 0)$ , und $C(2\vert 3\vert 9)$ . Zeige, dass alle drei Seitenhalbierenden des Dreiecks sich in einem Punkt $S$ schneiden. Bestimme die Koordinaten von $S$ .

Dies ist übrigens für alle Dreiecke der Fall.

F3

Nimm an, die $xy$ -repräsentiert den Boden, und die $z$ -Achse ist die Höhe. Flugzeug 1 startet am Punkt bei $A(0km \vert 0km \vert 0km)$ , und hat den Geschwindigkeitsvektor $\left(\begin{array}{r} -5km/h\\ 2.5km/h\\ 0.1km/h \end{array}\right)$ . Flugzeug 2 started am Punkt $B(200km \vert 300km \vert 3km)$ , und hat den Geschwindigkeitsvektor $\left(\begin{array}{r} -1.2km/h\\ -0.2km/h\\ 0.01km/h \end{array}\right)$ .

Beachte: Die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors geben an, in welche Richtung das Flugzeug fliegt. Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors gibt die Geschwindigkeit an, mit der das Flugzeug sich bewegt.

Zeige, dass die beiden Flugzeugen theoretisch kollidieren können.
Um wie viel vorher müsste eines der Flugzeuge starten, damit sie kollidieren?

Solution

A1

parallel (überlappend).
parallel (nicht überlappend).
windschief
schneiden, $S(6\vert 4\vert 7)$ .

A2

Zwei der drei Seitenhalbierenden schneiden sich bei $S(2\vert 1 \vert 3)$ . Die dritte Seitenhalbierende geht ebenfalls durch diesen Punkt geht.

A3

Die Bahnen kreuzen sich bei $S(-400km\vert 200km\vert 8km)$ . Eine Kollision ist also möglich.
Flugzeug 1 braucht $80 h$ , Flugzeug 2 braucht $500 h$ , also muss Flugzeug 2 $420$ h später starten.

Schnittpunkt zwischen Geraden

Die Geraden schneiden sich in einem Punkt SS

Die Geraden sind parallel

Die Geraden sind windschief

F1

F2

F3

A1

A2

A3

Die Geraden schneiden sich in einem Punkt $S$