Weitere Aufgaben 1

F1

Skizziere auf einem Blatt zwei Pfeile $\vec{a}$ und $\vec{b}$ , die etwa so aussehen wie unten eingezeichnet.

Konstruiere die Vektoren $-\vec{a}$ , $\vec{a}+\vec{b}$ , $\vec{a}-2\vec{b}$ , and $-0.5 \vec{a}-\vec{b}$

F2

Gegeben sind die Vektoren $\vec a= \left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3 \end{array}\right)$ und $\vec b = \left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 1 \end{array}\right)$

Skizziere die Vektoren als Pfeile. Hänge die Pfeile beim Koordinatennullpunkt an.
Bestimme die Komponenten der folgenden Vektoren: $2\vec{a}$ , $-1.5\vec{a}$ , $3\vec{a}+5\vec{b}$ , $-\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$ , $3(-2\vec{b})$
Zeige mit einer Rechnung, dass $\vert \vec{a}+\vec{b}\vert \leq \vert \vec{a}\vert + \vert\vec{b}\vert$ . Zeige mit einer Skizze, dass diese Ungleichung ausser in speziellen Fällen immer Gültigkeit hat.
Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{a}$ .
Bestimme den Einheitsvektor von $-\vec{a}$ .
Finde eine Vektor mit Länge $10$ , der in die gleiche Richtung wie $\vec{a}$ deutet.
Bestimme einen Vektor mit Länge $5$ , der in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{b}$ deutet.

F3

Bestimme die Distanz zwischen den Punkten $A(2\vert -4\vert 3)$ und $B(-1\vert 2\vert 1)$ .

F4

Gegeben ist der Vektor $\vec{u}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ z \end{array}\right)$ . Find alle Werte für $z$ so, dass $\vec{u}$ den Betrag $2$ besitzt.

F5

Gegeben ist der Vektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 5\\ 3 \end{array}\right)$ . Finde einen Vektor der kollinear zu $\vec{v}$ ist, und einen anderen, der nicht kollinear zu $\vec{v}$ ist.

F6

Sind die Vektoren kollinear?

$\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 4\\ -1\\ 3 \end{array}\right)$ und $\vec{b}=\left(\begin{array}{r} -12\\ 3\\ -9 \end{array}\right)$
$\vec{e}=\left(\begin{array}{r} 3\\ -1\\ -0.1 \end{array}\right)$ und $\vec{f}=\left(\begin{array}{r} -2.25\\ 0.75\\ 0 \end{array}\right)$

F7

Finde Komponenten $x$ and $z$ so, dass die Vektoren $\vec{a}=\left(\begin{array}{r} -3\\ 1\\ 8 \end{array}\right)$ und $\vec{b}=\left(\begin{array}{r} x\\ -4\\ z \end{array}\right)$ kollinear sind.

F8

Die Gerade $g$ geht durch die Punkte $A$ und $B$ . Ist Punkt $C$ auf $g$ ?

$A(5\vert 2\vert 1)$ , $B(10\vert -1\vert 0)$ , $C(-8\vert 8\vert -6)$
$A(6\vert -3\vert 4)$ , $B(2\vert 7\vert -5)$ , $C(-4\vert 22\vert -18.5)$

F9

Gegeben sind die Punkte $A(6\vert 1\vert 0)$ und $B(10\vert 5\vert 4)$ . Finde einen Punkt $M$ der auf dem Segment zwischen $A$ und $B$ liegt, und zwar so, dass $M$ das Segment im Verhältnis $2:1$ teilt.

F10

Ein Dreieck $ABC$ hat die Eckpunkte $A(6\vert 1\vert -3)$ , $B(7\vert -7\vert 4)$ , und $C(-4\vert 0\vert 5)$ .

Finde den Umfang des Dreiecks.
Finde einen Punkt $D$ so, dass die vier Punkte ein Parallelogramm bilden. Find alle Lösungen.

F11

Gegeben ist der Punkt $A(7\vert 1\vert 5)$ . Ein Punkt $B$ mit x-Koordinate $6$ and z-Koordinate $-3$ soll so in $y$ -Richtung bewegt werden, dass die Distanz zwischen $A$ und $B$ genau $9$ ist. Bestimme die y-Koordinate von $B$ .

F12

Finde alle Punkte auf der z-Achse so, dass die Distanz zum Punkt $A(-6\vert 3\vert 7)$ genau $7$ ist.

F13

Eine Gerade geht durch die Punkte $A(4\vert 5\vert 3)$ und $B(2\vert 3\vert 1)$ .

Die Gerade schneidet die $xy$ -Ebene beim Punkt $C$ . Bestimme die Koordinaten von $C$ .
Die Gerade schneidet die $yz$ -Ebene beim Punkt $C$ . Bestimme die Koordinaten von $C$ .

F14

Eine Gerade $g$ geht durch den $A(-2\vert 3\vert 4)$ und hat den Richtungsvektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -2 \end{array}\right)$ . Find alle Punkte $U$ auf $g$ mit Distanz $4$ von $A$ .

F15

Betrachte den unten stehenden Würfel. Wo schneidet die Gerade $g$ die $yz$ -Ebene?

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Solutions

A1

A2.1

A2.2

\begin{array}{rll} 2\vec a &=& \left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 6 \end{array}\right)\\ -1.5\vec a &=& \left(\begin{array}{r} 0\\ -1.5\\-4.5\end{array}\right)\\ 3\vec a+5\vec b &=& \left(\begin{array}{r} -5\\ 13\\14\end{array}\right)\\ -\vec b-\frac{1}{2}\vec b &=& \left(\begin{array}{r} 1\\ -2.5\\-2.5\end{array}\right)\\ 3(-2\vec b) &=& \left(\begin{array}{r} 6\\ -12\\-6\end{array}\right) \end{array}

A2.3

Wir müssen zeigen, dass $\vert \vec a+\vec b\vert < \vert a\vert +\vert b\vert$ :

\vert \vec a+\vec b\vert=\left\vert \left(\begin{array}{r} -1\\ 3\\ 4 \end{array}\right)\right\vert=\sqrt{(-1)^2+3^2+4^2}=\sqrt{26}

\vert \vec a\vert=\left\vert \left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3 \end{array}\right)\right\vert=\sqrt{10}

\vert \vec b\vert=\left\vert \left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 1 \end{array}\right)\right\vert=\sqrt{6}

In der Tat, mit dem TR sehen wir, dass $\sqrt{26}< \sqrt{10}+\sqrt{6}$ . Mit der unten stehenden Skizze sieht man, dass dies für beliebige Vektoren (ausser die Vektoren zeigen in die gleiche Richtung, oder einer der Vektoren ist der Nullvektor).

A2.4

$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{10}$ . Wir müssen $\vec a$ so strecken, dass der neue Vektor die Länge $1$ besitzt, und in die Gleiche Richtung zeigt. Finde also einen Streckungsfaktor $c$ so, dass

c\cdot \sqrt{10}=1

woraus folgt, dass

c=\frac{1}{\sqrt{10}}

Der Einheitsvektor hat also die Komponenten

\frac{1}{\sqrt{10}}\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0\\ \frac{1}{\sqrt{10}}\\ \frac{3}{\sqrt{10}} \end{array}\right)

A2.5

-\frac{1}{\sqrt{10}}\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0\\ -\frac{1}{\sqrt{10}}\\ -\frac{3}{\sqrt{10}} \end{array}\right)

A2.6

10\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0\\ \frac{10}{\sqrt{10}}\\ -\frac{30}{\sqrt{10}} \end{array}\right)

A2.7

$\vert\vec b \vert = \sqrt{6}$ . Also müssen wir $\vec{b}$ um den Faktor $\frac{1}{\sqrt{6}}$ strecken um die Länge $1$ zu bekommen, und dann noch um $-5$ , damit der Vektor die Länge $5$ bekommt und in die entgegengesetzte Richtung deutet:

-5\cdot \frac{1}{\sqrt{6}} \vec b = \left(\begin{array}{c} \frac{5}{\sqrt{6}}\\-\frac{10}{\sqrt{6}}\\ -\frac{5}{\sqrt{6}} \end{array}\right)

A3

Der Vektor von $A$ auch $B$ ist

\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} -3\\6\\ -2\end{array}\right)

Die Distanz zwischen $A$ und $B$ ist gerade die Länge des Pfeils, also

d=\vert \overrightarrow{AB}\vert =7

A4

$\vec u=\left(\begin{array}{c} -1\\1\\ z\end{array}\right)$ . Finde $z$ mit $\vert \vec u \vert = 2$ :

\begin{array}{lll} \sqrt{(-1)^2+1^2+z^2} & = & 2\\ \sqrt{2+z^2} & = & 2 \quad \vert (.)^2\\ 2+z^2 &=& 4\\ z^2 = 2 \\ z=\underline{\pm\sqrt{2}} \end{array}

A5

Zum Beispiel

\vec w_1 = 2\vec v= \left(\begin{array}{c} 0\\10\\ 6\end{array}\right)

ist kollinear zu $\vec v$ . Der Vektor

\vec w_1 = \left(\begin{array}{c} 0\\10\\ 5\end{array}\right)

hingegen nicht.

A6

$\vec a \parallel \vec b$ (Streckungsfaktor $c=-1/3$ or $-3$ )
$\vec e \not\parallel \vec f$ (es existiert kein Streckungsfaktor)

A7

Finde Streckungsfaktor $c$ mit $\vec a = c\cdot \vec b$ , also

\begin{array}{lll} -3 & =& c\cdot x \\ 1 & =& c\cdot (-4) \\ 8 & =& c\cdot z \\ \end{array}

Aus der dritten Gleichung folgt $c=-\frac{1}{4}$ , also $x=12, y=-32$ . Es ist somit

b= \left(\begin{array}{c} 12\\-4\\ -32\end{array}\right)

A8

$\overrightarrow{AB}$ ist ein Richtungsvektor von $g$ . Überprüfe also, ob $\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{AC}$ :

$\overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c} 5\\-3\\ -1\end{array}\right), \overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{c} -13\\6\\ -7\end{array}\right)$ . Wir sehen, dass $\overrightarrow{AB}\not \parallel \overrightarrow{AC}$ , also liegt $C$ nicht auf $g$ .
$\overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c} -4\\10\\ -9\end{array}\right), \overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{c} -10\\25\\ -22.5\end{array}\right)$ . Wir sehen, dass $\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{AC}$ (Streckungsfaktor $c=0.4$ or $2.5$ ), also liegt $C$ auf $g$ .

A9

Aus der Skizze unten sehen wir, dass

M=A+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

oder mit Vektoren geschrieben

\vec M =\vec A+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

Wir erhalten somit $M(\frac{26}{3}, \frac{11}{3}, \frac{8}{3})$ .

A10.1

Der Umfang ist die Summe der Seitenlängen, also

U=\vert \overrightarrow{AB} \vert + \vert \overrightarrow{BC} \vert + \vert \overrightarrow{AC} \vert

Mit

\begin{array}{lll} \overrightarrow{AB} &=& \left(\begin{array}{c} 1\\-8\\ 7\end{array}\right)\\ \overrightarrow{BC} &=& \left(\begin{array}{c} -11\\7\\ 1\end{array}\right)\\ \overrightarrow{AC} &=& \left(\begin{array}{c} -10\\-1\\ 8\end{array}\right)\\ \end{array}

folgt $U=\underline{36.599}$ .

A10.2

Siehe Skizze unten. Die möglichen Punkte $D$ sind:

$D=C+\overrightarrow{AB}=(-3\vert -8\vert 12)$
$D=A+\overrightarrow{CB}=(17\vert -6\vert -4)$
$D=A+\overrightarrow{BC}=(-5\vert 8\vert -2)$

A11

Punkt $B$ hat die Koordinaten $B(6\vert y\vert -3)$ . Finde $y$ mit

d=\vert \overrightarrow{AB}\vert=9

Mit

\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} 6-7\\y-1\\ -3-5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1\\y-1\\ -8\end{array}\right)

haben wir die Gleichung unten, die nach $y$ aufgelöst werden muss:

\begin{array}{rll} \sqrt{(-1)^2+(y-1)^2+(-8)^2} &=& 9 \\ \sqrt{(y-1)^2+65} &=& 9 \quad \vert (.)^2\\ (y-1)^2+65 &=& 81\\ (y-1)&=& 16 \quad\vert \sqrt{}\\ y-1&=&\pm 4 \end{array}

Es folgt also $y_1=\underline{5}$ und $y_2=\underline{-3}$ und somit $B_1(6\vert 5\vert -3)$ und $B_2(6\vert -3\vert -3)$ .

A12

$B(0\vert 0\vert z)$ . Finde $z$ mit

d=\vert \overrightarrow{AB}\vert=7

Mit

\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c} 0-(-6)\\0-3\\ z-7\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 6\\-3\\ z-7\end{array}\right)

haben wir die Gleichung unten, die nach $z$ aufgelöst werden muss:

\begin{array}{rll} \sqrt{6^2+(-3)^2+(z-7)^2} &=& 7 \\ \sqrt{(z-7)^2+45} &=& 7 \quad \vert (.)^2\\ (z-7)^2+45 &=& 49\\ (z-7)^2 &=& 4 \quad\vert \sqrt{}\\ z-7&=&\pm 2 \end{array}

Es folgt also $z_1=\underline{9}$ und $y_2=\underline{5}$ und somit $B_1(0\vert 0\vert 9)$ und $B_2(0\vert 0\vert 5)$ .

A13.1

$C$ ist in der $xy$ -Ebene (siehe Skizze unten), also ist

C(x\vert y\vert 0)

$C$ ist auch auf $g$ (da Schnittpunkt), also muss es ein $c$ geben mit

C=A+c\cdot \overrightarrow{AB}

oder in Vektorschreibweise

\vec C=\vec A+c\cdot \overrightarrow{AB}

also

\left(\begin{array}{c} x\\y\\ 0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4\\5\\ 3\end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{c} -2\\-2\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4-2c\\5-2c\\ 3-2c\end{array}\right)

und somit

\begin{array}{lll} x &=& 4-2c\\ y &=& 5-2c\\ 0 &=& 3-2c \end{array}

Aus der dritten Gleichung folgt $c=\frac{3}{2}$ und somit $x=1, y=2$ . Es ist somit $\underline{C(1\vert 2\vert 0)}$ .

A13.2

Wie in A13.1, aber mit $C(0\vert y\vert z)$ , da nun $C$ in der $xz$ -Ebene ist. Es folgt (Details übersprungen) $\underline{C(0\vert 1\vert -1)}$ .

A14

$U=A+\vec w$ wobei $\vec w$ in die gleiche Richtung zeigt wie $\vec v$ , aber Länge $4$ besitzt (siehe Skizze unten), also

\vec w = \frac{4}{3}\cdot \vec v = \left(\begin{array}{c} \frac{4}{3}\\ \frac{8}{3}\\ -\frac{4}{3}\end{array}\right)

Es ist somit $\underline{U(-\frac{2}{3}\vert\frac{17}{3}\vert\frac{4}{3})}$ . Eine andere Lösung ergibt sich, wenn $\vec w$ in die entgegengesetzte Richtung zeigt: $U=A-\vec w$ wobei $\vec w$ . Wir erhalten dann $\underline{U(-\frac{10}{3}\vert\frac{1}{3}\vert\frac{20}{3})}$ .

A15

Es ist $A(3\vert 1\vert 1)$ und $B(1\vert 3\vert 2)$ . $S(0\vert y\vert z)$ ist der Schnittpunkt, er liegt auf der $yz$ -Ebene. $S$ liegt auf auf der Geraden $g$ , also muss ein $c$ existieren mit

\vec S = \vec A+c\cdot \overrightarrow{AB}

\left(\begin{array}{c} 0\\y\\ z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3\\1\\ 1\end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{c} -2\\2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3-2c\\1+2c\\ 1+c\end{array}\right)

und somit erhalten wir die drei Gleichungen

\begin{array}{lll} 0&=&3-2c\\ y &=& 1+2c\\ z&=& 1+c \end{array}

Aus der 1. Gleichung folgt $c=1.5$ und somit $y=4$ und $z=2.5$ . Es ist somit $\underline{C(0\vert 4\vert 2.5)}$ .