Das Skalarprodukt

Wir haben schon eine Multiplikation mit Vektoren kennengelernt: Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Diese Operation streckt den Vektor um den Multiplikationsfaktor.

Wir führen nun eine weitere Multiplikation ein, und zwar zwischen zwei Vektoren. Das Resultat ist ein Skalar (also eine Zahl). Das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$, geschrieben als $\vec{a} \bullet \vec{b}$ (oder $\vec{a} \cdot \vec{b}$), ist definiert als

Wir multiplizieren also die Komponenten der beiden Vektoren, und summieren die Produkte.

Beachte, dass im zweiten Beispiel $\vec{a}\neq 0$ und $\vec{b}\neq 0$ aber $\vec{a}\bullet \vec{b} =0$. Dies ist in einer normalen Multiplikation zwischen zwei Zahlen nicht möglich. Falls das Produkt der beiden Zahlen $0$ ist, muss bereits eine der beiden Zahlen $0$ sein. Vielen andere Eigenschaften der Multiplikation von Zahlen lassen sich aber auf das Skalarprodukt übertragen. So haben wir:

1. $\vec{a}\bullet\vec{a} = \vert\vec{a}\vert^2 \geq 0$ (Quadrate sind immer grösser oder gleich $0$)
2. $\vec{a}\bullet\vec{b} = \vec{b}\bullet\vec{a}$ (die Multiplikation ist kommutativ)
3. $(c \cdot \vec{a})\bullet \vec{b} =c\cdot (\vec{a}\bullet \vec{b})$ wobei $c$ ein Skalar ist (die Multiplikation ist assoziativ, das heisst, wir können gruppieren)
4. $\vec{a}\bullet (\vec{b}+\vec{c}) = (\vec{a}\bullet\vec{b}) + (\vec{a}\bullet\vec{c})$ (die Multiplikation is distributiv, daher wir können das Produkt über die Summe verteilen)