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Exercise 1: Volumenformeln für geometrische Körper

Wie lauten die Volumenformeln für gerade und schiefe Kegel / Pyramiden / Zylinder und für die Kugel?

Solution

Schiefe oder gerade Kegel und Pyramiden:

V=\frac{Gh}{3}

wobei $G$ die Grundfläche ist (Kreisfläche oder Dreiecksfläche) und $h$ die Höhe ist, welche senkrecht zur Grundfläche steht.

Schiefer oder gerade Zylinder:

V=hG

wobei $G$ die Grundfläche ist (Kreisfläche) und $h$ die Höhe ist, welche senkrecht zur Grundfläche steht.

Kugelvolumen:

V=\frac{4\pi}{3}r^3

wobei $r$ der Radius ist.

Warning

Falls nicht explizit erwähnt, darf nicht angenommen werden, dass Kegel / Pyramiden / Zylinder gerade sind.

Exercise 2: Punktspiegelung an Ebene

Der Punkt $P(4|0|-2)$ wird an der Ebene $E$ gespiegelt, wobei $E$ den Punkt $A(5|0|0)$ enthält und den Normalenvektor

\vec{n}=\left(\begin{array}{rrr} 1 \\ -2 \\ 3\end{array}\right)

besitzt. Bestimme die Koordinaten des Spiegelpunktes $P'$ ( $P'$ liegt auf der anderen Seite der Ebene).

Solution

Finde den Punkt $S$ auf der Ebene $E$ , der $P$ am nächsten liegt. Dieser hat die Koordinaten $S(4.5|-1|-0.5)$ . Es ist dann $P^\prime=S+\vec{PS}$ , also $P^\prime(5|-2|1)$ .

Exercise 3: Punktspiegelung an Gerade

Der Punkt $P(1|0.25|-1)$ wird an der Geraden $g$ gespiegelt, die durch die Punkte $A(0|3|1)$ und $B(2|-1|3)$ . Finde die Koordinaten des gespiegelten Punktes $P^\prime$ .

Solution

Finde den Punkt $S$ , der auf der Geraden durch $A$ und $B$ , der am nächsten bei $P$ liegt. Es ist $S(0.75|1.5|1.75)$ . Es ist dann $P^\prime = S+\vec{PS}$ , also $P^\prime(0.5|2.75|4.5)$ .

Exercise 4: Volumen eines Kegels

Ein gerader Kegel hat die Spitze $V(6|-1|7)$ und die Achsenrichtung

\vec{a}=\left(\begin{array}{rrr} 1 \\ -2 \\ 2\end{array}\right)

Der Punkt $P(-1|7|5)$ liegt auf dem Kreis, der durch die Grundfläche des Kegels gebildet wird. Bestimme das Volumen des Kegels.

Solution

Finde den Punkt $S$ in der Ebene der Grundfläche, der der Spitze $P$ am nächsten liegt. Es ist $S(3|5|1)$ . Der Radius der Grundfläche ist $r=|\vec{SP}|=6$ und die Höhe des Kegels ist $h=|\vec{SV}|=9$ . Es folgt $V=\frac{6^2\pi\cdot 9}{3}=108\pi$ .

Exercise 5: Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche $ABC$ ( $A(1|0|0)$ , $B(0|1|0)$ , $C(0|0|1)$ ) hat den Scheitelpunkt $P(2|3|4)$ . Bestimme das Volumen der Pyramide.

Solution

Finde den Punkt $S$ auf der Ebene $E$ durch $A$ , $B$ und $C$ , der am Punkt $P$ am nächsten liegt. Es ist $P(-\frac{2}{3}|\frac{1}{3},\frac{4}{3})$ . Die Höhe der Pyramide ist somit $h=|\vec{SP}|=\frac{8\sqrt{3}}{3}=4.6188$ . Die Grundfläche (Dreiecksfläche) ist $G=\frac{\sqrt{3}}{2}=0.866$ (zum Beispiel, $G=\frac{1}{2} |\vec{AB}\times\vec{AC}|$ ). Das Volumen ist dann $V=\frac{Gh}{3}=\frac{4}{3}$ .