Schnittpunkt von Geraden

Gegeben seien 2 Geraden $g$ und $h$ , wobei $g$ durch den Punkt $A$ geht und den Richtungsvektor $\vec{v}$ besitzt und $h$ durch den Punkt $B$ geht und den Richtungsvector $\vec{w}$ besitzt. Für jeden Punkt $P$ auf $g$ und jeden Punkt $Q$ auf $h$ müssen also Zahlen $c$ und $d$ existieren mit

\begin{array}{lll} g:\, & P &=& A+c\vec{v}\\ h:\, & Q &=& B+d\vec{w} \end{array}

Die möglichen relativen Lagen von $g$ und $h$ sind unten gezeigt:

Wir gehen nun die Fälle mit konkreten Zahlen durch:

Exercise 1

Die Gerade $g$ geht durch den Punkt $A(1|2|3)$ und hat Richtungsvector $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 2\\-1\\4 \end{array}\right)$ . Die Gerade $h$ geht durch den Punkt $B$ und hat Richtungsvektor $\vec{w}$ .

Bestimme die relative Lage von $g$ und $h$ . Falls sie sich schneiden, bestimme den Schnittpunkt $S$ .

$B(5|0|1), \vec{w}=\left(\begin{array}{r} -1\\0.5\\-2 \end{array}\right)$
$B(3|1|7), \vec{w}=\left(\begin{array}{r} -4\\2\\-8 \end{array}\right)$
$B(4|-3|13), \vec{w}=\left(\begin{array}{r} 1\\3\\-2 \end{array}\right)$
$B(5|1|11), \vec{w}=\left(\begin{array}{r} 1\\3\\-1 \end{array}\right)$

Solution

parallel, nicht identisch
parallel, identisch
schneiden sich, Schnittpunkt ist $S(5|0|11)$
windschief

Exercise 2

Bestimme den Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ und $h$ (falls er existiert).

$g$ geht durch $A(-3|5|-2)$ und $B(3| -5| 16)$ , $h$ geht durch $C(-16,-6,9)$ und $D(-8,-3,8)$
$g$ geht durch $A(5|51|6)$ und hat Richtungsvektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 4\\-1\\7 \end{array}\right)$ , $h$ geht durch $C(49|4|7)$ und hat Richtungsvektor $\vec{w}=\left(\begin{array}{r} 2\\-5\\-6 \end{array}\right)$
$g$ geht durch $A(3|2|-1)$ und hat Richtungsvektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 0.8\\0.2\\-1 \end{array}\right)$ , $h$ geht durch $C(2|6|1)$ und hat Richtungsvektor $\vec{w}=\left(\begin{array}{r} -4\\-1\\5 \end{array}\right)$
$g$ geht durch $A(-2|1|3)$ und hat Richtungsvektor $\vec{v}=\left(\begin{array}{r} -0.6\\-1\\0.2 \end{array}\right)$ , $h$ geht durch $C(1|6|2)$ und hat Richtungsvektor $\vec{w}=\left(\begin{array}{r} 3\\5\\-1 \end{array}\right)$

Solution

$S(0|0|7)$
$S(33|44|55)$
parallel, nicht identisch
parallel, identisch