Die Ableitung von Potenzfunktionen

Im vorletzten Kapitel haben wir Formeln für die Tangentensteigung , also die Ableitungen, für verschiedene Potenzfunktionen hergeleitet. Wir listen sie hier nochmals auf, und schreiben sie alle mit Potenzen:

Funktion f→Ableitung f′x1→x0x2→2x1x3→3x2x1/2→12x−1/2x−1→−x−2\begin{array}{ccc} \text{Funktion } f & \rightarrow & \text{Ableitung } f^\prime \\\hline x^1 & \rightarrow & x^0\\ x^2 & \rightarrow & 2x^1 \\ x^3 & \rightarrow & 3x^2 \\ x^{1/2} & \rightarrow & \frac{1}{2}x^{-1/2} \\ x^{-1} & \rightarrow & -x^{-2}\end{array}

Beobachte das Muster. Scheinbar ist es recht einfach, die Ableitung einer Potenzfunktion zu finden:

f(x)=xn→f′(x)=n⋅xn−1\boxed{f(x)=x^n \rightarrow f^\prime(x)=n \cdot x^{n-1}}

In der Tat, dieses Regel stimmt für alle Exponenten nn, wir werden aber keinen Beweis geben. Diese Regel nennen wir Potenzregel fürs Differenzieren (nicht mit den Potenzregeln in der Algebra zu verwechseln ... die brauchen wir aber schon bald).

Exercise 1

  1. Finde die Ableitung folgender Funktionen mit Hilfe der Potenzregel:

    1. f(x)=x10f(x)=x^{10}
    2. g(x)=x3g(x)=\sqrt{x^3}
    3. h(x)=1x4h(x)=\frac{1}{x^4}
    4. k(x)=x2/3k(x)=x^{2/3}
    5. l(x)=1x34l(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}

  2. Gegeben sei die Funktion f(x)=x4/5f(x)=x^{4/5} und der Punkt AA auf dem Graphen von ff, wobei Ax=1A_x=1.

    1. Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von ff bei AA.

    2. Bestimme die Gleichung der Tangente.

    3. Wo schneidet die Tangente die xx-Achse?

    4. Bestimme den Schnittwinkel zwischen der Tangente und der xx-Achse.

Solution

  1. Bestimme immer zuerst den Exponenten nn, wende dann die Regel an:

    1. f(x)=x10f(x)=x^{10}, also n=10n=10, also f′(x)=10x9f^\prime(x)=10 x^9
    2. g(x)=x3=x3/2g(x)=\sqrt{x^3}=x^{3/2}, also n=3/2n=3/2, also g′(x)=32x1/2=1.5xg^\prime(x)=\frac{3}{2} x^{1/2}=1.5\sqrt{x}
    3. h(x)=1x4=x−4h(x)=\frac{1}{x^4}=x^{-4}, also n=−4n=-4, also h′(x)=−4x−5=−4x5h^\prime(x)=-4 x^{-5}=-\frac{4}{x^5}
    4. k(x)=x2/3k(x)=x^{2/3}, also n=2/3n=2/3, also k′(x)=23x−1/3=23x3k^\prime(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}
    5. l(x)=1x34=x−3/4l(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=x^{-3/4}, also n=−3/4n=-3/4, also l′(x)=−34x−7/4=−34x74l^\prime(x)=-\frac{3}{4} x^{-7/4}=-\frac{3}{4\sqrt[4]{x^7}}

  2. Es gilt:

    1. n=4/5n=4/5, also

      f′(x)=45x4/5−1=45x−1/5f^\prime(x)=\frac{4}{5} x^{4/5-1} = \frac{4}{5} x^{-1/5}

      Die Steigung bei x=1x=1 ist somit f′(1)=45⋅1−1/5=45‾f^\prime(1)=\frac{4}{5}\cdot 1^{-1/5}=\underline{\frac{4}{5}}.

    2. Die Tangentengleichung ist t(x)=ax+bt(x)=ax+b, wobei a=45a=\frac{4}{5}. Um bb zu finden, brauchen wir, dass

      t(1)=f(1)45⋅1+b=14/5b=15\begin{array}{rll} t(1) & = & f(1) \\ \frac{4}{5}\cdot 1+b & = &1^{4/5}\\ b &= & \frac{1}{5} \end{array}

      Also ist t(x)=45x+15‾t(x)=\underline{\frac{4}{5} x+\frac{1}{5}}.

    3. Finde xx mit t(x)=45x+15=0t(x)=\frac{4}{5} x+\frac{1}{5}=0. Es folgt x=−14‾x=\underline{-\frac{1}{4}}.

    4. Die Steigung der Gerade tt ist a=δyδx45a=\frac{\delta y}{\delta x}\frac{4}{5}, wobei δx\delta x und δy\delta y die Seiten des Steigungsdreiecks sind. Falls α\alpha der Winkel zwischen der xx-Achse und der Tangente bezeichnet, so haben wir

      tan⁡(α)=OA=ΔyΔx=45\tan(\alpha)=\frac{O}{A}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{5}

      und somit

      α=arctan⁡(45)=38.66∘‾\alpha=\arctan\left(\frac{4}{5}\right)= \underline{38.66^\circ}