Operationen zwischen Funktionen

Nun brauchen wir noch ein bisschen Hintergrundwissen. Gegeben seien zwei Funktionen $f$ und $g$ , und eine Konstante $c$ . Um konkret zu bleiben, brauchen wir die Beispiele $f(x)=3x$ und $g(x)=x^2+1$ , und $c=4$ . Wir können nun eine weitere Funktionen $h$ auf die folgende Weise bilden:

Definition 1

$h=c\cdot f$ ist definiert als $h(x)=c\cdot f(x)$ für alle $x$ (Multiplikation einer Funktion mit einer Konstanten)

Beispiel: $h(2)=4\cdot \underbrace{f(2)}_{=6} = 24$
$h=f \pm g$ ist definiert als $h(x)=f(x)\pm g(x)$ für alle $x$ (Addition oder Subtraktion von zwei Funktionen)

Beispiel: $h(2)=\underbrace{f(2)}_{=6}+\underbrace{g(2)}_{=5}=11$
$h=f\cdot g$ ist definiert als $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ für alle $x$ (Multiplikation von zwei Funktionen)

Beispiel: $h(2)=\underbrace{f(2)}_{=6}\cdot \underbrace{g(2)}_{=5}=30$
$h=\frac{f}{g}$ ist definiert als $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ für alle $x$ (Division von zwei Funktionen)

Beispiel: $h(2)=\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{6}{5}=1.2$
$h = f \circ g$ ist definiert als $h(x)=f(g(x))$ für alle $x$ (Verknüpfung von zwei Funktionen)
$\begin{array}{cll} x & \\ \large\downarrow & \\ \large\boxed{g} & \\ \large\downarrow & \\ y=g(x) & \\ \large\downarrow & \\ \large\boxed{f} & \\ \large\downarrow & \\ y=f(g(x)) \end{array}$
Beispiel: Für $h=f\circ g$ gilt
$h(2)=f(g(2))=f(5)=15$
und für $k=g\circ f$ gilt
$k(2)=g(f(2))=g(6)=37$

Exercise 1

Gegeben sind die Funktionen $f(x)=x^2$ , $g(x)=0.5x$ , und die Konstante $c=2$ . Bestimme die Funktionsgleichung von $h$ , wobei

$h=c\cdot f$
$h=f \pm g$
$h=f\cdot g$
$h=\frac{f}{g}$
$h = f \circ g$

Vereinfache den erhaltenen Ausdruck für $h$ soweit wie möglich.

Solution

$h(x)=c\cdot f(x)= 2\cdot x^2 =2x^2$
$h(x)=f(x)+g(x)=x^2+0.5x=x(x+0.5)$ $h(x)=f(x)-g(x)=x^2-0.5x=x(x-0.5)$
$h(x)=f(x)\cdot g(x)=x^2\cdot 0.5x=0.5x^3$
$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2}{0.5x}=2x$
$h(x)=f(g(x))=(0.5x)^2=0.25x^2$

Beachte, dass im allgemeinen gilt

u\circ v \neq v\circ u

Siehe dazu die folgende Aufgabe ... .

Exercise 2

Bestimme die Funktionsgleichung von $u=f\circ g$ und $v=g\circ f$ . Vereinfache die Funktionsgleichungen von $u$ und $v$ soweit wie möglich.

$f(x)=\sqrt{x},\, g(x)=x^3$
$f(x)=x^2+2x+2,\, g(x)=3x$
$f(x)=x^2+2x+2,\, g(x)=x+1$
$f(x)=\frac{2}{x},\, g(x)=2 x^2$
$f(x)=(2x+1)^2,\, g(x)=x-1$

Solution

$u(x)=f(g(x))=\sqrt{x^3} =x^{3/2}$ ,

$v(x)=g(f(x))=(\sqrt{x})^3 = x^{3/2}$
$u(x)=f(g(x))=(3x)^2+2(3x)+2=9x^2+6x+2$ ,

$v(x)=g(f(x))=3(x^2+2x+2)=3x^2+6x+6$
$u(x)=f(g(x))=(x+1)^2+2(x+1)+2=x^2+4x+5$ ,

$v(x)=g(f(x))=x^2+2x+2+1=x^2+2x+3$
$u(x)=f(g(x))=\frac{2}{2x^2}=\frac{1}{x^2}$ ,

$v(x)=g(f(x))=2 \left(\frac{2}{x}\right)^2=\frac{8}{x^2}$
$u(x)=f(g(x))=(2(x-1)+1)^2=(2x-1)^2=4x^2-4x+1$ ,

$v(x)=g(f(x))=(2x+1)^2-1=4x^2+4x =4x(x+1)$

Exercise 3

Gegeben sind zwei Funktionen $f$ und $g$ mit $f(2)=7, f(3)=8.5, g(2)=3$ . Bestimme $h(2)$ wobei

$h=4\cdot f$
$h=f+g$
$h=f\cdot g$
$h=\frac{f}{g}$
$h=f\circ g$

Solution

$h(2)=4\cdot f(2)= 4\cdot 7=28$
$h(2)=f(2)+g(2)=7+3=10$
$h(2)=f(2)\cdot g(2)=7\cdot 3=21$
$h(2)=\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{7}{3}$
$h(2)=f(g(2))=f(3)=8.5$

Exercise 4

Gegeben sind die Graphen zweier Funktionen $f$ und $g$ (siehe unten). Konstruiere den Graphen der Funktion $u=f+g$ und $v=f\circ g$ ohne die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ zu bestimmen.

Solution