Die Ableitung einer Funktion

Im vorhergehenden Kapitel haben wir Formel gefunden, mit welchen wir die Steigung der Tangente berechnen konnten. Zum Beispiel, ist die Funktion gegeben durch

f(x)=x3f(x)=x^3

so können wir mit der Formel

ax=3x2a_x = 3x^2

die Steigung der Tangente im Punkt AA (oder bei xx) auf dem Graphen berechnen, wobei xx die xx-Koordinate von AA ist. Wir bekommen also die Funktion

x↓f′Regel: 3x2↓y\begin{array}{cll} x & \\ \downarrow &\\ \boxed{f^\prime} & \text{Regel: } 3x^2\\ \downarrow &\\ y & \\ \end{array}

Diese Funktion, f′(x)=3x2f^\prime(x)=3x^2, welche wir von ff abgeleitet haben, wird Ableitung von f genannt, und wird mit

f′f^\prime

bezeichnet ("f Strich"). Für jede Funktion ff können wir die Ableitung f′f^\prime herleiten. Bis jetzt mussten wir dies mit dem Differentialquotienten machen, was ziemlich umständlich ist. Wir werden aber bald sehen, dass es auch einfacher geht, in dem wir die Ableitungsregeln anwenden.

Exercise 1

Mit der neuen Notation können wir also sagen, dass die Ableitung von f(x)=x3f(x)=x^3 die Funktion

f′(x)=3x2f^\prime(x)=3x^2

ist. Die Steigung der Tangente an den Graphen von ff im Punkt A(2∣8)A(2|8) ist

f′(2)=3⋅22=12f^\prime(2)=3\cdot 2^2=12

Fassen wir zusammen.

Definition 1

Gegeben ist eine Funktion ff. Ist AA ein Punkt auf dem Graphen von ff mit xx-Koordinate xx, dann ist

f′(x)=ax=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf^\prime(x) = a_x =\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

die Steigung der Tangente bei xx. f′f^\prime ist ebenfalls eine Funktion und wird die Ableitung von ff genannt.

Das aktuelle Herleiten der Funktion f′f^\prime wird Ableiten genannt, und wir sagen, dass wir ff differenzieren oder ableiten, um die Ableitung f′f^\prime zu bekommen:

f→differenzierenf′f \xrightarrow[]{\text{differenzieren}} f^\prime