Zehnerpotenzen

Häufig treten in alltäglichen oder wissenschaftlichen Kontexten - zum Beispiel in Physik, Biologie oder Chemie - grosse oder kleine Zahlen auf. Potenzen können dazu verwendet werden, um solche Zahlen übersichtlich zu notieren. Beispielsweise liest sich 10−1110^{-11} viel leichter als 0.000000000010.00000000001.

Zwei wichtige Werte sind:

150′000′000 km150'000'000\,\unit{km} 0.000 000 000 1 m0.000\,000\,000\,1\,\unit{m}

Tabelle mit Zehnerpotenzen

Potenz Dezimalzahl Name SI-Präfix Symbol
101510^{15} 1 000 000 000 000 000 1 Billiarde Peta- P
101210^{12} 1 000 000 000 000 1 Billion Tera- T
101110^{11} 100 000 000 000
101010^{10} 10 000 000 000
10910^{9} 1 000 000 000 1 Milliarde Giga- G
10810^{8} 100 000 000
10710^{7} 10 000 000
10610^{6} 1 000 000 1 Million Mega- M
10510^{5} 100 000
10410^{4} 10 000
10310^{3} 1 000 1 Tausend Kilo- k
10210^{2} 100 Hekto- h
10110^{1} 10 Deka- da
10010^{0} 1
10−110^{-1} 0.1 Dezi- d
10−210^{-2} 0.01 Centi- c
10−310^{-3} 0.001 1 Tausendstel Milli- m
10−410^{-4} 0.0001
10−510^{-5} 0.00001
10−610^{-6} 0.000001 1 Millionstel Mikro- μ
10−710^{-7} 0.0000001
10−810^{-8} 0.00000001
10−910^{-9} 0.000000001 1 Milliardstel Nano- n
10−1010^{-10} 0.0000000001
10−1110^{-11} 0.00000000001
10−1210^{-12} 0.000000000001 1 Billionstel Piko- p
10−1510^{-15} 0.000000000000001 1 Billiardstel Femto- f

Die obige Liste weist System auf: Erhöht man nämlich den Exponenten einer Zehnerpotenz um 11, so muss man die entsprechende Zahl mit 1010 multiplizieren. Wird dieses Prinzip rückwärts angewendet, so können Bedeutungen für bislang unbestimmte Ausdrücke wie 10010^0, 10−110^{-1}, 10−210^{-2} etc. festgelegt werden; nämlich:

100=110−1=0.1=11010−2=0.01=1100=1102…10^0=1\quad 10^{-1}=0.1=\frac{1}{10}\quad 10^{-2}=0.01=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}\quad\dots

Lerne zu den jeweiligen Zehnerpotenzen auch die entsprechenden Präfixe und Abkürzungen; denn diese Präfixe begegnen uns im Alltag immer wieder. Schliesslich noch eine Abbildung des elektromagnetischen Spektrums:

Wissenschaftliche Darstellung

Wir kommen auf unsere Motivation zu Beginn des Kapitels zurück – die schlanke Darstellung grosser und kleiner Zahlen. Bei der sogenannten wissenschaftlichen Darstellung von Zahlen schreibt man die Zahl als Dezimalbruch mit einer Einerstelle und Zehnerpotenzen.

Example 1
  • Abstand Erde–Sonne/Astronomische Einheit:
150′000′000 km=1.5⋅108 km150'000'000\,\unit{km}=1.5\cdot10^8\,\unit{km}
  • Durchmesser eines Atoms/Ein Ångström:
0.000 000 000 1 m=1⋅10−10 m0.000\,000\,000\,1\,\unit{m}=1\cdot10^{-10}\,\unit{m}
92′300=9.23⋅10492'300=9.23\cdot10^4
0.0032=3.2⋅10−30.0032=3.2\cdot10^{-3}
Exercise 1

Schreibe die Zahlen aus:

a) 2.52⋅1052.52\cdot10^{5}

b) 6.52⋅1076.52\cdot10^{7}

c) 5.555⋅10125.555\cdot10^{12}

d) 4.15⋅1094.15\cdot10^{9}

e) 4.31⋅1094.31\cdot10^{9}

f) 3.11⋅1033.11\cdot10^{3}

g) 1.23⋅1061.23\cdot10^{6}

h) 6.22⋅1046.22\cdot10^{4}

Solution

a) 252 000252\,000

b) 65 200 00065\,200\,000

c) 5 555 000 000 0005\,555\,000\,000\,000

d) 4 150 000 0004\,150\,000\,000

e) 4 310 000 0004\,310\,000\,000

f) 3 1103\,110

g) 1 230 0001\,230\,000

h) 62 20062\,200

Exercise 2

Schreibe in wissenschaftlicher Darstellung:

a) 99′000′00099'000'000

b) 4′180′000′0004'180'000'000

c) 48′500′00048'500'000

d) 0.000 008 210.000\,008\,21

e) 92′40092'400

f) 0.000 0160.000\,016

g) 190′300190'300

h) 2′3402'340

i) 1′350′0001'350'000

j) 0.000 000 000 1010.000\,000\,000\,101

k) 0.000 000 0770.000\,000\,077

Solution

a) 9.9⋅1079.9\cdot10^7

b) 4.18⋅1094.18\cdot10^9

c) 4.85⋅1074.85\cdot10^7

d) 8.21⋅10−68.21\cdot10^{-6}

e) 9.24⋅1049.24\cdot10^4

f) 1.6⋅10−51.6\cdot10^{-5}

g) 1.903⋅1051.903\cdot10^5

h) 2.34⋅1032.34\cdot10^3

i) 1.35⋅1061.35\cdot10^6

j) 1.01⋅10−101.01\cdot10^{-10}

k) 7.7⋅10−87.7\cdot10^{-8}

Exercise 3: Die Sonne

Berechne, wie viele Erden in der Sonne Platz hätten.

Solution

Der Erdradius beträgt rE≈6370 kmr_E\approx6370\,\unit{km} und der Sonnenradius rS≈696′340 kmr_S\approx696'340\,\unit{km}. Das Volumen einer Kugel berechnet sich via

VK=43πr3.V_K=\frac{4}{3}\pi r^3.

Wir berechnen das Verhältnis

VSVE=rS3rE3\frac{V_S}{V_E}=\frac{r_S^3}{r_E^3}

Da rSrE≈109\frac{r_S}{r_E}\approx109, hätten in der Sonne etwas mehr als 1093≈1′295′029109^3\approx1'295'029 Erden Platz.

Exercise 4: Das Atom

Berechne, wie viele Heliumkerne in einem Heliumatom (mit Elektronenhülle) Platz haben.

Solution

Der Radius eines Heliumkerns beträgt rK≈1.7⋅10−15 mr_K \approx 1.7\cdot10^{-15}\,\unit{m} und der eines Atoms rHe≈3.1⋅10−11 mr_{\text{He}} \approx 3.1\cdot10^{-11}\,\unit{m}. Das Volumen einer Kugel berechnet sich via

VK=43πr3.V_K=\frac{4}{3}\pi r^3.

Wir berechnen das Verhältnis

VHeVK=rHe3rK3≈6′000′000′000′000=6⋅1012.\frac{V_{\text{He}}}{V_K}=\frac{r_{\text{He}}^3}{r_K^3}\approx6'000'000'000'000=6\cdot10^{12}.

Also haben im Heliumatom gut 66 Billionen Kerne Platz!