Geraden im Raum

Betrachte eine Gerade gg im Raum, welche durch den Punkt AA geht und die Richtung v⃗\vec v besitzt. Der Vektor v⃗\vec v wird Richtungsvektor von gg genannt. Der Punkt AA wird manchmal Aufpunkt genannt.

Gegeben sei nun irgend ein Punkt BB im Raum. Wie können wir feststellen, ob BB auf gg liegt?

Wie die Skizze oben zeigt, müssen wir prüfen, ob der Vektor von AA nach BB und der Richtungsvektor v⃗\vec v kollinear (parallel) sind:

B∈g   if   AB→∥v⃗\boxed{B\in g\,\, \text{ if }\,\, \overrightarrow{AB} \parallel \vec v}

Überlegen wir uns, was das genau für die Koordinaten von AA und BB bedeutet. Da AB→∥v⃗\overrightarrow{AB} \parallel \vec v gibt es einen Wert cc mit

AB→=c⋅v⃗\overrightarrow{AB} = c \cdot \vec{v}

Beachte, dass wir obigen Ausdruck auch schreiben können als

B=A+c⋅v⃗B = A+ c \cdot \vec{v}

oder in Vektorschreibweise als

B⃗=A⃗+c⋅v⃗\vec B = \vec A+ c \cdot \vec{v}

Dieser letzte Ausdruck wird auch Geradengleichung genannt, und besagt, dass BB auf der Geraden liegt, falls von AA aus in Richtung vv laufen kann, und irgendwann auf BB treffe (siehe Skizze unten):

Exercise 1

Zeige, dass aus der Gleichung

AB→=c⋅v⃗\overrightarrow{AB} = c \cdot \vec{v}

die Gleichung

B⃗=A⃗+c⋅v⃗\vec B = \vec A+ c \cdot \vec{v}

folgt (und umgekehrt).

Solution

Die kurze Antwort ist wie folgt:

Wegen

AB→=B−A\overrightarrow{AB}=B-A

folgt mit

AB→=c⋅v⃗\overrightarrow{AB} = c \cdot \vec{v}

dass

B−A=c⋅v⃗B-A = c \cdot \vec{v}

und addieren wir auf beiden Seiten AA erhält man

B=c⋅v⃗+A=A+c⋅v⃗B = c \cdot \vec{v}+A = A+c \cdot \vec{v}

Die längere Antwort geht über die Koordinaten:

Wir können

AB→=c⋅v⃗\overrightarrow{AB} = c \cdot \vec{v}

schreiben als

(Bx−AxBy−AyBz−Az)=c(vxvyvz)=(c⋅vxc⋅vyc⋅vz)\left(\begin{array}{r} B_x-A_x\\ B_y-A_y\\ B_z-A_z \end{array}\right) = c \left(\begin{array}{r} v_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} c\cdot v_x\\ c\cdot v_y\\ c\cdot v_z\end{array}\right)

Wir erhalten also die 33 Gleichungen

Bx−Ax=c⋅vx B_x-A_x = c\cdot v_xBy−Ay=c⋅vyB_y-A_y = c\cdot v_yBz−Az=c⋅vzB_z-A_z = c\cdot v_z

Nehmen wir die Koordinaten von AA auf die andere Seite, erhalten wir die Gleichungen

Bx=Ax+c⋅vxBy=Ay+c⋅vyBz=Az+c⋅vz\begin{array}{lll} B_x &=& A_x+c\cdot v_x\\ B_y &=& A_y+c\cdot v_y\\ B_z &=& A_z+c\cdot v_z \end{array}

oder kurz

B=A+c⋅v⃗B=A+c\cdot \vec{v}

oder auch

B⃗=A⃗+c⋅v⃗\vec B=\vec A+c\cdot \vec{v}
Example 1

Die Gerade gg geht durch den Punkt A(2∣1∣−3)A(2\vert 1\vert -3) und hat den Richtungsvektor

v⃗=(3−14)\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 3\\ -1\\ 4\end{array}\right)

Entscheide, ob der Punkt B(8∣−1∣5)B(8\vert -1 \vert 5) auf gg liegt.

Solution

Methode 1: (Kollinearität) Wir müssen testen, ob AB→∥v⃗\overrightarrow{AB} \parallel \vec v, daher ob es ein cc gibt mit AB→=c⋅v⃗\overrightarrow{AB} = c \cdot \vec{v}, also ob

(6−28)=(3c−c4c)\left(\begin{array}{r} 6\\ -2\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 3c\\ -c\\ 4c\end{array}\right)

also ob es ein cc so gibt, dass alle drei Gleichung erfüllt sind:

6=3c−2=−c8=4c\begin{array}{rll} 6&=&3c\\ -2&=&-c\\ 8&=&4c\end{array}

Aus der ersten Gleichung folgt c=2c=2, und durch Überprüfung der anderen zwei Gleichung sehen wir, dass für c=2c=2 alle Gleichungen erfüllt sind. BB ist also auf der Gerade.

Methode 2: (Geradengleichung) Wir müssen testen, ob es einen Wert cc gibt mit

B⃗=A⃗+c⋅v⃗\vec B=\vec A+c\cdot\vec{v}

daher mit

(8−15)=(21−3)+c⋅(3−14)=(2+3c1−c−3+4c)\left(\begin{array}{r} 8\\ -1\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -3\end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{r} 3\\ -1\\ 4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 2+3c\\ 1-c\\ -3+4c\end{array}\right)

Woraus die drei Gleichungen folgen:

8=2+3c−1=1−c5=−3+4c\begin{array}{rll} 8&=&2+3c\\ -1&=&1-c\\ 5&=&-3+4c\end{array}

Aus der ersten Gleichung folgt c=2c=2, und durch Überprüfung der anderen zwei Gleichung sehen wir, dass für c=2c=2 diese ebenfalls erfüllt sind. BB ist also auf der Gerade.

Exercise 2

  1. Eine Gerade gg geht durch die Punkte U(1∣2∣−1)U(1\vert 2\vert -1) und V(5∣2∣10)V(5\vert 2\vert 10). Finde einen Richtungsvektor von gg. Wie viele Richtungsvektoren besitzt eine Gerade?

  2. Eine Gerade hh geht durch den Punkt Q(1∣3∣2.2)Q(1\vert 3\vert 2.2). Finde den Richtungsvektor von hh, falls hh

    1. parallel zur xx-Achse ist.
    2. parallel zur zz-Achse ist.
    3. rechtwinklig auf der xzxz-Ebene steht.

  3. Die Gerade gg geht durch den Punkt Q(1∣2∣−1)Q(1\vert 2\vert -1) und hat den Richtungsvektor

    m⃗=(2−1.53)\vec{m}=\left(\begin{array}{r} 2\\ -1.5\\ 3 \end{array}\right)
    1. Ist der Punkt U(9∣−4∣11)U(9\vert -4\vert 11) auf der Gerade?
    2. Geht die Gerade durch den Koordinatennullpunkt?

  4. Die Gerade gg geht durch den Punkt A(−2∣3∣4)A(-2\vert 3\vert 4) und hat die Richtung

    v⃗=(21−2)\vec{v}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -2 \end{array}\right)

    Wo schneidet die Gerade die xy-Ebene? Berechne die Koordinaten.

Solution
  1. v⃗=UV→=(4011)\vec v = \overrightarrow{UV} = \left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 11 \end{array}\right)
  2. Es gilt:
    1. v⃗=(100)\vec v = \left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)
    2. v⃗=(001)\vec v = \left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)
    3. v⃗=(010)\vec v = \left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)
  3. Wir haben:
    1. Zwei Methoden
      1. Methode 1: (Kollinearität) Überprüfe, ob m⃗∥QU→\vec{m} \parallel \overrightarrow{QU}, daher ob es einen Skalar cc gibt mit QU→=c⋅m⃗\overrightarrow{QU}=c\cdot \vec{m} (siehe Skizze unten) QU→=(9−1−4−211−(−1))=(8−612)\overrightarrow{QU}=\left(\begin{array}{r} 9-1\\ -4-2\\ 11-(-1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 8\\ -6\\ 12 \end{array}\right) und dies ist in der Tat kollinear mit m⃗\vec m (Streckungsfaktor c=4c=4 oder 1/41/4). Also ist UU auf der Linie!
      2. Methode 2: (Geradengleichung) Es muss ein cc geben mit: U⃗=Q⃗+c⋅m⃗\vec U = \vec Q+c\cdot \vec{m} Oder mit den Komponenten geschrieben: (9−411)=(12−1)+c⋅(2−1.53)=(1+2c2−1.5c−1+3c)\left(\begin{array}{r} 9\\ -4\\ 11\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -1 \end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ -1.5\\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 1+2c\\ 2-1.5c\\ -1+3c \end{array}\right) Wir erhalten somit die drei Gleichungen 9=1+2c−4=2−1.5c11=−1+3c\begin{array}{rll} 9 &=& 1+2c\\ -4 &=& 2 -1.5c\\ 11 &=& -1+3c \end{array} Wir müssen nun testen, ob ein cc existiert welches alle drei Gleichung erfüllt. Und in der Tat, dies ist für c=4c=4 der Fall.
    2. Überprüfe, ob O(0∣0∣0)O(0\vert 0\vert 0) auf gg liegt. Wir können wiederum testen, ob also m⃗∥QO→\vec{m} \parallel \overrightarrow{QO}, oder ob es ein cc gibt, welche die Geradengleichung O⃗=Q⃗+c⋅m⃗\vec O=\vec Q+c\cdot \vec{m} erfüllt. Dies ist nicht der Fall, somit geht die Gerade nicht durch den Nullpunkt.
  4. Wir bezeichnen den Schnittpunkt zwischen gg und der xyxy-Ebene mit SS (siehe Skizze unten). Da SS der Schnittpunkt ist, liegt er sowohl in der xyxy-Ebene, wie auch auf gg. Wir kennen die Koordinaten SxS_x und SyS_y nicht, aber da SS auf der xy-Ebene liegt, gilt Sz=0S_z=0. Wir haben also S(Sx∣Sy∣0)S(S_x\vert S_y\vert 0) Zwei Methoden, um weiter zu gehen:
    1. Methode 1 (Kollinearität): Da SS auf gg liegt muss gelten v⃗∥AS→\vec{v} \parallel \overrightarrow{AS} und somit gibt es einen Streckungsfaktor cc mit AS→=c⋅v⃗\overrightarrow{AS}=c\cdot \vec{v} Mit AS→=(Sx+2Sy−30−4)\overrightarrow{AS}=\left(\begin{array}{r} S_x+2\\ S_y-3\\ 0-4 \end{array}\right) folgt (Sx+2Sy−30−4)=(2cc−2c)→Sx=2c−2→Sy=c+3→−4=−2c\left(\begin{array}{r} S_x+2\\ S_y-3\\ 0-4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 2c\\ c\\ -2c \end{array}\right) \begin{array}{l} \rightarrow S_x=2c-2 \\ \rightarrow S_y=c+3 \\ \rightarrow -4=-2c\end{array}
    2. Methode 2 (Geradengleichung): Da SS auf gg liegt muss für ein cc gelten (SxSy0)=(−2+2c3+c4−2c)\left(\begin{array}{r} S_x\\ S_y\\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} -2+2c\\ 3+c\\ 4-2c \end{array}\right) und somit Sx=−2+2cSy=3+c0=4−2c\begin{array}{lll} S_x &=& -2+2c\\ S_y &=& 3+c\\ 0 &=& 4-2c \end{array} Mit beiden Methoden folgt c=2c=2 (e.g. siehe jeweils die dritte Gleichung). Also ist Sx=2⋅2−2=2S_x=2\cdot 2-2=2, and Sy=2+3=5S_y=2+3=5. Der Schnittpunkt hat somit die Koordinaten S(2∣5∣0)S(2\vert 5\vert 0).