Die Fläche unter der Kurve

In der Differentialrechnung war die Ausgangsfrage, wie man die Steigung einer Tangente an eine Kurve findet. Diese "Steigung" hat viele verschiedene Interpretationen (Geschwindigkeit, Beschleunigung), je nach Kontext und Problemstellung. Das Gleiche wird bei der Integralrechnung der Fall sein. Wir beginnen mit der Frage, wie man die Fläche unter einer Kurve berechnet, und wir werden später sehen, dass es viele verschiedene Interpretationen dieser "Fläche" gibt.

Eine weitere Parallele zwischen Differentialrechnung und Integralrechnung betrifft die Technik. In der Differentialrechnung haben wir zunächst die Steigung der Tangente gefunden, indem wir die Tangente durch Sekanten approximiert haben. Das war schwierig und mit vielen Rechenschritten verbunden. Erst später fanden wir Abkürzungen in Form von Differentialregeln zur Berechnung der Tangentensteigung.

Um die Fläche unter einer Kurve zu finden, müssen wir das zunächst ebenfalls auf die harte Tour machen. Erst später werden wir Abkürzungen in Form von Integrationsregeln kennenlernen.

Also, fangen wir an, Flächen zu berechnen. Wir wissen bereits, wie man den Flächeninhalt von geometrischen Objekten wie Rechtecken und Dreiecken findet. Diese Flächen sind einfach zu finden, weil ihre Grenzen gerade sind. In der Tat ist der Kreis das einzige geometrische Objekt mit gekrümmten Rändern, dessen Fläche wir bisher berechnen können.

Um zu verstehen, wie man die Fläche mit gekrümmten Rändern berechnet, müssen wir zunächst einen Weg finden, diesen gekrümmten Rand zu beschreiben. Und der einfachste Weg, dies zu tun, ist durch die Verwendung des Graphen einer Funktion, wie in der Abbildung unten gezeigt:

Der Graph der Funktion (in grün dargestellt) hat die Funktionsgleichung

Natürlich können wir auch jede andere Funktion nehmen, aber bleiben wir vorerst bei dieser. Wir wollen den Flächeninhalt des schattierten Bereichs finden, also des Bereichs, der vom Graphen von $f$, der $x$-Achse und den senkrechten Linien bei $x=a$ und $x=b$ eingeschlossen wird. Hier haben wir $a=0.1$ und $b=1.5$ verwendet.

Für eine Reihe von Funktionen können wir bereits die Fläche darunter finden. Siehe dazu die folgende Übung.

Exercise 1

Bestimme die Fläche unter dem Graphen von $f$ zwischen $a$ und $b$:

1. $f(x)=3$ für alle $x$ (konstante Funktion), für $a=0.5$ und $b=4$.

2. $f(x)=0.5x+1$, für $a=-1$ und $b=3$.

3. $f(x)=\sqrt{1-x^2}$, für $a=-1$ und $b=1$.

Solution

1. Der Bereich ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $3.5$ und $3$. Der Flächeninhalt ist $A=3\cdot 3.5=\underline{10.5}$.

2. Der Bereich ist ein Trapez, d. h. ein Dreieck mit abgeschnittener Spitze (die Spitze ist links). Berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Spitze und subtrahieren davon den Flächeninhalt der abgeschnittenen Spitze

   $$A=A_{mit\, Spitze}-A_{Spitze}$$

   Das Dreieck mit der Spitze hat die Höhe $5$ und die Basis

   $$f(3)=0.5\cdot 3+1=2.5$$

   damit ist sein Flächeninhalt

   $$A_{mit\, Spitze}=2.5\cdot 2.5=6.25$$

   Das Dreieck, das die Spitze bildet, hat die Höhe $1$ und die Basis

   $$f(-1)=0.5\cdot (-1)+1=0.5$$

   Damit ist sein Flächeninhalt

   $$A_{Spitze}=0.5\cdot 0.5=0.25$$

   Der Flächeninhalt des Trapezes ist also

   $$A=6.25-0.25=\underline{6}$$

3. Der Graph bildet die obere Hälfte eines Kreises mit dem Radius $r=1$, denn aus $y=\sqrt{1-x^2}$ folgt $y^2=1-x^2$ und somit $x^2+y^2=1$, was bedeutet, dass der Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt mit den Koordinaten $(x\vert y)$ immer die Länge $1$ hat. Die schraffierte Fläche ist also

   $$A=\frac{r^2\pi}{2}=\underline{\frac{\pi}{2}}$$