Sinus- und Kosinussatz für allgemeine Dreiecke

Können Sinus, Kosinus und Tangens auch auf allgemeine Dreiecke angewendet werden? Ja, aber die Formeln sind komplizierter, wie wir sehen werden.

Betrachte ein allgemeines Dreieck, zum Beispiel das unten stehende. Beachte, dass wir Seiten und Winkel so bezeichnet haben, dass Seite aa gegenüber dem Winkel α\alpha liegt, Seite bb gegenüber β\beta liegt und Seite cc gegenüber dem Winkel γ\gamma liegt. Dies ist wichtig, damit die unten stehenden Formeln funktionieren.

Theorem 1: Der Sinussatz
sin⁡(α)a=sin⁡(β)b=sin⁡(γ)c\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{\sin(\gamma)}{c}
Theorem 2: Der Kosinussatz
a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡(α)a^2=b^2+c^2-2bc \cdot\cos(\alpha)b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡(β)b^2=a^2+c^2-2ac \cdot\cos(\beta)c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡(γ)c^2=a^2+b^2-2ab \cdot\cos(\gamma)
Example 1

Bestimme die Seitenlänge cc und die Winkel α\alpha und β\beta im unten stehenden Dreieck.

Solution

Zuerst cc: Mit dem Kosinussatz erhalten wir

c2=52+72−2⋅5⋅7⋅cos⁡(130∘)=74−70⋅cos⁡(130∘)=118.99\begin{array}{lll} c^2&=&5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos(130^\circ)\\ & = & 74-70\cdot \cos(130^\circ)\\ & = & 118.99\\ \end{array}

Somit gilt c=10.9‾c=\underline{10.9}. Um die Winkel zu bestimmen, können wir den Sinussatz anwenden:

sin⁡(130∘)10.9=sin⁡(α)7\frac{\sin(130^\circ)}{10.9}=\frac{\sin(\alpha)}{7}

Daraus folgt

sin⁡(α)=7⋅sin⁡(130∘)10.9=0.492\sin(\alpha)=7\cdot \frac{\sin(130^\circ)}{10.9} = 0.492

und somit

α=arcsin⁡(0.492)=29.47∘‾\alpha = \arcsin(0.492)=\underline{29.47^\circ}

Schliesslich ergibt sich

β=180∘−130∘−29.47∘=20.53∘‾\beta = 180^\circ-130^\circ-29.47^\circ=\underline{20.53^\circ}

Man kann sich den Kosinussatz als eine Art verallgemeinerten Pythagoras vorstellen, bei dem ein "Korrekturterm" subtrahiert werden muss, da wir es nicht mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun haben. Tatsächlich erhalten wir, wenn zum Beispiel α=90∘\alpha=90^\circ ist, tatsächlich den Satz des Pythagoras:

a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡(90∘)⏟=0=b2+c2\begin{array}{lll} a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \underbrace{\cos(90^\circ)}_{=0}\\ &=&b^2+c^2 \end{array}

Es ist wichtig zu erkennen, dass wir diese Gesetze nicht wirklich benötigen, da wir das allgemeine Dreieck immer in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilen könnten, wie wir es bereits in den vorherigen Abschnitten mehrmals gemacht haben. Die Regeln bieten jedoch einige Abkürzungen, und Berechnungen sind schneller. Insbesondere die Kosinusregel werden wir später wieder bei den Vektoren antreffen.

Exercise 1
A1

Betrachte die allgemeinen Dreiecke im Bild unten. Bestimme die fehlenden Winkel und Seitenlängen mithilfe von Sinus- und Kosinussatz. Du musst möglicherweise ausprobieren, welcher dieser beiden Sätze für jedes Problem besser funktioniert.

A2*

Beweise den Sinussatz, indem du das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilst.

A3*

Beweise den Kosinussatz, indem du das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilst.

Solution