Geometrische Transformationen in der Ebene

Betrachte die Abbildung unten. Jedes Koordinatensystem stellt eine geometrische Transformation des Punktes $A$ dar. Der resultierende Punkt wird mit $A^\prime$ bezeichnet.

Translationen oder Verschiebungen: (a) und (b)

Verschieben nach oben um $\Delta y$ . Natürlich ist auch eine Verschiebung nach unten möglich.
Verschieben nach rechts um $\Delta x$ . Wir können auch nach links verschieben.

Streckungen: (c ) und (d)

Strecken um den Faktor $c$ entlang der $y$ -Achse.
Strecken um den Faktor $c$ entlang der $x$ -Achse.

Spiegelungen: (e)-(h)

Spiegelung an der $x$ -Achse
Spiegelung an der $y$ -Achse
Spiegelung am Ursprung
Spiegelung an der Diagonalen $y=x$

Exercise 1

Nehmen wir die folgenden Koordinaten für den Punkt $A$ an:

A(1|2)

Bestimme die Koordinaten des transformierten Punktes $A^\prime$ , wenn wir die folgende Transformation anwenden:

Verschieben nach oben um $0.5$
Verschieben nach unten um $2$
Verschieben nach links um $3$
Verschieben nach rechts um $0.8$
Strecken entlang der $x$ -Achse um den Faktor $3$
Strecken entlang der $y$ -Achse um den Faktor $0.2$
Spiegelung an der $x$ -Achse
Spiegelung an der $y$ -Achse
Spiegelung am Ursprung
Spiegelung an der Diagonalen $y=x$

Solution

Verschieben nach oben um $0.5$ : $A^\prime(1|2.5)$
Verschieben nach unten um $2$ : $A^\prime(1|0)$
Verschieben nach links um $3$ : $A^\prime(-2|2)$
Verschieben nach rechts um $0.8$ : $A^\prime(1.8|2)$
Strecken entlang der $x$ -Achse um den Faktor $3$ : $A^\prime(3|2)$
Strecken entlang der $y$ -Achse um den Faktor $0.2$ : $A^\prime(1|0.4)$
Spiegelung an der $x$ -Achse: $A^\prime(1|-2)$
Spiegelung an der $y$ -Achse: $A^\prime(-1|2)$
Spiegelung am Ursprung: $A^\prime(-1|-2)$
Spiegelung an der Diagonalen: $A^\prime(2|1)$

Exercise 2

Drücke eine Spiegelung an der $x$ -Achse durch eine Streckung aus.
Drücke eine Spiegelung an der $y$ -Achse durch eine Streckung aus.
Drücke die Spiegelung am Ursprung mithilfe anderer Spiegelungen aus.

Solution

Streckung entlang der $y$ -Achse um den Faktor $-1$ .
Streckung entlang der $x$ -Achse um den Faktor $-1$ .
Spiegelung an der $x$ -Achse, gefolgt von einer Spiegelung an der $y$ -Achse (oder zuerst Spiegelung an der $y$ -Achse, dann an der $x$ -Achse).

Theorem 1

Im Allgemeinen ändern sich die Koordinaten eines Punktes $A(x|y)$ wie folgt:

Verschiebung entlang der $y$ -Achse um $\Delta y$ : $A^\prime(x|y\pm \Delta y)$ . Die Verschiebung erfolgt nach unten für $y-\Delta y$ und nach oben für $y+\Delta y$ .
Verschiebung entlang der $x$ -Achse um $\Delta x$ : $A^\prime(x\pm \Delta x|y)$ . Die Verschiebung erfolgt nach links für $x-\Delta x$ und nach rechts für $x+\Delta x$ .
Streckung in Richtung der $x$ -Achse um den Faktor $c$ : $A^\prime(cx|y)$
Streckung in Richtung der $y$ -Achse um den Faktor $c$ : $A^\prime(x|cy)$
Spiegelung an der $x$ -Achse: $A^\prime(x|-y)$
Spiegelung an der $y$ -Achse: $A^\prime(-x|y)$
Spiegelung am Ursprung: $A^\prime(-x|-y)$
Spiegelung an der Diagonalen $y=x$ : $A^\prime(y|x)$

Die Transformation einer Kurve erfolgt durch die Transformation jedes Punktes auf dieser Kurve.

Exercise 3

Kopiere die Kurve $f$ unten in ein Koordinatensystem, wende die folgenden Transformationen auf sie an und zeichne die resultierende Kurve $f^\prime$ .

Verschiebe $f$ um $2$ nach rechts und strecke das Ergebnis um den Faktor $0.5$ in Richtung der $y$ -Achse.
Spiegele $f$ an der $x$ -Achse, verschiebe das Ergebnis um $1$ nach oben und strecke es dann um den Faktor $1.5$ in Richtung der $x$ -Achse.

Solution