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Exercise 1
  1. Ein Vermessungsteam im Tal versucht, die Höhe eines Hügels zu bestimmen. Sie peilen die Spitze des Hügels an und stellen fest, dass der Höhenwinkel 23∘27′23^\circ 27' beträgt. Sie bewegen sich eine bestimmte Strecke auf ebener Tal Fläche direkt vom Hügel weg und nehmen eine zweite Peilung vor. Von diesem Punkt aus beträgt der Höhenwinkel 19∘46′19^\circ 46'. Bestimme die Höhe des Hügels, auf Meter gerundet. Hinweis: Mit 23∘27′23^\circ 27' meinen wir den Winkel 23∘23^\circ und 2727 Minuten, wobei ein Grad 60 Minuten hat. Wir können diesen Winkel mit einer Dezimalzahl ausdrücken. Zum Beispiel bedeutet 23.5∘23.5^\circ dann 23∘23^\circ und 3030 Minuten. Somit haben wir 30′∼0.51′∼0.53027′∼0.530⋅27=0.45\begin{array}{rll} 30^\prime &\sim& 0.5\\[3pt] 1^\prime &\sim& \frac{0.5}{30}\\[3pt] 27^\prime &\sim& \frac{0.5}{30}\cdot 27=0.45 \end{array} Daher entspricht 23∘27′23^\circ 27^\prime 23.45∘23.45^\circ.
  2. Ein Dreieck wird von zwei Geraden f(x)=−x+6f(x)=-x+6 und g(x)=2xg(x)=2x sowie der x-Achse gebildet. Bestimme die Winkel und den Flächeninhalt des Dreiecks.
  3. Ein Rechteck hat Seitenlängen a=77a = 77 und b=30b = 30. Bestimme den Schnittwinkel zwischen den beiden Diagonalen.
  4. Ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis c=12c = 12 hat einen Winkel von γ=120∘\gamma = 120^\circ an der Spitze (am Scheitel).
    1. Auf die Basis cc werden zwei Punkte so platziert, dass die Basis in drei gleiche Teile geteilt wird, und von diesen beiden Punkten werden zwei Linien zum Scheitel gezeichnet. Bestimme die drei Winkel am Scheitel.
    2. Der Winkel γ\gamma am Scheitel wird in drei gleiche Teile geteilt, wodurch drei Dreiecke entstehen. Bestimme die Basen dieser Dreiecke.
  5. Betrachte die beiden Geraden g(x)=53x+2g(x)=\frac{5}{3}x+2 und h(x)=−0.5x−3h(x)=-0.5x-3. Bestimme den Schnittwinkel zwischen
    1. gg und der x-Achse.
    2. gg und hh.
  6. Betrachte eine Diagonale eines Würfels. Bestimme den Winkel zwischen dieser Diagonale und
    1. der Seite des Würfels.
    2. der anderen Diagonale.
  7. Entlang der Oberfläche der Erde beträgt die Entfernung zwischen Hamburg und München 610km610 km. Was ist die maximale Tiefe bezüglich der Erdoberfläche eines geraden Tunnels, der die beiden Städte verbindet? Annahme: Die Erde ist eine perfekte Kugel mit einem Radius von 6370km6370 km.
  8. Zwei Gebäude, ein Haus und ein Turm (siehe Abbildung unten). Aus einem Fenster im Haus (Höhe a=7ma=7m) beträgt der Höhenwinkel zur Spitze des Turms β=17∘\beta=17^\circ. Der Tiefenwinkel vom Fenster zur Basis des Turms beträgt α=11∘\alpha=11^\circ. Bestimme die Entfernung ee zum Turm und die Höhe hh des Turms.
  9. Vereinfache:

    1. 1−cos⁡(α)⋅1+cos⁡(α)\sqrt{1-\cos(\alpha)}\cdot \sqrt{1+\cos(\alpha)}

    2. sin⁡(α)3+sin⁡(α)⋅cos⁡(α)2\sin(\alpha)^3+\sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha)^2

    3. 1cos⁡(α)⋅tan⁡(α)\frac{1}{\cos(\alpha)\cdot\tan(\alpha)}

Solution
  1. 523.73m523.73 m
  2. α=arctan⁡(2)=63.43...∘\alpha=\arctan(2)=63.43...^\circ, β=45∘\beta=45^\circ, γ=180∘−α−β=71.57...∘\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=71.57...^\circ. Flächeninhalt A=6⋅4/2=12A=6\cdot 4/2=12.
  3. 42.57∘42.57^\circ
  4. Wir haben
    1. 30∘,60∘,30∘30^\circ, 60^\circ, 30^\circ
    2. 4.739,2.522,4.7394.739, 2.522, 4.739
  5. Es gilt
    1. 59.03∘59.03^\circ
    2. 85.60∘85.60^\circ
  6. Es gilt
    1. 54.7∘54.7^\circ
    2. 70.5∘70.5^\circ
  7. ≈7.3km\approx 7.3 km
  8. e=36.01,h=18.01e = 36.01, h = 18.01
  9. Es gilt
    1. sin⁡(α)\sin(\alpha)
    2. sin⁡(α)\sin(\alpha)
    3. 1sin⁡(α)\frac{1}{\sin(\alpha)}