Polynome

Eine quadratischen Funktion

f(x)=ax^2+bx+c

wird auch Polynom zweiten Grades genannt. Polynome mit grösseren Graden können gebildet werden, indem Terme der Form $x^3$ , $x^4$ und so weiter hinzugefügt werden. Der Term mit der grössten Potenz bestimmt den Grad des Polynoms.

Example 1

$f(x)=3x^8+4x^3-7x+1$ ist ein Polynom vom Grad $8$
$g(x)=-6.1 x^4-x^3+x^2-1$ ist ein Polynom vom Grad $4$
$h(x)=\frac{2}{7} x+1$ ist ein Polynom vom Grad $1$ (eine lineare Funktion)
$k(x)=3$ für alle $x$ ist ein Polynom vom Grad $0$ (eine konstante Funktion). Wieso vom Grad $0$ ? Weil wir schreiben können $k(x)=3x^0$ , da $x^0=1$ .
$l(x)=x^{10}$ ist ein Polynom vom Grad $10$ .
$l(x)=x^{10}+x$ ist immer noch ein Polynom vom Grad $10$ .

Die Zahlen vor den $x$ -Termen werden (wie immer) Koeffizienten genannt. Sie können alle Werte annehmen. Ganz allgemein hat ein Polynom vom Grad $n$ (wobei $n$ den Wert $n=0,1,2,...$ haben kann) die folgenden Form:

\boxed{f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2 x^2+a_1 x^1 + a_0 x^0}

wobei für den Koeffizienten $a_n \neq 0$ gelten muss, da sonst der Grad des Polynoms nicht $n$ ist. Noch ein paar Bemerkungen:

Wir schreiben die Polynome meistens sortiert nach absteigender Potenz auf. Also eher so $f(x)=3x^4+2x^3+1$ als so $f(x)=2x^3+1+3x^4$
Alle im Polynom vorkommenden $x$ -Terme müssen die Form $x^0, x^1, x^2, x^3, ...$ besitzen. Kommen mehrere solche $x$ -Terme vor, werden sie zusammengefasst. Zum Beispiel: $f(x)=3x^4+2x^2+x+3x^2+1+5-4x$ wird zusammengefasst zu $f(x)=3x^4+5x^2-3x+6$

Kommen $x$ -Terme mit anderen Potenzen vor, etwa

f(x)=x^4+2\sqrt{x}

oder

f(x)=x^4-\frac{1}{x^2}+1

so sind dies keine Polynome. Oft ist es aber möglich, mit Umformen eine Funktion in ein Polynom zu verwandeln.

Example 2

$f(x)=(x-1)^2=x^2-2x+1$
$g(x)=4\sqrt{x}\cdot x^{1.5}=4x^2$

Exercise 1

Können die folgenden Funktionen in ein Polynom umgewandelt werden? Falls ja, was ist der Grad? Benutze die richtige Schreibweise (sortiert, gleiche Terme zusammengefasst, siehe Bemerkungen oben).

$f(x)=x^6 +3 x^{1/2} -2$
$g(x)=(x-1) (x+1)$
$h(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^{-7/2}}$
$i(x)=2x^2 (5x^2+x^3-2)$
$j(x)=(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})$
$k(x)=\frac{4x^3-2x^7+0.5x^3}{2x^2}$
$l(x)=(x-2)(x+1)(x+2)$
$m(x)=-3x^4 -2x +1 +3x^4 -x^2$

Solution

kein Polynom.
$g(x)=x^2-1$ , Polynom vom Grad $2$
$h(x)=x^{1/2} x^{7/2} = x^4$ Polynom vom Grad $4$
$i(x)=2x^5+10x^4-4x^2$ Polynom vom Grad $5$
$j(x)=-x+1$ , Polynom vom Grad $1$
$k(x)=2x-x^5+0.25x=-x^5+2.25x$ , Polynom vom Grad $5$
$l(x)=(x-2)(x^2+3x+2)=x^3+3x^2+2x-2x^2-6x-4=x^3+x^2-4x-4$ Polynom vom Grad $3$
$m(x)=-x^2-2x+1$ Polynom vom Grad $2$ .

Der Graph von Polynomen kann oft mit eine Landschaft verglichen werden, mit Hügeln und Tälern (siehe Bild unten).

Den Graphen einiger Polynome kennen wir bereits:

konstante Funktion, z. B. $f(x)=3$ (horizontale Linie)
lineare Funktion, z. B. $f(x)=3x+1$ (eine Gerade)
quadratische Funktion, zBs. $f(x)=2x^2+3x-1$ ( $\cap$ oder $\cup$ form, eine Parabel).

Mit Ausnahme der konstanten Funktion streben die Graphen von Polynomen immer gegen $+\infty$ (nach oben) oder gegen $-\infty$ (nach unten). Dies ist im Bild oben mit Pfeilen an den Graphen angedeutet. Sie bilden also nicht eine Landschaft von unendlich vielen Hügeln und Täler, wie etwa bei der Sinusfunktion. Laufen wir auf der $x$ -Achse genügend weit nach rechts oder nach links, so hören die Hügel und Täler irgendwann auf, und der Graph strebt nur noch nach oben, oder nach unten.

Ob der Graph eines Polynoms schlussendlich nach oben oder nach unten strebt lässt sich am Term mit der grössten Potenz (dem Grad) ablesen: für $x$ -Werte weit weg vom Nullpunkt (nach links oder nach rechts) dominiert nämlich dieser Term, und alle anderen Termen können vernachlässigt werden.

Um dies zu verdeutlichen, betrachten wir die Funktion

f(x)=3x^2+5x-1

Für grosse $x$ -Werte (etwa $x=1000$ ) oder für grosse negative $x$ -Werte (etwa $x=-1000$ ) gilt

f(x)\approx 3x^2

das heisst, alle anderen Terme können weggelassen werden. In der Tat haben wir

f(1000)=3\cdot 1000^2+5\cdot 1000-1=3\,004\,999

und

3\cdot 1000^2 = 3\,000\,000

Die Werte sind etwa gleich gross. Anhand der Funktion $3x^2$ lässt sich leicht das Verhalten des Graphen ablesen, daher ob er nach oben oder nach unten strebt (nach oben). Allgemein haben wir für grosse positive oder negative $x$ -Werte, dass gilt:

\boxed{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2 x^2+a_1 x^1+a_0 \approx a_n x^n}

Exercise 2

Die folgenden Aufgaben sind ohne TR zu lösen.

Bestimme, ob für die folgenden Polynome der Graph für grosse positive und negative $x$ -Werte nach oben oder nach unten strebt.
1. $g(x)=-3x^5+2x^4-1$
2. $g(x)=2(1-x)(x+1)$
3. $g(x)=-0.1(x-1)^3+1$
Ist die Potenzfunktion $f(x)=2(x-1)^{10}+1$ ein Polynom? Falls ja bestimme den Grad, und das Verhalten des Graphen für grosse positive und negative $x$ -Werte.

Solution

Wir haben
1. $g(x)=-3x^5+2x^4-1\approx -3x^5$ , also für grosse positive $x$ -Werte geht der Graph nach unten, und für grosse negative $x$ -Werte nach oben.
2. Wir haben $\begin{array}{lll} g(x) &= &2(1-x)(x+1)\\ &=&2(x+1-x^2-x)=-2x^2+2 \\ &\approx& -2x^2 \end{array}$ also für grosse positive $x$ -Werte geht der Graph nach unten, und für grosse negative $x$ -Werte ebenfalls.
3. Es ist $\begin{array}{lll} g(x)&=&-0.1(x-1)^3+1\\ &=&-0.1(x-1)(x-1)(x-1)+1\\ &=&-0.1(x-1)(x^2-2x+1)+1\\ &=&-0.1(x^3-2x^2+x-x^2+2x-1)+1\\ &=&-0.1 x^3+0.3 x^2-0.3 x+0.1+1\\ &\approx& -0.1\cdot x^3 \end{array}$ also für grosse positive $x$ -Werte geht der Graph nach unten, und für grosse negative $x$ -Werte nach oben.
Es ist $\begin{array}{lll} f(x)&=& 2(x-1)^{10}+1\\ &=& 2\cdot \underbrace{(x-1)\cdot (x-1)\cdot (x-1)\cdot ...\cdot(x-1)}_{10 \text{ Faktoren}}+1\\[2em] &=& 2x^{10}+Ax^9+Bx^8+... \end{array}$ Wobei die Koeffizienten $A, B, ...$ durch Ausmultiplizieren oder mit Hilfe des Pascal'schen Dreiecks bestimmt werden können. Es folgt somit, dass $f$ ein Polynom vom Grad $10$ ist. Wegen $f(x)\approx 2x^{10}$ folgt, dass der Graph sowohl für für grosse positive $x$ -Werte wie auch für grosse negative $x$ -Werte nach oben strebt.