Der Graph von Potenzfunktionen

Wird die quadratische Funktion in Scheitelpunktform dargestellt,

f(x)=a(x-u)^2+v

so lässt sich an den Parametern $a$ , $u$ and $v$ ablesen, wie die Referenzfunktion $r(x)=x^2$ transformiert werden muss, um den Graphen von $f$ zu bekommen. Dasselbe gilt auch für allgemeine Potenzfunktionen:

f(x)=a(x-u)^n+v

Es gilt also:

Strecke den Graphen der Referenzfunktion $r(x)=x^n$ um $a$ in $y$ -Richtung: $x^2 \rightarrow a x^n$
Verschiebe dann den Graphen nach links ( $u<0$ ) oder nach rechts ( $u>0$ ) um $u$ Einheiten: $a x^n \rightarrow a(x-u)^n$
Verschieben dann den Graphen nach oben ( $v>0$ ) oder unten ( $v<0$ ) um $B$ Einheiten: $a(x-u)^n \rightarrow a(x-u)^n+v$

Das Bild unten zeigt eine Übersicht. Die "Scheitelpunkte" kommen bei $S(u\vert v)$ zu liegen. Die Bezeichnung von $S$ als Scheitelpunkt ist aber nur für $n=\text{gerade}$ richtig, also bei den $\cup-$ oder $\cap-$ förmigen Graphen.

Bei den Hyperbeln ( $n<0$ ), zum Beispiel, liegt $S$ nicht auf dem Graphen, sondern ist der Schnittpunkt der beiden Asymptoten. Asymptoten sind die beiden horizontalen und vertikalen Geraden, an die sich der Graph annähert, aber nie berührt. Bei der Referenzfunktion $r$ sind dies die $x$ - und $y$ -Achse, bei $f$ einfach die verschobenen $x$ - und $y$ -Achsen.

Ganz allgemein lässt sich $S$ einfach als der verschobene Koordinatennullpunkt definieren.

Example 1

Skizziere den Graphen der Funktion

f(x)=2(x-1)^3-1

indem der Referenzgraph transformiert wird. Bestimme ebenfalls die $x$ - und $y$ -Achsenabschnitte.

Solution

Es ist $a=2, u=1, v=-1$ , also Streckung der Referenzfunktion (schwarze Kurve) $r(x)=x^3$ um Faktor $2$ in $y$ -Richtung, dann Verschiebung um $1$ nach rechts und um $1$ nach unten.

$y$ -Achsenabschnitt: $y=f(0)=2(-1)^3-1=\underline{-3}$ $x$ -Achsenabschnitt: Finde $x$ mit

\begin{array}{rlll} 2(x-1)^3-1 &=& 0 &\quad\vert +1, :2\\ (x-1)^3 &= &0.5 &\quad\vert (.)^{1/3}\\ x-1 &=& 0.5^{1/3} &\quad\vert +1\\ x &=& 0.5^{1/3}+1 & \\ \end{array}

Es ist also $x=\underline{1.793...}$ .

Example 2

Skizziere den Graphen der Funktion

f(x)=\frac{3}{x+2}+1

indem der Referenzgraph transformiert wird. Bestimme ebenfalls die $x$ - und $y$ -Achsenabschnitte.

Solution

Wegen

\begin{array}{lll} f(x) &= &\frac{3}{x+2}+1\\ &=& 3\cdot \frac{1}{x+2}+1\\ &=& 3\cdot (x+2)^{-1}+1\\ \end{array}

folgt $A=3, v=-2, B=1$ , also Streckung der Referenzfunktion (grüne Kurve) $r(x)=\frac{1}{x}$ um Faktor $3$ in $y$ -Richtung, dann Verschiebung um $2$ nach links und um $1$ nach oben.

$y$ -Achsenabschnitt: $y=f(0)=\frac{3}{x+2}+1=\underline{2.5}$ $x$ -Achsenabschnitt: Finde $x$ mit

\begin{array}{rlll} \frac{3}{x+2}+1 &=& 0 &\quad\vert -1, \cdot(x+2)\\ 3 &= &-(x+2) &\\ 3 &=& -x-2 &\\ x &=& \underline{-5} & \\ \end{array}

Exercise 1

F1

Skizziere den Graph der unten stehenden Potenzfunktion durch Transformation der Referenzfunktion. Bestimme mit Hilfe der Skizze, ob der Graph $x$ - und $y$ -Achsenabschnitte besitzt. Falls ja, bestimme diese rechnerisch.

$f(x)=\sqrt{x-1}+2$
$g(x)=-3(x+5)^4$
$h(x)=\frac{2}{x+1}+1$
$k(x)=3\cdot \sqrt[3]{8x-1}-4$

F2

Bestimme die Funktionsgleichung der beiden unten stehenden Potenzfunktionen. Die Referenzfunktionen sind $\sqrt{x}$ und $\frac{1}{x^2}$ .

F3

Finde den Schnittpunkt zwischen den Graphen der Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}$ .

Solution

A1

Funktion $f$ : $f(x)=1\cdot (x-1)^{1/2}+2$ , also $a=1, u=1, v=2$ . Die Referenzfunktion $r(x)=\sqrt{x}$ wird also nicht gestreckt, und um $1$ nach rechts und $2$ nach oben verschoben. Aus der Skizze wird klar, dass $f$ weder einen $x$ - noch einen $y$ -Achsenabschnitt besitzt.

Funktion $g$ : $g(x)=-3(x+5)^4+0$ , also $a=-3, u=-5, v=0$ . Die Referenzfunktion $r(x)=x^4$ wird also an der $x$ -Achse gespiegelt, um den Faktor $3$ in $y$ -Richtung gestreckt, und dann um $5$ nach links verschoben. y-Achsenabschnitt: $g(0)=-3\cdot 5^4=\underline{-1875}$ x-Achsenabschnitt: $-3(x+5)^4=0$ , also $x+5=0$ , also $x=\underline{-5}$

Funktion $h$ : $h(x)=2\cdot (x+1)^{-1}+1$ , also $a=2, u=-1, v=1$ . Der Graph der Referenzfunktion $r(x)=\frac{1}{x}$ wird also in $y$ -Richtung um den Faktor $2$ gestreckt, und dann $1$ nach links und $1$ nach oben verschoben. $y$ -Achsenabschnitt: $h(0)=\underline{3}$ $x$ -Achsenabschnitt:

\begin{array}{llll} 2(x+1)^{-1}+1 &=& 0 & \quad\vert -1, :2\\ (x+1)^{-1}&=& -\frac{1}{2} & \quad\vert (.)^{-1}\\ x+1 &=& \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} &\\ x &=& \underline{-3} & \end{array}

Funktion $k$ : Wegen

\begin{array}{lll} k(x) &=& 3\cdot (8x-1)^{1/3}-4\\ &=& 3\cdot (8(x-\frac{1}{8}))^{1/3}-4\\ &=& 3\cdot 8^{1/3} \cdot (x-\frac{1}{8})^{1/3}-4\\ &=& 6 \cdot (x-\frac{1}{8})^{1/3}-4\\ \end{array}

folgt $A=6, v=\frac{1}{8}, B=-4$ . Der Graph der Referenzfunktion $r(x)= \sqrt[3]{x}$ wird somit in $y$ -Richtung um den Faktor $6$ gestreckt, dann um $1/8$ nach rechts und $4$ nach unten verschoben. $y$ -Achsenabschnitt: $k(0)=3\cdot (-1)^{1/3}-4 =-3-4=\underline{-7}$ . $x$ -Achsenabschnitt:

\begin{array}{llll} 3(8x-1)^{1/3}-4 &=& 0 & \quad\vert +4, :3\\ (8x-1)^{1/3}&=& \frac{4}{3} & \quad\vert (.)^{3}, +1\\ 8x &=& \left(\frac{4}{3}\right)^{3}+1 &\quad\vert :8\\ x &=& \underline{0.421} &\\ \end{array}

A2

Graph $f$ : Der Referenzgraph is $r(x)=\sqrt{x}$ und von Bild sehen wir, dass der Graph $f$ um $2$ nach rechts und $2$ nach unten verschoben wurde. Also gilt

f(x)=a\cdot (x-2)^{1/2}-2

Um $a$ zu bestimmen, brauchen wir den anderen Punkt auf dem Graphen von $f$ , $B(5\vert 1.9)$ . Es muss gelten

\begin{array}{llll} f(5) &=& 1.9 & \\ A\cdot (5-2)^{1/2}-2 &=& 1.9 &\quad\vert +2\\ \sqrt{3} A & = & 3.9 & \quad\vert :\sqrt{3}\\ A &=& 2.25... & \\ \end{array}

Also haben wir $f(x)=\underline{2.25\cdot \sqrt{x-2}-2}$ .

Graph $g$ : Der Referenzgraph ist $r(x)=\frac{1}{x^2}$ und vom Bild sehen wir, dass der Graph $g$ um $1$ nach links und um $4$ nach unten verschoben wurde. Es muss also gelten

g(x)=a(x+1)^{-2}-4

Um $a$ zu bestimmen, brauchen wir noch den Punkt $B(0\vert-3.5)$ , der laut Bild ebenfalls auf dem Graphen von $g$ liegt. Es muss also gelten

\begin{array}{llll} g(0) &=& -3.5 & \\ a\cdot (1)^{-2}-4 &=& -3.5 &\\ a & = & 0.5 & \\ \end{array}

Es gilt also $g(x)=\underline{\frac{0.5}{(x+1)^2}-4}$ .

Dass $a=0.5$ ist, lässt sich auch durch einen Vergleich der Graphen von $r$ und $g$ herausfinden.

A3

Finde $x$ mit $f(x)=g(x)$ , also mit

\begin{array}{llll} x^2 &=& \frac{2}{\sqrt{x}}\\ x^2 \cdot \sqrt{x} &=& 2\\ x^{2.5} &=& 2 & \quad\vert (.)^{1/2.5}=(.)^{2/5}\\ x &=& 2^{2/5}\\ \end{array}

Es ist also $x=\underline{1.32}$ . Die $y$ -Koordinate ist somit

y=f(1.32)=1.74

und der Schnittpunkt hat somit die Koordinaten $\underline{P(1.32\vert 1.74)}$ .