Konstruktion von Polynomen

Wir wollen nun noch betrachten, wie Polynome konstruiert werden können, welche gegebene Nullstellen (oder $x$ -Achsenabschnitte) besitzen müssen.

Betrachte zum Beispiel die folgenden Funktionsgraphen von Polynomen. Beim Polynom links durchkreuzt die $x$ -Achse alle Hügel und Täler. Im Polynom rechts ist dies nicht der Fall.

Für das linke Polynom lässt sich die Funktionsgleichung in der Tat recht einfach finden. Wir brauchen aber dazu alles Nullstellen, und einen weiteren Punkt $A$ . Für das rechte Polynom lässt sich die Funktionsgleichung ebenfalls finden, es ist aber viel komplizierter. Wir brauchen dazu die Koordinaten von $5$ Punkten die auf dem Graphen liegen, und müssen dann ein Gleichungssystem mit $5$ Gleichungen lösen.

Wir diskutieren zuerst den einfacheren Fall links, dann den aufwendigeren Fall rechts. General sind wir daran interessiert, möglichst einfache Polynome zu finden, also Polynome mit möglichst kleinem Grad.

Alle Nullstellen und ein weiterer Punkt sind bekannt

Im vorliegendem Beispiel können die Nullstellen direkt vom Graphen abgelesen werden können:

-1, 0, 1, 3

Es ist recht einfach, eine Funktionsgleichung mit diesen Nullstellen aufzuschreiben: wir multiplizieren einfach Faktoren der Form

(x-x_{intercept})

miteinander. Also im Beispiel oben:

\begin{array}{lll} f(x)&=& a\cdot (x-(-1))\cdot (x-0)\cdot (x-1)\cdot (x-3)\\ &=& a(x+1) x (x-1) (x-3) \end{array}

Wir nehmen auch noch einen Parameter $a$ dazu, den wir später bestimmen werden. Dieser Parameter multipliziert den Output $y$ der Funktion mit $a$ , und streckt den Graphen somit in $y$ -Richtung um den Faktor $a$ . Prüfen wir kurz nach, ob diese Funktion die gewünschten Nullstellen besitzt. In der Tat:

\begin{array}{lll} f(-1) &=& a(0)(-1)(-2)(-4)=0\\ f(0)&=& a(-1)(0)(-1)(-3)=0\\ f(1)&=& a(2)(1)(0)(-2)=0\\ f(3)&=& a(4)(3)(2)(0)=0 \end{array}

Wir müssen aber noch zwei weitere Dinge überprüfen. Erstens, ist diese Funktion ein Polynom? Ja, denn wenn wir es Ausmultiplizieren, bekommen wir, wie leicht nachzuprüfen ist.

Exercise 1

Prüfe durch Ausmultiplizieren nach, dass $f$ ein Polynom ist. Was ist der Grad?

Solution

Es ist ein Polynom vom Grad $4$ , da $4$ Faktoren der Form $(x-x_{intercept})$ multipliziert werden.

\begin {array}{lll} f(x) & = & a(x+1) x (x-1) (x-3)\\ &=& a x (x-3) \underbrace{(x+1) (x-1)}_{x^2-1} \\ &=& a x \underbrace{(x-3) (x^2-1)}_{x^3-3x^2-x+3} \\ &=& a x (x^3-3x^2-x+3)\\ &=& ax^4-3ax^3-ax^2+3ax\\ \end{array}

Zweitens, geht der Graph von $f$ durch den Punkt $A(2\vert -3)$ ? Da kommt jetzt auf den Wert von $a$ an. Wir müssen $a$ so wählen, dass dies der Fall ist. Damit $A$ auf dem Graphen von $f$ liegt, muss gelten

f(2)=-3

a(3)(2)(1)(-1)=-3

-6a=-3 \rightarrow a=0.5

Das gesuchte Polynom hat also die Funktionsgleichung

f(x)=0.5\cdot (x+1)\cdot x \cdot (x-1)\cdot (x-3)

Fassen wir zusammen. Gegeben sei der Graph eines Polynoms $f$ so, dass die $x$ -Achse alle Hügel und Täler durchkreuzt. Ausserdem seien die Nullstellen bekannt

x_1, x_2, ... x_n

und ebenfalls ein weiterer Punkt $A$ auf dem Graphen. Dann ist die Funktionsgleichung von $f$ gegeben durch

\boxed{f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)....(x-x_n)}

wobei $a$ so gewählt werden muss, dass

\boxed{f(A_x)=A_y}

Ausserdem hat das Polynom den Grad $n$ .

Exercise 2

Bestimme die Funktionsgleichungen der unten gezeigten Polynome $f$ and $g$ .

Solution

Funktion $f$ :

f(x)=a(x-(-2))(x-2)(x-3)(x-4)

und wegen

f(1)=1.8 \rightarrow a(3)(-1)(-2)(-3)=-18a =1.8

folgt $a=-0.1$ . Es ist also

f(x)=\underline{-0.1(x+2)(x-2)(x-3)(x-4)}

Funktion $g$ :

g(x)=a(x-0.5)(x-1.5)(x-2)

und wegen

g(0)=-3 \rightarrow a(-0.5)(-1.5)(-2)=-1.5

folgt $a=2$ . Es ist also

g(x)=\underline{2(x-0.5)(x-1.5)(x-2)}

Einen speziellen Fall gibt es noch zu beachten. Was wenn die $x$ -Achse einen Hügel oder ein Tal nicht durchkreuzt, sondern nur den obersten Punkt des Hügels oder den untersten Punkt des Tals berührt? Dann wird es schwieriger. Im einfachsten Fall können wir uns vorstellen, dass der Berührungspunkt einfach aus zwei unglaublich nahe nebeneinander liegende Nullstellen besteht.

Jeder Berührungspunkt $x_b$ gibt dann Anlass zu zwei Faktoren

(x-x_b)^2

Hat ein Polynom zum Beispiel die Nullstellen $-1,2,3,4$ , wobei $2$ ein Berührungspunkt ist, so erhalten wir die Funktionsgleichung

f(x)=a(x+1)(x-2)^2 (x-3)(x-4)

Ist $4$ ebenfalls ein Berührungspunkt, so ergibt sich die Funktionsgleichung

f(x)=a(x+1)(x-2)^2 (x-3)(x-4)^2

Exercise 3

Bestimme die Funktionsgleichung der unten abgebildeten Polynome $f$ and $g$ .

Solution

Funktion $f$ : Da der Graph bei $x_b=2$ einen Berührungspunkt hat, gilt

f(x)=a(x-(-1))(x-2)^2

und wegen

f(3)=-2 \rightarrow a(4)(1)^2=4a=-2

gilt $a=-0.5$ . Es ist somit

f(x)=\underline{-0.5(x+1)(x-2)^2}

Funktion $g$ : Da der Graph bei $x_b=-1$ und $x_b=1$ Berührungspunkte hat, gilt

g(x)=a(x-(-1))^2(x-1)^2

und wegen

g(0)=2 \rightarrow a(1)(-1)^2=a=2

folgt

g(x)=\underline{2(x+1)^2(x-1)^2}

Allgemeine Punkte auf dem Graphen sind bekannt

Wir diskutieren nun den Fall, bei dem der Graph des Polynoms durch Punkte gehen soll, die nicht unbedingt Nullstellen bilden, also nicht auf der $x$ -Achse liegen. Diese Methode könnte aber auch im oben diskutierten Fall angewendet werden, da sie sehr allgemein ist. Dafür aber ist sie viel aufwendiger!

Gegeben seien also $n$ verschiedene Punkte $A_1$ ,..., $A_m$ , und wir möchten ein minimales Polynom finden, das durch diese Punkte gehen soll:

Für zwei Punkte ( $m=2$ ) muss dies eine Gerade sein (hat also Grad $1$ ): $f(x)=ax+b$
Für drei Punkte ( $m=3$ ) muss dies eine quadratische Funktion sein (hat also Grad $2$ ): $f(x)=ax^2+bx+c$
Für vier Punkte ( $m=4$ ) muss dies ein Polynom vom Grad $3$ sein: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Für fünf Punkte ( $m=5$ ) muss dies ein Polynom vom Grad $4$ sein: $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+d x +f$
usw.

Example 1

Finde ein Polynom von minimalen Grad, das durch die folgenden Punkte geht: $A(-3\vert 20), B(-1\vert 0), C(0.5\vert -4.5)$ .

Solution

Es sind drei Punkte gegeben, also können wir ein Polynom vom Grad $2$ verwenden: $f(x)=ax^2+bx+c$ . Da alle Punkte auf dem Graphen von $f$ liegen, muss gelten:

\begin{array}{lllc} f(-3) = 20 &\rightarrow& 9a-3b+c=20 & \text{(I)}\\ f(-1) = 0 &\rightarrow& a-b+c=0 & \text{(II)}\\ f(0.5) = -4.5 &\rightarrow& 0.25a+0.5 b+c=-4.5 & \text{(III)}\\ \end{array}

Wir müssen also ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten lösen. Aus der mittleren Gleichung (II) folgt

a=b-c

and ersetzen wir in den anderen zwei Gleichungen (I, III) $a$ mit $b-c$ , so erhalten wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

\begin{array}{lllc} 9(b-c)-3b+c=20 &\rightarrow& 6b-8c=20 & (i)\\ 0.25(b-c)+0.5b+c=-4.5 &\rightarrow& 0.75b+0.75c=-4.5 & (ii) \end{array}

Aus der unteren Gleichung $(ii)$ folgt

0.75b=-4.5-0.75c

und dividieren wir beide Seiten durch $0.75$ , erhalten

b=-6-c

Ersetzen wir dies in der oberen Gleichung $(i)$ erhalten wir

6(-6-c)-8c=20 \rightarrow -14c=56 \rightarrow c=-4

Wir können nun mit Hilfe von $(i)$ der Wert von $b$ berechnen:

6b+8\cdot 4=20 \rightarrow b=-2

Und mit

a=b-c=-2-(-4)=2

folgt somit

f(x)=\underline{2x^2-2x-4}

Exercise 4

Finde ein Polynom von minimalen Grad, das durch die folgenden Punkte geht: $A(-2\vert -6), B(-1\vert 0), C(0\vert 0), D(2\vert 6)$ .

Solution

Polynom von Grad $3$ , also $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ . Wir müssen also das folgende Gleichungssytem lösen:

\begin{array}{lllc} f(-2) = -6 &\rightarrow& -8a+4b-2c+d = -6 & \\ f(-1) = 0 &\rightarrow& -a+b-c+d = 0 & \\ f(0) = 0 &\rightarrow& d=0 & \\ f(2) = 6 &\rightarrow& 8a+4b+2c+d = 6 & \\ \end{array}

Ersetzen wir $d=0$ in allen Gleichungen, erhalten wir die drei Gleichungen:

\begin{array}{lllc} f(-2) = -6 &\rightarrow& -8a+4b-2c = -6 & \text{(I)}\\ f(-1) = 0 &\rightarrow& -a+b-c = 0 & \text{(II)}\\ f(2) = 6 &\rightarrow& 8a+4b+2c = 6 & \text{(III)}\\ \end{array}

Aus (II) folgt

b=a+c

und ersetzen wir dies in (I, III), erhalten wir die zwei Gleichungen

\begin{array}{lllc} -8a+4(a+c)-2c = -6 &\rightarrow& -4a+2c=-6 & (i)\\ 8a+4(a+c)+2c = 6 &\rightarrow& 12a+6c = 6 & (ii) \end{array}

Aus (ii) folgt

6c=6-12a

und dividieren wir beide Seiten durch $6$ , erhalten wir

c=1-2a

Eingesetzt in (i) haben wir

-4a+2(1-2a)=-6\rightarrow -8a=-8 \rightarrow a=1

und mit

c=1-2a=1-2=-1

und

b=a+c=1+(-1)=0

erhalten wir

f(x)=\underline{x^3-x}