Sekanten

Sekanten helfen uns, die Steigung einer Tangente zu finden. Besprechen wir also zuerst, was eine Sekante ist. Gegeben ist wieder eine Kurve, und zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$ auf der Kurve.

Die Gerade durch $A$ und $B$ wird Sekante der Kurve genannt. Die Gleichung

s(x)=ax+b

welche diese Gerade beschreibt wird Sekantengleichung genannt.

Kennen wir die Koordinaten von $A$ and $B$ , lässt sich leicht die Sekantengleichung finden. Um dies für die oben abgebildete Kurve zu tun, müssen wir zuerst wissen, wie die Funktionsgleichung aussieht, und was die $x$ -Koordinaten von $A$ and $B$ ist:

die Funktionsgleichung der Kurve ist $f(x)=(x-0.2)^2+0.1$ (quadratische Funktion)
Punkt $A$ hat die $x$ -Koordinate $A_x=0.1$
Punkt $B$ hat die $x$ -Koordinate $B_x = 0.9$

Wir können nun die Sekantengleichung $s(x)=ax+b$ berechnen:

die $y$ -Koordinate von $A$ ist
$A_y=f(0.1)=(0.1-0.2)^2+0.1 = 0.11$
Die $y$ -Koordinate von $B$ ist
$B_y=f(0.9)=(0.9-0.2)^2+0.1 = 0.59$
Die Koordinaten von $A$ und $B$ sind also
$A(0.1\vert 0.11) \text{ and } B(0.9 \vert 0.59)$
Die Steigung $a$ ist also
$\begin{array}{lll} a &=& \frac{\Delta y}{\Delta x}\\[0.4em] &=&\frac{B_y-A_y}{B_x-A_x}\\[0.4em] &=& \frac{0.59-0.11}{0.9-0.1}\\[0.4em] &=&0.6\end{array}$
Also haben wir $s(x)=0.6 x+b$ .

Um $b$ zu finden, benutzen wir, dass $A$ (oder $B$ ) auf der Kurve liegt, wie auch auf der Sekante (da sie sich ja da schneiden). Es muss also gelten
$\begin{array}{rll} s(A_x)&=&f(A_x)\\ 0.6 \cdot 0.1+b &=& (0.1-0.2)^2+0.1\\ 0.06+ b &=& 0.11\\ b &=& 0.05\end{array}$
Die Sekantengleichung ist also $s(x)=0.6 x+0.05$ .

Fassen wir zusammen:

Theorem 1

Gegeben sei eine Funktion $f$ und zwei Punkte $A$ and $B$ auf dem Graphen von $f$ deren $x$ -Koordinaten bekannt sind. Die Steigung der Sekante ist dann

a=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(B_x)-f(A_x)}{B_x-A_x}

Der Ausdruck rechts wird Differenzenquotient genannt. Typerschweise schreiben wir den Differenzenquotienten in der Form

a=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Proof

Es ist

\begin{array}{ll} a&=&\frac{f(B_x)-f(A_x)}{B_x-A_x}\\[0.4em] &=&\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}\\[0.4em] &=&\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{array}

Exercise 1

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ . Die Punkte $A$ und $B$ sind auf dem Graphen von $f$ , wobei $A$ die $x$ -Koordinate $1$ und $B$ die $x$ -Koordinate $2$ besitzt. Bestimme die Sekantengleichung von $f$ durch $A$ and $B$ .

Solution

Die Sekantengleichung ist $s(x)=ax+b$ wobei

\begin{array}{lll} a &=& \frac{f(2)-f(1)}{2-1}\\ &=&\frac{\sqrt{2}-1}{1}\\ &=&\sqrt{2}-1\\ &=&0.414\end{array}

Es ist also $s(x)=0.414x+b$ . Um $b$ zu finden, lösen wir die Gleichung

\begin{array}{rll} s(1)&=&f(1) \\ 0.414\cdot 1+b &=& 1\\ b&=&0.586\end{array}

Es ist also $s(x)=0.414x+0.586$ .