Die Tangentensteigung

Gegeben sei die Funktion $f$ , und ein Punkt $A$ ein Punkt auf dem Graphen von $f$ mit der $x$ -coordinate $x$ , daher

A_x=x

Die $y$ -Koordinate von $A$ ist deshalb

A_y=f(x)

Wir wollen die Steigung der Tangente an $f$ im Punkt $A$ finden. Wir brauchen die Notation $a_x$ :

\boxed{a_x=\text{Steigung der Tangente von } f \text{ bei } x}

Note 1

Beachte, dass wir hier sagen "Tangente von $f$ bei $x$ " und nicht "Tangente von $f$ im Punkt $A$ ", obwohl das eigentlich richtiger wäre, da ja die Tangente den Graphen von $f$ bei $A$ berührt. Es stellt sich aber heraus, dass es manchmal etwas praktischer ist, eine Notation zu entwickeln die nicht explizit den Berührpunkt $A$ beeinhaltet. Wie auch immer, wir werden beide Formen verwenden.

Es sei erwähnt, dass es nicht einfach ist, diese Steigung zu berechnen. Für die Sekante ist es einfach, da wir zwei Punkte der Gerade kennen (Sekante), und die Steigung somit gegeben ist durch den Differenzenquotienten:

\begin{array}{ll} a&=&\frac{f(B_x)-f(A_x)}{B_x-A_x}\\[0.4em] &=&\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{array}

Für die Tangente, hingegen, wissen wir nur, dass der Punkt $A$ auf der Tangent liegt. Sonst kennen wir keinen weiteren Punkt auf der Gerade. Wir wissen aber noch etwas weiteres, nämlich, dass die Tangente die Kurve bei $A$ berührt, also nicht schneidet. Wir werden sehen, dass diese weitere Information tatsächlich genügt, um $a_x$ zu bestimmen. Hier ist die Methode:

Methode

Schritt 1

Bestimme die Steigung einer Sekante welche durch den Punkt $A$ und einen weiteren Punkt $B$ auf dem Graphen von $f$ geht. Wir platzieren $B$ irgendwo rechts von $A$ , um die Distanz $h$ nach rechts verschoben (siehe Bild unten). Die Koordinaten von $B$ sind somit

\begin{array}{lll} B_x&=&x+h\\ B_y&=& f(x+h)\end{array}

Die Steigung dieser Sekante ist somit gegeben durch den Differenzenquotienten

\begin{array}{lll} \frac{\Delta y}{\Delta x}&=&\frac{B_y-A_y}{B_x-A_x}\\[0.4em] &=&\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{array}

Schritt 2

Beachte nun, dass je kleiner $h$ gewählt wird, desto näher ist Punkt $B$ bei $A$ , und desto paralleler sind die Sekante und die Tangente. Aber je paralleler diese beiden Geraden sind, desto ähnlicher sind ihre Steigungen. Lassen wir also $h$ gegen $0$ streben, so strebt $B$ gegen $A$ und die Steigung der Sekante wird gegen die Steigung der Tangente streben. Formal schreiben wir das wie folgt:

\boxed{a_x = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

Das Symbol $\lim$ steht für Grenzwert, und der Ausdruck $h\rightarrow 0$ steht für "falls $h$ gegen $0$ strebt". Setzt man alles zusammen, so liest sich die obigen Notation als die Tangentensteigung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten falls $h$ gegen $0$ strebt. Die rechte Seite der Gleichung wird Differenzialquotient genannt.

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Example 1

Wir wollen die Steigung der Tangente im Bild oben berechnen. Die Funktionsgleichung des Graphen ist $f(x)=x^2$ , und $A$ hat die $x$ -coordinate $0.5$ .

Zuerst Schritt 1

Es ist $x=0.5$ . Wir wollen die Tangentensteigung $a_{0.5}$ finden.

Wähle dazu ein Punkt $B$ auf dem Graphen von $f$ , von $A$ aus um die Distanz $h$ nach rechts verschoben. Die Sekantensteigung welche durch $A$ and $B$ geht ist somit

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(0.5+h)-f(0.5)}{h} = \frac{(0.5+h)^2-0.5^2}{h}

Das Bild unten zeigt die Sekanten für $h=1.4$ , $h=1.0$ , $h=0.5$ and $h=0.1$ . Beobachte wie die Sekanten (rot) und die Tangente (blau) paralleler werden, und sich die Sekantensteigung somit der Tangentensteigung annähert. Zum Beispiel, Die Sekantensteigung für $h=0.1$ (unten rechts) ist

\begin{array}{lll} \frac{\Delta y}{\Delta x}&=&\frac{f(0.5+0.1)-f(0.6)}{0.1}\\[0.4em] &=&\frac{0.6^2-0.5^2}{0.1}\\[0.4em] &=&1.1 \end{array}

Wir haben also eine Approximation für die Tangentensteigung:

a_{0.5}\approx 1.1

was aber ist der exakte Wert? Siehe dazu Schritt 2.

Dann Schritt 2

Die Tangentensteigung ist

a_{0.5} = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(0.5+h)-f(0.5)}{h}= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(0.5+h)^2-0.5^2}{h}

Für jeden Wert $h$ bekommen wir eine Zahl (die Sekantensteigung). Wir wollen also wissen, zu welcher Zahl hin diese Folge konvergiert. Diese Zahl (der Grenzwert der Folge) muss dann die Tangentensteigung $a_{0.5}$ sein.

Wir könnten versuchen direkt $h=0$ einzusetzen, aber dies wird nicht funktionieren, da wir dann den Ausdruck

\begin{array}{lll} \frac{f(0.5+h)-f(0.5)}{h} &= & \frac{(0.5+h)^2-0.5^2}{h}\\[0.4em] &=& \frac{0}{0}\end{array}

bekommen. Und es ist überhaupt nicht klar, was für eine Zahl dies sein soll. Versuchen wir also, den Differenzialquotienten etwas zu vereinfachen. Vielleicht sehen wir dann, was passiert wenn $h$ gegen $0$ strebt. Wir haben

\begin{array}{lll} \frac{f(0.5+h)-f(0.5)}{h}&=&\frac{(0.5+h)^2-0.5^2}{h}\\[0.4em] &=& \frac{0.25+h+h^2-0.25}{h}\\[0.4em] &=&\frac{h+h^2}{h}\\[0.4em] &=&\frac{h(1+h)}{h}\\[0.4em] &=&1+h\end{array}

In der Tat können wir nun sehen, was passiert falls $h\rightarrow 0$ . Die Sekantensteigung strebt gegen $1$ . Die Tangentensteigung ist also

a_{0.5}=1

Exercise 1

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2$ . Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$

für $x=2$ .
für ein beliebiges $x$ . Dies resultiert in einer Formel mit der die Tangente an den Graphen in jedem Punkt berechnet werden kann.
Finde mit Hilfe der gefundenen Formel die Steigung der Tangente im Punkt $A(10\vert 100)$ .

Solution

$a_{2} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ . Mit
$\begin{array}{lll} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} &=& \frac{(2+h)^2-2^2}{h}\\[0.4em] &=&\frac{4+4h+h^2-4}{h}\\[0.4em] &=&\frac{h(4+h)}{h}\\[0.4em] &=&4+h\end{array}$
und es ist $a_2=\underline{4}$ .
$a_{x} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ . Mit
$\begin{array}{lll}\frac{f(x+h)-f()}{h}& = &\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\[0.4em] &=&\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\[0.4em] &=&\frac{h(2x+h)}{h}\\[0.4em] &=&2x+h\end{array}$
und es ist $a_x=\underline{2x}$ .
Wegen $x=10$ folgt $a_{10}=2\cdot 10=\underline{20}$ .

Exercise 2

Bestimme eine Formel, um die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ zu bestimmen (in jedem Punkt auf dem Graphen).

$f(x)=3$ (daher für jeden Input $x$ ist der Output immer $y=3$ )
$f(x)=x$
$f(x)=2x^2+1$
$f(x)=x^3$
$f(x)=\sqrt{x}$
$f(x)=\frac{1}{x}$

Solution

Die Tangentensteigung im Punkt $A$ mit $A_x=u$ ist $a_{u} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3-3}{h}=\frac{0}{h}=0$ . Es ist also $a_x=0$ für alle Werte $x$ . Mit einer Skizze des Graphen $f$ (horizontale Linie) ist sofort ersichtlich, dass dieses Resultat richtig ist.
$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x+h-x}{h}=\frac{h}{h}=1$ . Es ist also $a_x=1$ für alle Werte $x$ . Mit einer Skizze des Graphen $f$ (Gerade mit Steigung $1$ ) ist sofort ersichtlich, dass dieses Resultat richtig ist.
Es ist
$\begin{array}{lll}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{2(x+h)^2+1-(2x^2+1)}{h}\\&=&\frac{2x^2+4xh+2h^2+1-2x^2-1}{h}\\&=&\frac{h(4x+2h)}{h}\\&=&4x+2h\end{array}$
Die Tangentensteigung ist also $a_x = 4x$ .
Es ist
$\begin{array}{lll}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{(x+h)^3-x^3}{h}\\&=&\frac{x^3+3x^2h+3x h^2+h^3-x^3}{h}\\&=&\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}\\&=&3x^2+3xh+h^2\end{array}$
Die Tangentensteigung ist also $a_x = 3x^2$ .
Es ist
$\begin{array}{lll}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\&=&\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\&=&\frac{x+h-x}{h\cdot (\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\&=&\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\end{array}$
Die Tangentensteigung ist also $a_x = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Es ist
$\begin{array}{lll}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\&=&\frac{\frac{x}{x\cdot(x+h)}-\frac{x+h}{x\cdot (x+h)}}{h}\\&=&\frac{\frac{x-(x+h)}{x\cdot(x+h)}}{h}\\&=&\frac{\frac{-h}{h\cdot(x+h)}}{h}\\ &=& \frac{-h}{x\cdot(x+h)}\cdot \frac{1}{h}\\&=&-\frac{1}{x^2+xh}\end{array}$
Die Tangentensteigung ist also $a_x = -\frac{1}{x^2}$ .