Natürliche Zahlen

Exercise 1: Bruch

Was ist ein Bruch?

Solution

Unter einem Bruch wollen wir einen Quotienten $\frac{a}{b}$ verstehen, wobei $a$ und $b\neq0$ reelle Zahlen sind.

Die Geschichte der Zahlenmengen ist nicht nur eine Geschichte von Symbolen und Rechenregeln, sondern auch eine Geschichte von Kulturen, Denkweisen und Namen, die bis heute in unserer Sprache nachklingen.

Die natürlichen Zahlen – 1, 2, 3, ... – entspringen der elementarsten menschlichen Tätigkeit: dem Zählen.

Ein zentraler Name ist al-Chwarizmi (9. Jh.), der in Bagdad wirkte. Von ihm stammt nicht nur der Begriff Algorithmus, sondern auch entscheidende Abhandlungen über das Rechnen mit indisch-arabischen Ziffern, die unser heutiges Stellenwertsystem erst in Europa verbreiteten.

Ebenfalls bedeutend ist die Einführung des Begriffs al-jabr („das Wiederherstellen“), aus dem sich unser Wort Algebra entwickelte. Hier zeigt sich, wie eng die Erweiterung der Zahlenmengen mit dem Bedürfnis verbunden war, Gleichungen zu lösen – auch dann, wenn die Lösung auf den ersten Blick „unsichtbar“ war: negative oder gar irrationale Zahlen.

So entstand Schritt für Schritt die heute gebräuchliche Hierarchie von Zahlenmengen:

die natürlichen Zahlen $\N$ zum Zählen,
die ganzen Zahlen $\Z$ durch Hinzufügung der $0$ und der Negativen,
die rationalen Zahlen $\Q$ als Brüche,
die irrationalen und reellen Zahlen $\R$ , um Kontinuität zu erfassen,
und schliesslich die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ , die selbst die Wurzel aus negativen Zahlen möglich machen.

Die Entwicklung von Zahlenmengen ist also nicht nur eine mathematische Notwendigkeit, sondern auch ein Spiegel historischer Kreativität und kulturellen Austausches – von den babylonischen Keilen über die arabischen Schriften bis zu unseren heutigen Symbolen.

Natürliche Zahlen

Beim Zählen benutzte der Mensch die Finger. Dies spiegelt sich auch in den frühen Zahlenzeichen wider. Häufig waren dies Striche oder Kerben. Alte Kulturvölker wie die Babylonier, Ägypter oder Römer schufen bestimmte Symbole für die Zahlen $1, 5, 10, 100, 1000$ unter anderem und bildeten damit durch Aneinanderreihen die übrigen natürlichen Zahlen. Die Inder entwickelten ein Stellenwertsystem und erfanden für eine leere Stelle ein besonderes Zeichen: die Null. Ein Stellenwertsystem und ein Zeichen für die Null hatten vor den Indern auch schon die Babylonier, die sich als Astronomen mit Zeit- und Winkelmessungen auseinandersetzten. Bei ihnen war übrigens die $60$ die Grundzahl.

Note 1

Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit

\N := \{1, 2, 3, \dots\}

abgekürzt.

Der Zahlenstrahl

Note 2: Zahlenstrahl

Wir können natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl visualisieren. Beginnend vom Ursprung aus zeichnen wir einen «Zahlenpfeil» bis zur entsprechenden Markierung derjenigen Zahl, die wir durch den Pfeil repräsentieren wollen.

Beachte, dass die Addition $a+b$ zweier natürlicher Zahlen $a, b \in \N$ geometrisch dem Aneinanderhängen der Pfeile entspricht. Beispielsweise ist $2+3=5$ .

Definition 1: Summe

Unter der Summe $a + b$ zweier Zahlen $a$ und $b$ verstehen wir diejenige Zahl, deren Pfeil sich durch Aneinanderhängen der Pfeile $a$ und $b$ ergibt.

Grösser als & kleiner als

Definition 2: Kleiner- und Grösser-Zeichen

Seien $a, b \in \R$ .

$a < b$ bedeutet: $a$ liegt auf dem Zahlenstrahl links von $b$ .
$a > b$ bedeutet: $a$ liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von $b$ .

Manchmal sagt man auch: $a$ ist kleiner als $b$ bzw. $b$ ist grösser als $a$ .

Note 3: Regeln für Ungleichungen

Addiert man auf beiden Seiten dieselbe Zahl, bleibt die Ungleichung erhalten.
Multipliziert man mit einer positiven Zahl, bleibt das Zeichen gleich.
Multipliziert man mit einer negativen Zahl, kehrt sich das Zeichen um.

Example 1

Auf der Zahlengeraden gilt:

$3 < 5$ , weil $3$ links von $5$ liegt.
$-2 > -5$ , weil $-2$ rechts von $-5$ liegt.

Exercise 2: Grösser oder kleiner als

a) Vergleiche: $7 \,\square\, 11$

b) Vergleiche: $4 \,\square\, 7$

c) Ergänze: Multipliziere $3 < 5$ mit $-2$ . Welche Ungleichung entsteht?

d) Vergleiche: $12 \,\square\, 8$

e) Vergleiche: $3 \,\square\, 9$

f) Überprüfe: Gilt aus $a < b$ immer $a+4 < b+4$ ?

Solution

a) $7 < 11$
b) $4 < 7$
c) $-6 > -10$
d) $12 > 8$
e) $3 < 9$
f) Ja, bleibt immer erhalten.

Note 4

Neben $<$ und $>$ gibt es auch die Zeichen $\leq$ und $\geq$ :

$a \leq b$ bedeutet: $a$ ist kleiner oder gleich $b$ .
$a \geq b$ bedeutet: $a$ ist grösser oder gleich $b$ .

Beispiele:

$4 \leq 4$ ist wahr, weil $4 = 4$ .
$7 \geq 2$ ist wahr, weil $7 > 2$ .

Primzahlen

Unter den natürlichen Zahlen gibt es solche, die jedem Divisionsversuch mit einem natürlichen Divisor, der zwischen $1$ und der Zahl selbst liegt, widerstehen. Solche Zahlen, die keine echten Teiler haben, werden Primzahlen genannt.

Definition 3: Teiler

Seien $a, b \in \Z$ mit $b \neq 0$ . $b$ ist ein Teiler von $a$ , wenn es ein $c \in \Z$ gibt, sodass

a = b \cdot c

gilt. Man schreibt $b \mid a$ .

Definition 4: Primzahl

Eine Zahl $p \in \N$ heisst Primzahl, wenn $p$ genau zwei verschiedene natürliche Teiler hat.

\mathbb{P} := \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots\}

Note 5

Beachte, dass $1$ per Definition keine Primzahl ist!

Primfaktorzerlegung

Exercise 3: Primfaktorzerlegung

Zerlege die Zahlen $17$ , $35$ , $32$ , $210$ , $541$ und $1'771$ in ihre Primfaktoren.

Solution

$17$

$35 = 5 \cdot 7$

$32 = 2^5$

$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

$541$ ist prim.

$1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23$

Primzahlen sind die Bausteine der natürlichen Zahlen. Dies besagt der folgende

Theorem 1: Fundamentalsatz der Arithmetik

Jede natürliche Zahl grösser als $1$ lässt sich eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) als Produkt von Primzahlen darstellen.

Proof

BWoC: Falls die Primfaktorzerlegung in $\N \setminus \{1\}$ nicht eindeutig wäre, dann gäbe es eine kleinste Zahl $n \in \N \setminus \{1\}$ , die auf mindestens zwei Arten zerlegbar wäre:

n = p_1 \cdot \dots \cdot p_r = q_1 \cdot \dots \cdot q_s.

Da $n$ das kleinste Beispiel ist, sind alle $p_i \neq q_j$ für alle $i, j$ in ihren Indexmengen. Ausserdem können wir OEdA annehmen, dass die Faktoren der Grösse nach sortiert seien und $p_1 \neq q_1$ mit $p_1 + 1 \leq q_1 \leq \sqrt{n}$ .

Wir konstruieren die Zahl

m := n - p_1 q_1.

Beachte, dass $m$ wegen $\sqrt{n} < m < n$ eine eindeutige Primfaktorzerlegung hat. Aus

m = p_1 \cdot (p_2 \cdot \dots \cdot p_r - q_1) = q_1 \cdot (q_2 \cdot \dots \cdot q_s - p_1)

folgt $p_1 \mid (q_2 \cdot \dots \cdot q_s - p_1)$ , also $p_1 \mid (q_2 \cdot \dots \cdot q_s)$ . Weil aber für Zahlen kleiner als $n$ die Primfaktorzerlegung eindeutig ist, muss $p_1 = q_j$ für mindestens ein $j \neq 1$ gelten; im Widerspruch zu $p_1 \neq q_j$ $\forall j$ .

ggT & kgV

Primfaktorzerlegungen spielen auch beim Bestimmen des grössten gemeinsamen Teilers (ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) zweier natürlicher Zahlen $a$ und $b$ eine wichtige Rolle.

Note 6

Wir können von zwei Zahlen $a, b \in \Z$ den ggT oder das kgV bestimmen, indem wir ihre Primfaktorzerlegungen vergleichen. Da die Primfaktorzerlegung eindeutig ist, ist der ggT gleich dem Produkt der gemeinsamen Primfaktoren und das kgV gleich dem Produkt jeder vorkommenden Primzahl mit dem höchsten Exponenten aus beiden Zerlegungen.

Example 2

Bestimmen wir den ggT und das kgV von $180$ und $168$ .

Dazu zerlegen wir beide Zahlen in Primfaktoren:

\begin{aligned} 180 &= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \\ 168 &= 2^3 \cdot 3 \cdot 7 \end{aligned}

ggT: Wir nehmen die jeweils kleinsten Exponenten der gemeinsamen Primfaktoren:
- bei $2$ : $\min(2^2, 2^3) = 2^2$
- bei $3$ : $\min(3^2, 3^1) = 3^1$
- $5$ und $7$ sind nicht gemeinsam.
  Also $\operatorname{ggT}(180, 168) = 2^2 \cdot 3 = 12$ .
kgV: Wir nehmen die jeweils grössten Exponenten aller vorkommenden Primfaktoren:
- bei $2$ : $\max(2^2, 2^3) = 2^3$
- bei $3$ : $\max(3^2, 3^1) = 3^2$
- $5$ : nur in 180, $5^1$
- $7$ : nur in 168, $7^1$
  Also $\operatorname{kgV}(180, 168) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$ .

Zwischen dem ggT und dem kgV besteht der folgende Zusammenhang.

Theorem 2

a \cdot b = \operatorname{ggT}(a, b) \cdot \operatorname{kgV}(a, b)

Proof

Für das kgV nimmt man jeweils die maximal vorkommende Anzahl der Primfaktoren aus beiden Zahlen, für den ggT jeweils die minimale Anzahl der gemeinsamen Primfaktoren. Kommt also ein Primfaktor nur in einer der Zahlen vor, so wird er wegen des kgVs verwendet und taucht im ggT nicht auf. Kommt ein Faktor in beiden Zerlegungen vor, so wird er in seiner maximalen Anzahl für das kgV genommen und in seiner minimalen Anzahl für den ggT. Also werden insgesamt alle Faktoren genau einmal im Produkt vorkommen.

Exercise 4: ggT und kgV mit Primfaktorzerlegung

Bestimme den ggT und das kgV von $126$ und $210$ .

Solution

Zerlegung in Primfaktoren:

\begin{aligned} 126 &= 2 \cdot 3^2 \cdot 7 \\ 210 &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \end{aligned}

ggT:
- bei $2$ : $\min(2^1, 2^1) = 2$
- bei $3$ : $\min(3^2, 3^1) = 3$
- bei $7$ : $\min(7^1, 7^1) = 7$
  Also $\operatorname{ggT}(126, 210) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ .
kgV:
- bei $2$ : $2^1$
- bei $3$ : $3^2$
- bei $5$ : $5^1$
- bei $7$ : $7^1$
  Also $\operatorname{kgV}(126, 210) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 630$ .

Exercise 5: ggT und kgV mit Primfaktorzerlegung II

Bestimme den ggT und das kgV von $84$ und $198$ .

Solution

Primfaktorzerlegung:

\begin{aligned} 84 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \\ 198 &= 2 \cdot 3^2 \cdot 11 \end{aligned}

Also $\operatorname{ggT}(84, 198) = 2 \cdot 3 = 6$ und $\operatorname{kgV}(84, 198) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 11 = 2772$ .

Exercise 6: 🧩

Bestimme das kgV und den ggT der Zahlen $153'900$ und $180'600$ .

Solution

Es ist

\begin{aligned} 153\,900 &= 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 19 \\ 180\,600 &= 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 43 \end{aligned}

und daher $\operatorname{ggT}(180\,600, 153\,900) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$ und $\operatorname{kgV}(180\,600, 153\,900) = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 19 \cdot 43$ .