Ebenen

Es gibt verschiedene Arten, wie man Ebenen darstellen kann:

Parameterform
Normalform
Koordinatenform

Parameterform

$E: P = A + c\cdot\overrightarrow{u} + d\cdot\overrightarrow{v}$

Normalform

Wenn $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor zur Ebene ist (d.h. $\overrightarrow{n}$ steht senkrecht zur Ebene $E$ ), dann sind alle Verbindungsvektoren $AP$ zwischen zwei Punkten in der Ebene senkrecht zum Normalenvektor. Es gilt also:

$E: \overrightarrow{n}\bullet\overrightarrow{AP} = 0$

Koordinatenform

Wir starten mit der Normalform der Ebene und schreiben den Normalenvektor als $\overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{r}a\\b\\c\end{array}\right)$ . Um einen Punkt $P(x|y|z)$ auf der Ebene zu beschreiben, können wir die Normalform umformen zu:

$E: ax + by +cz + d = 0$

Hierbei gilt $d=-A\bullet\overrightarrow{n}$ . Insbesondere ist das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ und dem Ortsvektor aller Punkte auf der Ebene konstant.

Exercise 1

Bestimmen Sie die Parameterform der Ebene $ABC$ , wobei $A(4|1|7)$ , $B(3|-1|2)$ und $C(2|0|0)$ .

Solution

$E: \overrightarrow{r} = \left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ 0 \end{array}\right) + t\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 5 \end{array}\right) + s\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 7 \end{array}\right)$

Die Lösung ist nicht eindeutig.

Exercise 2

Der Punkt $A(5|-3|1)$ liegt auf der Ebene $E$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right)$ . Bestimme die Koordinatenform der Ebene $E$ .

Solution

Die Koordinatenform ist $ax + by +cz + d = 0$ . Es gilt $a = 1, b=2$ und $c=3$ :

1x + 2y +3z + d = 0

Wenn man die Koordinaten des Punktes $A$ einsetzt, kann man $d$ bestimmen:

5 + 2(-3) + 3 + d = 0\Rightarrow d=-2

Damit gilt $E: x + 2y + 3z -2 = 0$ .

Exercise 3

Bestimmen Sie die Gleichung der Mittelnormalebene der Strecke $\overline{AB}$ . Gegeben sind die Punkte $A(3|1|1)$ und $B(-5|3|7)$ .

Solution

$E: 4x - y - 3z + 18 = 0$