Ebene durch 3 Punkte

Parameterform

Die Parameterform einer Ebene durch drei Punkte zu bestimmen funktioniert analog zur Bestimmung der Geradengleichung.

Example 1

Die Punkte $A(1|2|3)$ , $B(5|5|3)$ und $C(1|5|4)$ liegen auf einer Ebene $E$ . Bestimme die Parameterform der Ebene $E$ .

Solution

$\overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{r}4\\3\\0\end{array}\right),$

$\overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{r}0\\3\\1\end{array}\right)$

$E: P = A + c\cdot \overrightarrow{AB} + d\cdot\overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right) + c\cdot\left(\begin{array}{r}4\\3\\0\end{array}\right) + d\cdot\left(\begin{array}{r}0\\3\\1\end{array}\right)$

Es gibt unzählige andere mögliche Gleichungen.

Normal- und Koordinatenform

Wenn man die Normal- oder Koordinatenform einer Ebene bestimmen will, von der drei Punkte gegeben sind, ist das Vektorprodukt hilfreich.

Definition 1: Vektorprodukt

Das Vektorprodukt $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ zweier Vektoren berechnet sich durch:

\vec{a}\times \vec{b} = \left(\begin{array}{r} a_y b_z-a_z b_y \\ a_z b_x-a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{array}\right)

Das Vektorprodukt der beiden Vektoren steht senkrecht zu den beiden Vektoren und der Betrag des Vektorprodukts entspricht der Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Exercise 1

Bestimme $\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r}4\\5\\-6\end{array}\right)$ .

Solution

$\left(\begin{array}{r}-27\\18\\-3\end{array}\right)$

Example 2

Die Punkte $A(1|2|3)$ , $B(5|5|3)$ und $C(1|5|4)$ liegen auf einer Ebene $E$ . Bestimme die Koordinatenform der Ebene $E$ .

Solution

$\overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{r}4\\3\\0\end{array}\right),$

$\overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{r}0\\3\\1\end{array}\right)$

Ein Normalenvektor ist $\overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{r}3\\-4\\12\end{array}\right)$ . Jeder andere mögliche Normalenvektor ist ein skalares Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ . Damit gilt $E: 3x - 4y + 12z + d = 0$ und um $d$ zu bestimmen, setzen wir einen bekannten Punkt ein; zum Beispiel $A$ : $3 - 4\cdot 2 + 12 \cdot 3 + d = 0 \Rightarrow d=-31$

$E: 3x -4y +12z- 31 = 0$

Jede andere Ebenengleichung von $E$ in Normalform ist effektiv ein Vielfaches dieser Gleichung.

Exercise 2

Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene $ABC$ mit Hilfe des Vektorprodukts. Die Punkte sind $A(5|5|-3)$ , $B(1|-1|0)$ und $C(2|0|-1)$ .

Solution

$E: 3x - y + 2z -4 = 0$

Exercise 3

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ , wobei $A(7|-3|1)$ , $B(2|0|5)$ und $C(9|-3|1)$ .

Solution