Skalarprodukt und Winkel

Die Vektoroperationen, die wir bisher betrachtet haben, sind Betrag, Addition und Multiplikation mit einem Skalar. Die noch fehlenden Operationen sind die Multiplikation zweier Vektoren. Davon gibt es zwei Varianten:

Sie sind nach der Art ihres jeweiligen Ergebnisses benannt. Das Vektorprodukt werden wir bei der Berechnung einer Ebene durch drei Punkte nutzen.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a→=(axayaz)\overrightarrow{a} = \left(\begin{array}{r} a_x\\ a_y\\ a_z \end{array}\right) und b→=(bxbybz)\overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{r} b_x\\ b_y\\ b_z \end{array}\right) ist die Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren:

a⃗∙b⃗:=axbx+ayby+azbz\boxed{\vec{a} \bullet \vec{b}:=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z}
Example 1

  1. (3−41)∙(25−3)\left(\begin{array}{r} 3\\ -4\\ 1 \end{array}\right) \bullet \left(\begin{array}{r} 2\\ 5\\ -3 \end{array}\right)

  2. (3−41)∙(2514)\left(\begin{array}{r} 3\\ -4\\ 1 \end{array}\right) \bullet \left(\begin{array}{r} 2\\ 5\\ 14 \end{array}\right)

Solution
  • (3−41)∙(25−3)=3⋅2+(−4)⋅5+1⋅(−3)=−17\left(\begin{array}{r} 3\\ -4\\ 1 \end{array}\right) \bullet \left(\begin{array}{r} 2\\ 5\\ -3 \end{array}\right)=3\cdot 2 + (-4)\cdot 5 + 1\cdot (-3)=-17
  • (3−41)∙(2514)=3⋅2+(−4)⋅5+1⋅14=0\left(\begin{array}{r} 3\\ -4\\ 1 \end{array}\right) \bullet \left(\begin{array}{r} 2\\ 5\\ 14 \end{array}\right)=3\cdot 2 + (-4)\cdot 5 + 1\cdot 14=0

    • Beachte, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich 00 sein kann, obwohl keiner der Vektoren der Nullvektor ist. Dies ist in einer normalen Multiplikation zwischen zwei Zahlen nicht möglich. Falls das Produkt zweier Zahlen 00 ist, muss zwangsläufig eine der beiden Zahlen 00 sein.

    Theorem 1

    Mit Hilfe des Skalarprodukts lässt sich der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen:

    cos⁡(α)=a→∙b→∣a→∣⋅∣b→∣\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}
    Example 2

    Berechnen Sie den Zwischenwinkel zwischen a→=(712)\overrightarrow{a} = \left(\begin{array}{r} 7\\ 1\\ 2 \end{array}\right) und b→=(−443)\overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{r} -4\\ 4\\ 3 \end{array}\right)

    Solution

    112.49°112.49\degree

    Exercise 1

    Berechnen Sie das Skalarprodukt a→∙b→\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{b}:

    1. a→=(120)\overrightarrow{a} = \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 0 \end{array}\right) und b→=(−34−5)\overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{r} -3\\ 4\\ -5 \end{array}\right)

    2. a→=(9−7−4)\overrightarrow{a} = \left(\begin{array}{r} 9\\ -7\\ -4 \end{array}\right) und b→=(6014)\overrightarrow{b} = \left(\begin{array}{r} 6\\ 0\\ 14 \end{array}\right)

    Solution
  • 5
  • -2
    • Exercise 2

    Berechnen Sie die Winkel im Dreieck ABCABC, wobei A(−4∣2∣6)A(-4|2|6), B(−3∣6∣0)B(-3|6|0) und C(0∣−2∣−1)C(0|-2|-1).

    Solution

    62.75°,68.45°,48.80°62.75\degree, 68.45\degree, 48.80\degree

    Exercise 3

    Bestimmen Sie den Punkt PP so, dass ∠APB=90°\angle APB = 90\degree. Es gilt A(4∣2∣8)A(4|2|8), B(6∣5∣−3)B(6|5|-3) und der Punkt PP liegt auf der yy-Achse.

    Solution

    P1(0∣2∣0)P_1(0|2|0) und P2(0∣5∣0)P_2(0|5|0)

    Exercise 4

    Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den spitzen Schnittwinkel von gg und hh:

    1. g:r→=(−352)+s⋅(3−59),h:r→=(−16−69)+t⋅(83−1)g: \overrightarrow{r} = \left(\begin{array}{r} -3\\ 5\\ 2 \end{array}\right) + s\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ -5\\ 9 \end{array}\right), h: \overrightarrow{r} = \left(\begin{array}{r} -16\\ -6\\ 9 \end{array}\right) + t\cdot\left(\begin{array}{r} 8\\ 3\\ -1 \end{array}\right)

    2. g:r→=(6−1024)+s⋅(2−63),h:(14−43)+t⋅(−766)g: \overrightarrow{r} = \left(\begin{array}{r} 6\\ -10\\ 24 \end{array}\right) + s\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ -6\\ 3 \end{array}\right), h: \left(\begin{array}{r} 14\\ -4\\ 3 \end{array}\right) + t\cdot \left(\begin{array}{r} -7\\ 6\\ 6 \end{array}\right)

    Solution
  • S(0∣0∣7)S(0|0|7), 90°90\degree
  • S(0∣8∣15)S(0|8|15), 65.44°65.44\degree