Höhen- und Tiefenwinkel

Eine Anmerkung zur Messung von Winkeln. Trigonometrie wird oft verwendet, um die Höhe eines Objekts (z. B. eines Gebäudes) oder die Tiefe eines Objekts (z. B. eines Tals) zu bestimmen. Dies beinhaltet das Messen von Winkeln relativ zu einer Horizontalen (dort, wo sich der Beobachter, der die Messungen vornimmt, befindet).

Wenn sich das Objekt über der Horizontalen befindet, wird der Winkel zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie als Höhenwinkel bezeichnet. In der Figure unten würden wir also bei BB stehen und nach CC hinauf schauen, under der Höhenwinkel wäre β\beta.

Wenn sich das Objekt unterhalb der Horizontalen befindet, wird der Winkel zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie als Tiefenwinkel bezeichnet. In der Figure unten würden wir also bei CC stehen und nach BB hinunter schauen, under der Höhenwinkel wäre ϵ\epsilon (Epsilon).

Exercise 1

  1. Ein Beobachter, der am Rand einer Klippe 82  m\qty{82}{m} über dem Meeresspiegel steht, sieht ein Schiff unter einem Tiefenwinkel von 26∘26^\circ. Wie weit von der Basis der Klippe ist das Schiff entfernt?

  2. Von einem Punkt A am Boden aus beträgt der Höhenwinkel zur Spitze eines Baums 52∘52^\circ. Wenn der Baum 14.8  m\qty{14.8}{m} von Punkt A entfernt ist, finde die Höhe des Baums.

  3. Aus einem Fenster in einem Gebäude, 29.6  m\qty{29.6}{m} über dem Boden, kann man einen Turm sehen. Du siehst das Dach des Turms unter einem Höhenwinkel von 42∘42^\circ, während der Tiefenwinkel zum Fuss des Turms 32∘32^\circ beträgt. Finde die Höhe des Turms.

Solution
  1. tan⁡(26∘)=82A→A=168.12  m‾\tan(26^\circ)=\frac{82}{A} \rightarrow A=\underline{\qty{168.12}{m}}
  2. \tan(52^\circ)=\frac{G}{14.8} \rightarrow G=\underline{\qty{18.94}{m}
  3. Siehe Abbildung unten. tan⁡(32∘)=29.6u\tan(32^\circ)=\frac{29.6}{u}, somit u=29,6tan⁡(32∘)=47.37  mu=\frac{29,6}{\tan(32^\circ)}=\qty{47.37}{m}. tan⁡(42∘)=vu=v47.37\tan(42^\circ)=\frac{v}{u}=\frac{v}{47.37}, somit v=47.37⋅tan⁡(42∘)=42.65v=47.37\cdot \tan(42^\circ)=42.65. Es folgt, dass h=29.6+42.65=72.25‾h=29.6+42.65=\underline{72.25}.