Ebene und Gerade schneiden

Den Schnittpunkt einer Ebene mit einer Geraden kann man am einfachsten mit Hilfe der Koordinatenform der Ebene bestimmen. Dann muss man die Parameterform der Geraden in die Ebenengleichung einsetzen und nach dem Parameter lösen. Durch Einsetzen des Parameters in die Geradengleichung erhält man den Schnittpunkt:

Example 1

Bestimme den Schnittpunkt zwischen der Ebene $E: 4x - 12y + 3z -6 = 0$ und der Geraden $g$ durch den Punkt $(0|2|3)$ mit Richtungsvektor $\overrightarrow{v} = \left(\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right)$ .

Solution

Ein beliebiger Punkt auf $g$ ist gegeben durch $\left(\begin{array}{r}0\\2\\3\end{array}\right) + c\cdot\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}c\\2\\3+c\end{array}\right)$

Dies in die Ebenengleichung eingesetzt ergibt:

\begin{aligned} 4c-12\cdot 2 + 3\cdot(3 + c) - 6 &= 0 \\ \Rightarrow\quad7c - 21 & = 0\\ \Rightarrow\quad c & = 3 \end{aligned}

Dies in die Geradengleichung eingesetzt ergibt:

$\left(\begin{array}{r}0\\2\\3\end{array}\right) + 3\dot\left(\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}3\\2\\6\end{array}\right)$

Der Schnittpunkt ist also $S(3|2|6)$ .

Die Gerade $g$ könnte parallel zur Ebene $E$ liegen. Dann liegt sie entweder komplett in der Ebene und jeder Punkt auf der Geraden ist auch auf der Ebene. Oder sie liegt ausserhalb der Ebene, dann gibt es auch keinen Schnittpunkt.

Example 2

Ebene $E: 3x + 2y - z + 4 = 0$

Gerade $g: \left(\begin{array}{r}0\\0\\4\end{array}\right) + c\cdot \left(\begin{array}{r}1\\0\\3\end{array}\right)$

Gerade $h: \left(\begin{array}{r}1\\2\\3\end{array}\right) + c\cdot \left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right)$

Wie liegen die Geraden $g$ und $h$ zur Ebene?

Solution

$\left(\begin{array}{r}3\\2\\-1\end{array}\right)\bullet\left(\begin{array}{r}1\\0\\3\end{array}\right) = 3 + 0 - 3 = 0$

$\left(\begin{array}{r}3\\2\\-1\end{array}\right)\bullet\left(\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right) = 3 -2 - 1 = 0$

Beide Geraden liegen parallel zur Ebene, da die Richtungsvektoren orthogonal zum Normalenvektor sind. Um zu testen, ob die Geraden in oder ausserhabl der Ebene liegen, setzen wir die Stützpunkte in die Ebenengleichung ein:

zu $g$ : $0 + 0 - 4 + 4 = 0 \Rightarrow$ Die Gerade liegt also in der Ebene.

zu $h$ : $3 + 2\cdot 2 - 3 + 4 = 8 \neq 0\Rightarrow$ Die Gerade liegt ausserhalb der Ebene.

Wenn wir einfach versucht hätten, $g$ bzw. $h$ in die Ebenengleichung einzusetzen, hätten wir die Gleichungen $0 = 0$ bzw. $8 = 0$ erhalten.