Nicht über Summe kürzen

Für den Bruch

3⋅43⋅5\frac{3\cdot 4}{3\cdot 5}

lässt sich die 33 kürzen, und wir erhalten

3⋅43⋅5=45\frac{3\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{4}{5}

Wieso können wir die drei streichen? Dies geht auf die Multiplikation von Brüchen zurück:

ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} =\frac{a\cdot c}{b\cdot d}

Daher, die Zähler werden miteinander multiplizert, und die Nenner ebenfalls. Wenden wir dies auf das Beispiel oben an, so erhalten wir in der Tat

3⋅43⋅5=33⏟=1⋅45=45\frac{3\cdot 4}{3\cdot 5}=\underbrace{\frac{3}{3}}_{=1}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{5}

OK, wieso lässt sich beim Bruch

3⋅4+13⋅5\frac{3\cdot 4+1}{3\cdot 5}

die 33 nicht kürzen? Weil wir den Bruch nicht so aufspalten können:

3⋅4+13⋅5=33⋅4+15FALSCH!\frac{3\cdot 4+1}{3\cdot 5} = \frac{3}{3}\cdot \frac{4+1}{5}\quad \text{FALSCH!}

Um zu sehen, dass dies falsch ist, rechnen wir zurück:

33⋅4+15=3⋅(4+1)3⋅5≠3⋅4+13⋅5\frac{3}{3}\cdot \frac{4+1}{5} = \frac{3\cdot (4+1)}{3\cdot 5}\neq \frac{3\cdot 4+1}{3\cdot 5}
Theorem 1

Wir können also einen Bruch nur dann kürzen, wenn wir den Bruch als Multiplikation zweier Brüche schreiben können, wobei der eine dieser Brüche 11 ergibt.

Exercise 1

Aufgabe

Falls möglich, schreibe den Bruch als Produkt zweier Brüche so, dass der eine dieser Brüche eins wird.

  1. 5⋅44⋅3\frac{5\cdot 4}{4\cdot 3}
  2. 5⋅(4+19)(3−2)⋅5\frac{5\cdot (4+19)}{(3-2)\cdot 5}
  3. 13⋅4+213⋅3−1\frac{13\cdot 4+2}{13\cdot 3-1}
  4. 3ab4b\frac{3ab}{4b}
  5. x(x+1)2x\frac{x(x+1)}{2x}
  6. a+b2a\frac{a+b}{2a}
  7. x(x+1)2x+1\frac{x(x+1)}{2x+1}
  8. x⋅x+13x\frac{x\cdot x+1}{3x}
  9. x2x−1+1x⋅x−1\frac{x^2\sqrt{x-1}+1}{x\cdot \sqrt{x-1}}
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Lösungen

  1. 5⋅44⋅3=44⋅53=53\frac{5\cdot 4}{4\cdot 3}=\frac{4}{4}\cdot\frac{5}{3}=\frac{5}{3}
  2. 5⋅(4+19)(3−2)⋅5=55⋅4+193−2=4+193−2\frac{5\cdot (4+19)}{(3-2)\cdot 5}=\frac{5}{5}\cdot\frac{4+19}{3-2}=\frac{4+19}{3-2}
  3. 13⋅4+213⋅3−1\frac{13\cdot 4+2}{13\cdot 3-1} nicht möglich
  4. 3ab4b=bb⋅3a4=3a4\frac{3ab}{4b}=\frac{b}{b}\cdot\frac{3a}{4}=\frac{3a}{4}
  5. x(x+1)2x=xx⋅x+12=x+12\frac{x(x+1)}{2x}=\frac{x}{x}\cdot \frac{x+1}{2}=\frac{x+1}{2}
  6. a+b2a\frac{a+b}{2a} nicht möglich
  7. x(x+1)2x+1\frac{x(x+1)}{2x+1} nicht möglich
  8. x⋅x+13x\frac{x\cdot x+1}{3x} nicht möglich
  9. x2x−1+1x⋅x−1\frac{x^2\sqrt{x-1}+1}{x\cdot \sqrt{x-1}} nicht möglich