Die Ableitung von gewichteten Summen

Gegeben sein zwei Funktionen ff und gg, und zwei Konstanten aa und bb. Die Summe

h=a⋅f+b⋅gh=a\cdot f+b\cdot g

wird gewichtete Summe (oder Linearkombination) von ff und gg genannt. Die "Gewichte" aa und bb werden auch Koeffizienten genannt. Gewichtete Summen können wie folgt differenziert werden:

Theorem 1: Satz über gewichtete Summen
Proof

Hier ist der Beweis. Für ein kleines ss (normalerweise brauchen wir hh, aber dieser Buchstabe ist schon besetzt), haben wir

f′(x)=lim⁡s→0f(x+s)−f(x)s≈f(x+s)−f(x)sf'(x)=\lim_{s\rightarrow 0} \frac{f(x+s)-f(x)}{s}\approx \frac{f(x+s)-f(x)}{s}g′(x)=lim⁡s→0g(x+s)−g(x)s≈g(x+s)−g(x)sg'(x)=\lim_{s\rightarrow 0} \frac{g(x+s)-g(x)}{s} \approx \frac{g(x+s)-g(x)}{s}

und

h(x)=lim⁡s→0h(x+s)−h(x)s≈h(x+s)−h(x)sh(x)=\lim_{s\rightarrow 0} \frac{h(x+s)-h(x)}{s} \approx \frac{h(x+s)-h(x)}{s}

Ersetzen wir h(x)h(x) mit a⋅f(x)+b⋅g(x)a\cdot f(x)+b\cdot g(x) im Ausdruck oben, so haben wir

h′(x)≈h(x+s)−h(x)s=a⋅f(x+s)+b⋅g(x+s)−(a⋅f(x)+b⋅g(x))s=a⋅f(x+s)+b⋅g(x+s)−a⋅f(x)−b⋅g(x))s=a⋅f(x+s)−a⋅f(x)+b⋅g(x+s)−b⋅g(x))s=a⋅f(x+s)−f(x)s−b⋅g(x+s)−g(x)s≈a⋅f′(x)+b⋅g′(x)\begin{array}{ll} h'(x) \approx \frac{h(x+s)-h(x)}{s} & = \frac{a\cdot f(x+s)+b\cdot g(x+s)- (a\cdot f(x)+b\cdot g(x))}{s} \\ & = \frac{a\cdot f(x+s)+b\cdot g(x+s)- a\cdot f(x)-b\cdot g(x))}{s}\\ & = \frac{a\cdot f(x+s)-a \cdot f(x) + b\cdot g(x+s)-b\cdot g(x))}{s}\\ & = a\cdot \frac{f(x+s)-f(x)}{s} - b\cdot \frac{g(x+s)-g(x)}{s} \\ & \approx a\cdot f'(x)+ b\cdot g'(x)\end{array}

Und dies beweist den Satz.

h(x)=a⋅f(x)+b⋅g(x)→h′(x)=a⋅f′(x)+b⋅g′(x)\boxed{h(x)=a\cdot f(x)+ b\cdot g(x) \rightarrow h^\prime(x)=a \cdot f^\prime(x)+b\cdot g^\prime(x)}

In Worten: Die Ableitung einer gewichteten Summe zweier Funktionen ist die gewichtete Summe deren Ableitungen.

Note 1
  • h(x)=a⋅f(x)→h′(x)=a⋅f′(x)h(x)=a\cdot f(x) \rightarrow h'(x)=a\cdot f'(x) (setze b=0b=0)
  • h(x)=f(x)+g(x)→h′(x)=f′(x)+g′(x)h(x)=f(x)+g(x) \rightarrow h'(x)=f'(x)+g'(x) (setze a=b=1a=b=1)
  • h(x)=a⋅f(x)+b⋅g(x)+...+c⋅k(x)→h′(x)=a⋅f′(x)+b⋅g′(x)+...+c⋅k′(x)h(x)=a\cdot f(x)+b\cdot g(x)+ ... + c\cdot k(x) \rightarrow h'(x)=a\cdot f'(x)+b\cdot g'(x)+ ...+ c\cdot k'(x)
Example 1

Die Ableitung von

h(x)=3x4+6x2=3⏟a⋅x4⏟f(x)+6⏟b⋅x2⏟g(x)h(x)=3x^4+6x^2 = \underbrace{3}_{a}\cdot \underbrace{x^4}_{f(x)}+\underbrace{6}_{b}\cdot \underbrace{x^2}_{g(x)}

ist

h′(x)=3⏟a⋅4x3⏟f′(x)+6⏟⋅2x1⏟g′(x)=12x3+12xh'(x)= \underbrace{3}_{a}\cdot \underbrace{4 x^3}_{f'(x)}+\underbrace{6}\cdot \underbrace{2 x^1}_{g'(x)}=12 x^3+12 x

Achtung: Für die Multiplikation gilt nicht das gleiche Gesetz. Daher für für h=f⋅gh=f\cdot g ist im allgemeinen h′≠f′⋅g′h^\prime \neq f^\prime \cdot g^\prime. Siehe Aufgabe unten.

Exercise 1

Zeige, für h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)\cdot g(x) gilt im allgemeinen h′(x)≠f′(x)⋅g′(x)h'(x)\neq f'(x)\cdot g'(x).

Tipp: Brauche Potenzfunktionen für ff und gg.

Solution

Zum Beispiel f(x)=x3f(x)=x^3 and g(x)=x7g(x)=x^7, also gilt

h(x)=f(x)⋅g(x)=x3⋅x7=x10→h′(x)=10x9h(x)=f(x)\cdot g(x)= x^3\cdot x^7=x^{10} \rightarrow h'(x)=10 x^9

Aber dies ist nicht

f′(x)⋅g′(x)=3x2⋅7x6=21x8f'(x)\cdot g'(x) = 3x^2\cdot 7x^6 = 21x^{8}

Wie können wir also das Produkt zweier Funktionen differenzieren? Wir werden die allgemeine Regel später diskutieren. Für Das Produkt von Potenzfunktionen ist es jedoch relative einfach. Siehe das Beispiel unten.

Example 2

Bestimme die Ableitung der Funktion h(x)=x2⋅xh(x)=x^2\cdot \sqrt{x}

Solution

h(x)=x2⋅x=x2⋅x1/2=x2.5→h′(x)=2.5x1.5h(x)=x^2\cdot\sqrt{x}=x^2\cdot x^{1/2}=x^{2.5} \rightarrow h'(x)=2.5 x^{1.5}