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Exercise 1

  1. Gegeben ist die Funktion f(x)=x2+xf(x)=x^2+x. AA und BB sind zwei Punkte auf dem Graphen mit Ax=1A_x=1 und Bx=3B_x=3.

    1. Skizziere den Graphen ff und zeichne die Punkte AA und BB ein.
    2. Bestimme die präzise Sekantensteigung.
    3. Gib eine Schätzung von f′(1)f^\prime(1) basierend auf der Skizze.
    4. Bestimme den präzisen Wert von f′(1)f^\prime(1) mit Hilfe des Differentialquotienten.
    5. Bestimme den präzisen Wert von f′(1)f^\prime(1) mit Hilfe der Ableitungsregel für gewichtete Summen.
    6. Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von ff bei AA.
    7. Finde einen Punkt CC auf dem Graphen von ff so, dass die Tangente bei CC die Steigung 00 besitzt. Was ist interessant an diesem Punkt?

  2. Bestimme die Ableitung (und vereinfache):

    1. f(x)=3f(x)=3
    2. f(x)=x4f(x)=x^4
    3. f(x)=x4f(x)=\sqrt[4]{x}
    4. f(x)=1x4f(x)=\frac{1}{x^4}
    5. f(x)=1x4f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x}}
    6. f(x)=x34f(x)=\sqrt[4]{x^3}
    7. f(x)=xx4f(x)=x\sqrt[4]{x}
    8. f(x)=x2xf(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x}}
    9. f(x)=x3x34f(x)=\sqrt{x^3}\sqrt[4]{x^3}
    10. f(x)=1x3xf(x)=\frac{1}{x^3\sqrt{x}}
    11. f(x)=3xf(x)=3x
    12. f(x)=3x+4f(x)=3x+4
    13. f(x)=−x−1f(x)=-x-1
    14. f(x)=3x5f(x)=3x^5
    15. f(x)=−x7f(x)=-x^7
    16. f(x)=2x−4x2+6x3f(x)=2x-4x^2+6x^3
    17. f(x)=−x3+5f(x)=-x^3+5
    18. f(x)=3x2+4x0.5f(x)=3x^2+4x^{0.5}
    19. f(x)=2xf(x)=\frac{2}{x}
    20. f(x)=(2x)3f(x)=(2x)^3
    21. f(x)=4x3f(x)=\sqrt{4x^3}
    22. f(x)=3x4+5f(x)=\frac{3}{x^4}+5
    23. f(x)=x2−1x+1f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}
    24. f(x)=x(x+x)f(x)=x(x+\sqrt{x})
    25. f(x)=x(x+1)(x+2)f(x)=x(x+1)(x+2)
    26. f(x)=2x3−3x+4f(x)=\frac{2}{x^3}-3\sqrt{x}+4
    27. f(x)=43xf(x)=4\sqrt{3x}
    28. f(x)=3x5f(x)=\frac{3}{x^5}
    29. f(x)=(x−1)3f(x)=(x-1)^3

  3. Gegeben ist die Funktion ff. Die Tangente an den Graphen an ff im Punkt A(3∣5)A(3|5) hat die Steigung 2.12.1.

    1. Bestimme die Tangentengleichung.
    2. Wo schneidet die Tangente die xx-Achse, wo die yy-Achse?
    3. Bestimme f′(3)f^\prime(3).

  4. Gegeben ist die Funktion f(x)=x3f(x)=x^3. Finde die Punkte auf dem Graphen von ff wo die Tangente die Steigung 88 besitzt.

  5. Gegeben ist die Funktion f(x)=14x4−4x2+25f(x)=\frac{1}{4} x^4-4x^2+25. Bestimme die Tangentengleichung an den Graphen von ff bei x=1x=1.

  6. Eine Tangente an den Graphen der Funktion f(x)=7x2−x3f(x)=7x^2-x^3 hat Steigung 1616. Wo berührt die Tangente den Graphen? Finde die Koordinaten.

  7. Das Polynom f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c geht durch den Punkt (1∣2)(1|2) und hat eine horizontale Tangente im Punkt (2∣1)(2|1). Bestimme die Werte aa, bb und cc.

Solution

  1. f(x)=x2+xf(x)=x^2+x, A(1∣f(1))=A(1∣2)A(1\vert f(1))=A(1\vert 2) und B(3∣f(3))=B(3∣12)B(3\vert f(3))=B(3\vert 12).

    1. Graph ist oben gezeigt.
    2. Die exakte Steigung ist ΔyΔx=By−AyBx−Ax=12−23−1=5‾‾\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{B_y-A_y}{B_x-A_x}=\frac{12-2}{3-1}=\underline{\underline{5}}.
    3. f′(1)f^\prime(1) ist die Steigung der Tangente an ff bei x=1x=1 (gestrichelte Linie oben), daher beim Punkt A(1∣f(1))=A(1∣2)A(1\vert f(1))=A(1\vert 2). Zeichne die Tangente und schätze die Steigung mit dem Steigungsdreieck, etwa a≈ΔyΔx≈2.7cm1.0cm=2.7‾‾a\approx \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx \frac{2.7 cm}{1.0 cm}=\underline{\underline{2.7}}.
    4. a=f′(1)=lim⁡h→0f(1+h)−f(1)ha=f^\prime(1)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}. Wir haben f(1+h)−f(1)h=(1+h)2+(1+h)−(12+1)h=12+2h+h2+1+h−2h=3h+h2h=h(3+h)h=3+h\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^2+(1+h)-(1^2+1)}{h}=\frac{1^2+2h+h^2+1+h-2}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=\frac{h(3+h)}{h}=3+h. Also a=f′(1)=3‾‾a=f^\prime(1)=\underline{\underline{3}}.
    5. f(x)=x2+x=x2+x1→f′(x)=2x+1⋅x0=2x+1f(x)=x^2+x=x^2+x^1 \rightarrow f^\prime(x)=2x+1\cdot x^0=2x+1. Also, a=f′(1)=2⋅1+1=3‾‾a=f^\prime(1)=2\cdot 1+1=\underline{\underline{3}} (vgl. oben).
    6. Die Tangentengleichung ist t(x)=ax+bt(x)=ax+b, wobei aa a die Steigung der Tangente ist, also a=f′(1)=3a=f^\prime(1)=3 (siehe oben). Wir haben also t(x)=3x+bt(x)=3x+b. Um bb zu finden, beachte, dass t(1)=f(1)=12+1=2t(1)=f(1)=1^2+1=2 (da sich die zwei Graphen ff und tt bei x=1x=1 berühren), und somit t(1)=3⋅1+b=2→b=−1t(1)=3\cdot 1+ b = 2 \rightarrow b=-1. Also, t(x)=3x−1‾‾\underline{\underline{t(x)=3 x-1}}.
    7. Die Steigung der Tangente muss 00 sein (horizontal). Finde also xx mit f′(x)=2x+1=0→x=−0.5f^\prime(x) =2 x+1 =0 \rightarrow x=-0.5. Punkt CC hat somit die Koordinaten C(−0.5∣f(−0.5))=C(−0.5∣−0.25)‾‾C(-0.5\vert f(-0.5))=\underline{\underline{C(-0.5\vert -0.25)}}. Dies ist der tiefste Punkt auf dem Graphen ff.

  2. Bestimme f′f^\prime:

    1. f(x)=3=3x0→f′(x)=3⋅0⋅x−1=0f(x)=3=3x^0\rightarrow f^\prime(x)=3\cdot 0\cdot x^{-1}=0
    2. f(x)=x4→f′(x)=4x3f(x)=x^4 \rightarrow f^\prime(x) = 4x^3
    3. f(x)=x4=x1/4→f′(x)=14x14−1=14x−34f(x)=\sqrt[4]{x}=x^{1/4} \rightarrow f^\prime(x)=\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}
    4. f(x)=1x4=x−4→f′(x)=−4⋅x−4−1=−4x−5f(x)=\frac{1}{x^4}=x^{-4}\rightarrow f^\prime(x)=-4\cdot x^{-4-1}=-4x^{-5}
    5. f(x)=1x4=1x1/4=x−14→f′(x)=−14x−14−1=−14x−54f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x}}=\frac{1}{x^{1/4}}=x^{-\frac{1}{4}}\rightarrow f^\prime(x) = -\frac{1}{4} x^{-\frac{1}{4}-1}=-\frac{1}{4} x^{-\frac{5}{4}}
    6. f(x)=x34=(x3)14=x34→f′(x)=34x34−1=34x−14f(x)=\sqrt[4]{x^3}=(x^3)^\frac{1}{4}=x^\frac{3}{4}\rightarrow f^\prime(x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4}-1}=\frac{3}{4} x^{-\frac{1}{4}}
    7. f(x)=xx4=x1⋅x14=x54→f′(x)=54x54−1=54x14f(x)=x\sqrt[4]{x} = x^1 \cdot x^\frac{1}{4}=x^\frac{5}{4} \rightarrow f^\prime(x)=\frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1}=\frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}
    8. f(x)=x2x=x2⋅1x1/2=x2⋅x−1/2=x1.5→f′(x)=1.5x0.5f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x}}=x^2\cdot \frac{1}{x^{1/2}}= x^2 \cdot x^{-1/2} = x^{1.5} \rightarrow f^\prime(x)=1.5 x^{0.5}
    9. f(x)=x3x34=(x3)1/2⋅(x3)1/4=x3/2⋅x3/4=x9/4→f′(x)=94x54f(x)=\sqrt{x^3}\sqrt[4]{x^3} = (x^3)^{1/2}\cdot (x^3)^{1/4} = x^{3/2} \cdot x^{3/4} = x^{9/4}\rightarrow f^\prime(x)=\frac{9}{4}x^\frac{5}{4}
    10. f(x)=1x3x=1x3.5=x−3.5→f′(x)=−3.5x−4.5f(x)=\frac{1}{x^3\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{3.5}}=x^{-3.5} \rightarrow f^\prime(x)=-3.5 x^{-4.5}
    11. f(x)=3x=3x1→f′(x)=3⋅1⋅x0=3f(x)=3x=3x^1 \rightarrow f^\prime(x)=3\cdot 1\cdot x^0=3
    12. f(x)=3x+4=3x1+4x0→f′(x)=3⋅1⋅x0+4⋅0⋅x−1=3f(x)=3x+4=3x^1+4x^0\rightarrow f^\prime(x)=3\cdot 1 \cdot x^0 + 4\cdot 0\cdot x^{-1} = 3
    13. f(x)=−x−1=−1⋅x1−x0→f′(x)=−1⋅1⋅x0−0⋅x−1=−1f(x)=-x-1=-1\cdot x^1 - x^0 \rightarrow f^\prime(x)=-1\cdot 1 \cdot x^0 -0\cdot x^{-1} = -1
    14. f(x)=3x5→f′(x)=3⋅5⋅x4=15x4f(x)=3x^5\rightarrow f^\prime(x)=3\cdot 5\cdot x^4 =15x^4
    15. f(x)=−x7=−1⋅x7→f′(x)=−1⋅7⋅x6=−7x6f(x)=-x^7=-1\cdot x^7 \rightarrow f^\prime(x)=-1\cdot 7\cdot x^6 =-7x^6
    16. f(x)=2x−4x2+6x3→f′(x)=2−8x+18x2f(x)=2x-4x^2+6x^3\rightarrow f^\prime(x)=2-8x+18x^2
    17. f(x)=−x3+5→f′(x)=−3x2f(x)=-x^3+5\rightarrow f^\prime(x)=-3x^2
    18. f(x)=3x2+4x0.5→f′(x)=6x+2x−0.5f(x)=3x^2+4x^{0.5}\rightarrow f^\prime(x)=6x+2x^{-0.5}
    19. f(x)=2x=2⋅1x=2⋅x−1→f′(x)=2⋅(−1)⋅x−2=−2x−2f(x)=\frac{2}{x}=2\cdot \frac{1}{x}=2\cdot x^{-1} \rightarrow f^\prime(x)=2\cdot (-1)\cdot x^{-2}=-2x^{-2}
    20. f(x)=(2x)3=23⋅x3=8x3→f′(x)=24x2f(x)=(2x)^3 = 2^3\cdot x^3 = 8x^3 \rightarrow f^\prime(x)=24x^2
    21. f(x)=4x3=(4x3)1/2=41/2⋅x3/2=2x1.5→f′(x)=3x0.5f(x)=\sqrt{4x^3}=(4x^3)^{1/2}=4^{1/2}\cdot x^{3/2} = 2 x^{1.5} \rightarrow f^\prime(x)=3 x^{0.5}
    22. f(x)=3x4+5=3⋅1x4+5=3x−4+5x0→f′(x)=3⋅(−4)⋅x−5+0=−12x−5f(x)=\frac{3}{x^4}+5 = 3\cdot\frac{1}{x^4}+5 = 3 x^{-4} +5x^0\rightarrow f^\prime(x)=3\cdot (-4)\cdot x^{-5}+0=-12x^{-5}
    23. f(x)=x2−1x+1=(x−1)(x+1)x+1=x−1→f′(x)=1f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1\rightarrow f^\prime(x)=1
    24. f(x)=x(x+x)=x2+x⋅x1/2=x2+x1.5→f′(x)=2x+1.5x0.5f(x)=x(x+\sqrt{x})=x^2+x\cdot x^{1/2} =x^2 + x^{1.5}\rightarrow f^\prime(x)=2x+1.5x^{0.5}
    25. f(x)=x(x+1)(x+2)=(x2+x)(x+2)=x3+3x2+2x→f′(x)=3x2+6x+2f(x)=x(x+1)(x+2)=(x^2+x)(x+2)=x^3+3x^2+2x \rightarrow f^\prime(x)=3x^2+6x+2
    26. f(x)=2x3−3x+4=2x−3−3x0.5+4→f′(x)=−6x−4−1.5x−0.5f(x)=\frac{2}{x^3}-3\sqrt{x}+4 = 2x^{-3}-3x^{0.5}+4\rightarrow f^\prime(x)=-6x^{-4}-1.5x^{-0.5}
    27. f(x)=43x=4⋅(3x)1/2=4⋅31/2⋅x1/2→f′(x)=4⋅31/2⋅0.5⋅x−0.5=23⋅x−0.5f(x)=4\sqrt{3x} = 4\cdot (3x)^{1/2}=4\cdot 3^{1/2} \cdot x^{1/2} \rightarrow f^\prime(x)=4\cdot 3^{1/2} \cdot 0.5 \cdot x^{-0.5} = 2\sqrt{3}\cdot x^{-0.5}
    28. f(x)=3x5=3⋅1x5=3⋅x−5→f′(x)=−15x−6f(x)=\frac{3}{x^5} = 3\cdot \frac{1}{x^5}=3\cdot x^{-5} \rightarrow f^\prime(x)=-15 x^{-6}
    29. f(x)=(x−1)3=(x−1)(x2−2x+1)=x3−3x2+3x−1→f′(x)=3x2−6x+3f(x)=(x-1)^3 = (x-1)(x^2-2x+1)= x^3-3x^2+3x-1\rightarrow f^\prime(x)=3x^2-6x+3

  3. Die Tangente zum Graphen von ff bei A(3∣5)A(3|5) hat Steigung 2.12.1.

    1. t(x)=ax+bt(x)=ax+b, mit a=2.1a=2.1, also t(x)=2.1x+bt(x)=2.1 x+b. Mit t(3)=f(3)=5t(3)=f(3)=5 (Tangente tt und ff berühren sich bei x=3x=3), haben wir t(3)=2.1⋅3+b=5→b=−1.3t(3)=2.1\cdot 3+b=5 \rightarrow b= -1.3. Also t(x)=2.1x−1.3‾‾\underline{\underline{t(x)=2.1 x-1.3}}
    2. Schnittpunkt mit xx-Achse: finde xx mit t(x)=2.1x−1.3=0→x=0.619‾‾t(x)=2.1x-1.3=0 \rightarrow x=\underline{\underline{0.619}}. Schnittpunkt mit yy-Achse: y=t(0)=−1.3‾‾y=t(0)=\underline{\underline{-1.3}}.
    3. f′(3)=2.1‾‾f^\prime(3)=\underline{\underline{2.1}}.

  4. Finde xx mit f′(x)=3x2=8→x=±83‾‾f^\prime(x)=3x^2 = 8 \rightarrow x=\underline{\underline{\pm \sqrt{\frac{8}{3}}}}.

  5. f(x)=14x4−4x2+25→f′(x)=x3−8xf(x)=\frac{1}{4} x^4-4x^2+25 \rightarrow f^\prime(x)=x^3-8x. Tangente bei x=1x=1 ist t(x)=ax+bt(x)=ax+b, mit a=f′(1)=1−8=−7a=f^\prime(1)=1-8=-7. Also t(x)=−7x+bt(x)=-7x+b. Da t(1)=f(1)=14−4+25=21.25t(1)=f(1)=\frac{1}{4}-4+25=21.25, gilt t(1)=−7⋅1+b=21.25→b=28.25t(1)=-7\cdot 1+b=21.25 \rightarrow b= 28.25. Also t(x)=−7x+28.25‾‾t(x)=\underline{\underline{-7x+28.25}}.

  6. Finde xx mit f′(x)=14x−3x2=16→3x2−14x+16=0f^\prime(x)=14x-3x^2=16 \rightarrow 3x^2-14x+16=0. Mit der Mitternachtsformel folgt x1,2=14±196−1926=14±26x_{1,2}=\frac{14\pm\sqrt{196-192}}{6}=\frac{14\pm 2}{6}. Also x1=83x_1=\frac{8}{3} und x2=2x_2=2. Die Berührungspunkte sind also A1(83∣f(83))=A1(83∣83227)‾‾A_1(\frac{8}{3}\vert f(\frac{8}{3}))=\underline{\underline{A_1(\frac{8}{3}\vert \frac{832}{27})}} und A2(2∣f(2))=A2(2∣20)‾‾A_2(2 \vert f(2))=\underline{\underline{A_2(2 \vert 20)}}

  7. f(x)=ax2+bx+c→f′(x)=2ax+bf(x)=ax^2+bx+c \rightarrow f^\prime(x)=2ax+b. Der Graph von ff geht durch (1∣2)→f(1)=2→a+b+c=2(1\vert 2) \rightarrow f(1)=2 \rightarrow a+b+c=2. Und ff hat eine horizontale Tangente bei (2∣1)→f′(2)=0→2a⋅2+b=0→4a+b=0(2\vert 1) \rightarrow f^\prime(2)=0 \rightarrow 2a\cdot 2 + b =0 \rightarrow 4a+b=0. Ebenfalls muss gelten, dass (2∣1)(2\vert 1) auf dem Graphen von ff liegt, also haben wir f(2)=1→4a+2b+c=1f(2)=1 \rightarrow 4a+2b+c=1. Wir erhalten die drei Gleichungen:

    4a+b=0a+b+c=24a+2b+c=1\begin{array}{rcl} 4a+b & = & 0\\ a+b+c & = & 2 \\ 4a+2b+c & = & 1 \end{array}

    Aus der ersten Gleichung folgt 4a=−b4a=-b und somit b=−4ab=-4a, setzen wir dies in die anderen zwei Gleichungen ein, erhalten wir ein neues Gleichungssystem

    a−4a+c=24a−8a+c=1\begin{array}{rcl} a-4a+c & = & 2\\ 4a-8a+c & = & 1\end{array}

    und somit

    c=2+3ac=1+4a\begin{array}{rcl} c & = & 2+3a\\ c & = & 1+4a\end{array}

    Also ist 2+3a=1+4a→a=12+3a=1+4a \rightarrow a=1, und somit b=−4a=−4b=-4a=-4 und c=2+3a=5c=2+3a=5. Es folgt f(x)=x2−4x+5‾‾f(x)=\underline{\underline{x^2-4x+5}}