Die trigonometrischen Beziehungen

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel $\alpha$:

Wir haben gesehen, dass der Tangens $\tan$ den Winkel in die Steigung $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ umwandelt, oder mit der Notation hier, in das Verhältnis $\frac{G}{A}$, und der Arkustangens wandelt das Verhältnis $\frac{G}{A}$ in den Winkel $\alpha$ um:

Analog wandelt der Sinus den Winkel $\alpha$ in das Verhältnis $\frac{G}{H}$ um, und der Kosinus wandelt $\alpha$ in das Verhältnis $\frac{A}{H}$ um. Der Arkussinus und der Arkuskosinus wandeln die Verhältnisse $\frac{G}{H}$ und $\frac{A}{H}$ in den Winkel $\alpha$ um:

Welche Verhältnisse zu welchen trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens gehören, sollte am besten mit einer Eselsbrücke auswendig gelernt werden, etwa mit:

• singh, cosah, tanga, oder
• Gustav Hausers alte Hennen gackern am Abend gerne

Exercise 1

Bestimme die fehlenden Seitenlängen.

Solution

1. $\sin(50^\circ)=\frac{G}{H}=\frac{x}{10} \rightarrow x=10\cdot \sin(50^\circ)=7.66$. Seite $y$ lässt sich zum Beispiel mit dem Satz von Pythagoras bestimmen, daher $y=\sqrt{10^2-7.66^2}=6.428$. Eine andere Möglichkeit ist es, den Kosinus oder den Tangens to verwenden.
2. $\cos(50^\circ)=\frac{A}{H}=\frac{10}{y} \rightarrow y\cdot \cos(50^\circ)=10 \rightarrow y=\frac{10}{\cos(50^\circ)}=15.557$. Mit Pythagoras: $x=\sqrt{15.557^2-10^2}=11.917$.
3. $\sin(50^\circ)=\frac{A}{H}=\frac{10}{x} \rightarrow x\cdot \sin(50^\circ)=10 \rightarrow x=\frac{10}{\sin(50^\circ)}=13.054$. Mit Pythagoras: $y=\sqrt{13.054^2-10^2}=8.391$.
4. $\sin(40^\circ)=\frac{G}{H}=\frac{y}{10} \rightarrow y=10\cdot \sin(40^\circ)=6.428$. Mit Pythagoras: $x=\sqrt{10^2-6.428^2}=7.66$. Beachte, dass dies die gleichen Seitenlängen sind wie in der ersten Aufgabe. Der Winkel in der linken unteren Ecke des Dreiecks ist nämlich gerade $50^\circ$ (da die Winkelsumme im Dreieck $180^\circ$ ergeben muss). Es ist also in der Tat das gleiche Dreieck wie in der ersten Aufgabe.

Exercise 2

Bestimme die Winkel $\alpha$ und $\beta$.

Solution

1. $\alpha=\sin^{-1}(\frac{G}{H})=\sin^{-1}(\frac{3}{10})=17.46^\circ$. Den Winkel $\beta$ könnten wir ebenfalls mit den trigonometrischen Beziehungen ausrechnen, ist aber einfacher mit der Winkelsumme von $180^\circ$ in jedem Dreieck: $\beta=$180^\circ-90^\circ-17.46^\circ=72.54^\circ$.
2. $\alpha=\cos^{-1}(\frac{A}{H})=\cos^{-1}(\frac{5}{10})=60^\circ$. $\beta=$180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ$.
3. $\alpha=\tan^{-1}(\frac{G}{A})=\tan^{-1}(\frac{4}{6})=33.69^\circ$. $\beta=$180^\circ-90^\circ-33.69^\circ=56.31^\circ$.

Wie tief ist das Wasser?

Bestimme den Schnittwinkel des Graphen der linearen Funktion $f(x)=3x+2$ mit der $x$-Achse.