Logarithmen

Wir starten beispielhaft mit einer Exponentialfunktion, welche einen radioaktiven Zerfall beschreibt.

Example 1

Nach welcher Zeit $t$ sinkt die Menge $m_0$ eines radioaktiven Stoffes mit der Halbwertszeit $T=\qty{30}{y}$ auf einen Zehntel des ursprünglichen Wertes? Wir bezeichnen die Zeit mit $t$ und nehmen als Einheit $\qty{30}{y}$ , die Masse zu Beginn sei $m_0$ . Also haben wir für die Restmasse $m$ zur Zeit $t$ :

m(t)=m_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^t

Um zu berechnen, wann noch $\frac{m_0}{10}$ übrig sind, lösen wir die zugehörige Gleichung nach $t$ auf:

\begin{align*} \frac{m_0}{10}&=m_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^t\tag{$\div m_0$}\\ \frac{1}{10}&=\left(\frac{1}{2}\right)^t\tag{$(\phantom{x})^{-1}$}\\ 10&=2^t \end{align*}

Das Auflösen nach $t$ gelingt uns leider nicht, weil die gesuchte Variable im Exponenten steht. Wir sind gezwungen zu raten und mit "trial and error" zu approximieren. Wegen $2^3<10<2^4$ ist $3<t<4$ , und man findet als Näherung:

t\approx 3.32

Antwort: Man hat nach ca. $\qty{99.6}{y}$ noch einen Zehntel der ursprünglichen Masse.

Diese Lösung ist unbefriedigend, da $t$ nicht genau bestimmt werden konnte. Das Problem liegt darin, dass wir zur Exponentialfunktion $f(x)=2^x$ zwar den $y$ -Wert $10$ kennen, nicht aber den $x$ -Wert. Wir suchen also die Inversfunktion der Exponentialfunktion $2^x$ , die zu einem gegebenen $y$ -Wert den ursprünglichen $x$ -Wert liefert. Wie diese Funktion heisst bzw. definiert ist, wird im nächsten Abschnitt erläutert.

Die Logarithmusfunktion

Wir möchten also eine gegebene Gleichung mit einer Variable im Exponenten lösen können. Dafür gehen wir von den bereits bekannten Exponentialfunktionen aus. Die Exponentialfunktion

f(x)=b^x

ist für $0<b<1$ streng monoton fallend und für $b>1$ streng monoton wachsend und damit injektiv. Deshalb existiert eine Umkehrfunktion $f^{-1}$ . Diese nennt man Logarithmusfunktion zur Basis $b$ und bezeichnet sie mit $\log_b$ .

Exercise 1

Zeichne die Funktion $f(x)=2^x$ und den Graphen der Inversfunktion $f^{-1}(x)=\log_2(x)$ . Siehst du den bekannten grafischen Zusammenhang zwischen Funktion und Inversfunktion?

Solution

Verwende Geogebra, um zu sehen, dass Funktion und Inversfunktion symmetrisch bezüglich der Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y=x$ sind.

Exercise 2

Betrachte den Graphen der Funktion $f(x)=\log_2(x)$ in einem Koordinatensystem.

a) Verschiebe den Graphen in positiver $x$ -Richtung um 2 Einheiten.

b) Spiegle den Graphen an der x-Achse.

Gib jeweils die Gleichung der Bildkurve an.

Solution

Wiederum konsultiert man Geogebra.

a) $g(x)=f(x-2)=\log_2(x-2)$

b) $g(x)=-f(x)=-\log_2(x)$

Mit der \fbox{log}-Taste kann man Werte von Variablen in Exponenten bestimmen. Um sie korrekt einsetzen zu können, wird erst definiert, was unter einem Logarithmus verstanden wird. Die Definition entspricht grundsätzlich einer Regel zum Umschreiben von Exponentialfunktionen.

Definition 1

Unter dem Logarithmus von $y$ zur Basis $b$ , geschrieben

\log_b{y},

versteht man diejenige Zahl $x\in\mathbb{R}$ , welche als Exponent der Basis $b\in\mathbb{R}^+\setminus{\{1\}}$ den Wert $y$ ergibt. Mathematisch notiert wird diese Aussage übersichtlich:

x=\log_b{(y)}\quad :\Leftrightarrow \quad b^x=y

$y$ nennt man Numerus und $b$ Basis des Logarithmus.

Note 1

Bei Betrachtung obiger Äquivalenz wird klar, dass der Logarithmus nur für $y,b\in\mathbb{R}^+$ und $b\neq 1$ definiert ist.

Exercise 3

Überlege kurz, welche Probleme entstünden, wenn man $y,b\in\mathbb{R}$ zulassen würde.

Solution

Für $b=1$ gäbe es im Allgemeinen keinen Funktionswert. Für $y\in\mathbb{R}^-$ gäbe es für gerade Exponenten oder Wurzeln allenfalls keine Funktionswerte.

Example 2

Den Logarithmus von $y$ zur Basis $b$ zu finden, ist gleichwertig mit der Beantwortung der Frage: " $b$ hoch was ergibt $y$ ?"
$\log_2{(8)}=3$ : Der Logarithmus von $8$ zur Basis $2$ ist $3$ , denn $2^3=8$ .
$\log_{10}{(100)}=2$ , weil $10^2=100$ .
$\log_{\frac{1}{3}}{(\frac{1}{9})}=2$ , da $(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$ .

Exercise 4

Bestimme ohne Taschenrechner:

a) $\log_{10}(1000)$ , $\log_{10}(1000000)$ , $\log_{10}(10^6)$ , $\log_{10}(10^{837})$

b) $\log_{10}(0.1)$ , $\log_{10}(0.01)$ , $\log_{10}(\frac{1}{10})$ , $\log_{10}(\frac{1}{10\,000})$

c) $\log_{2}(4)$ , $\log_{2}(1024)$ , $\log_{2}(\frac{1}{4})$ , $\log_{2}(\frac{1}{512})$

d) $\log_{\mathrm{e}}(1)$ , $\log_{\mathrm{e}}(\mathrm{e})$ , $\log_{\mathrm{e}}(\mathrm{e}^3)$ , $\log_{\mathrm{e}}(\frac{1}{\mathrm{e}^4})$ , $\log_\mathrm{e}(\sqrt{\mathrm{e}})$

e) $\log_b(1)$ , $\log_b(\sqrt[k]{b})$ , $\log_b(\frac{1}{b^2})$ , $\log_b(0)$

Solution

a) $3$ , $6$ , $6$ , $837$

b) $-1$ , $-2$ , $-1$ , $-4$

c) $2$ , $10$ , $-2$ , $-9$

d) $0$ , $1$ , $3$ , $-4$ , $\frac{1}{2}$

e) $0$ , $\frac{1}{k}$ , $-2$ , n.d.

Der folgende Satz folgt direkt aus der Definition und bringt die saloppe Formulierung aus dem obigen Beispiel auf den Punkt.

Theorem 1

Jeder Logarithmus ist ein Exponent.

Proof

Trivial: Nach Definition mit den üblichen Parametern ist $\log_b(y)=x :\Leftrightarrow b^x=y$ , also steht der Logarithmus im Exponenten.

Erstens wird anstelle von $\log_b(y)$ nun oft $\log_b(x)$ geschrieben. Das $y$ wurde verwendet, um klar darzustellen, dass der Logarithmus $x=\log_b(y)$ die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion $y=b^x$ ist. In anderen Worten wird hier der Schritt "Vertauschung der Variablen" – der ja beim Algorithmus zur Bestimmung von Inversfunktionen als letzter erfolgt – schliesslich vorgenommen. Zweitens kommt als Basis $b$ des Logarithmus

\log_b(x)

oft eine der drei Zahlen $2$ , $\mathrm{e}$ (Eulersche Zahl) oder $10$ vor. Deshalb legt man folgende, kürzere Schreibweisen fest:

$\log_{10}(x)=\log{x}=\lg (x)$ (Zehnerlogarithmus)
$\log_{\mathrm{e}}{(x)}=\ln{(x)}$ (Logarithmus naturalis)
$\log_{2}{(x)}=\text{lb}_{}{(x)}$ (Logarithmus dualis)

Oft wird der Numerus in Klammern geschrieben, um deutlich zu kennzeichnen, was alles zum Logarithmus gehört. Zum Beispiel:

\log_{3.5}(4x^3+2x-1)

Exercise 5

Lasse von Geogebra folgende Logarithmusfunktionen zeichnen:

$f(x) = \log (x)$
$g(x) = \ln (x)$

Solution

Exercise 6

Die Funktion

f(x)=\log_b(x)

ist für $b >1$ eine monoton wachsende Funktion. Allerdings ist dieses Wachstum sehr langsam. Um einen Eindruck davon zu bekommen, denke man sich ein Koordinatensystem, dessen $x$ -Achse mehrere Äquatorumfänge lang ist. Die Einheit sei $\qty{1}{cm}$ . Überprüfe die Abbildung für den Graphen von $\log(x)$ und zeichne die Werte von zwei weiteren "Erdumrundungen" in die Abbildung ein.

Berechne abschliessend die durchschnittliche Änderungsrate des Zehnerlogarithmus über der Strecke von $\qty{1}{cm}$ bis zu einem Erdumfang: $\frac{\Delta\log(x)}{\Delta x}$ über dem Intervall $[1, 2\pi r_{\mathrm{Erde}}]$ .

Solution

Wir nehmen für den mittleren Erdradius $r_E=\qty{6370}{km}$ , was einen Umfang von $U_E\approx\qty{40\,000}{km}$ ergibt. Das sind $\qty{4\,000\,000\,000}{cm}$ , und es ist $\log(4\,000\,000\,000)\approx 9.6$ . Eine Runde später haben wir ungefähr $9.9$ und nach der dritten Runde approximativ $10.2$ .

Die durchschnittliche Änderungsrate ist:

\frac{\Delta\log(x)}{\Delta x}=\frac{\log(2\pi r_E)-\log(1)}{2\pi r_E-1}\approx\frac{\log(4\cdot 10^9)}{4\cdot 10^9}\approx 2.4\cdot 10^{-9}

Rechnen wir das in $\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{km}}$ um, so sind es $0.0024$ Millimeter Höhe pro Kilometer Länge!

Exercise 7

Berechne mit dem Taschenrechner folgende Logarithmen, und kontrolliere deine Berechnung, indem du $10$ "hoch" dein jeweiliges Resultat eintippst:

a) $\log_{}{(7)}$

b) $\log_{}{(1001)}$

c) $\log_{}{(1024)}$

d) $\log_{}{(0.101)}$

e) $\log_{}{(10^{-23})}$

f) $\log_{}{(0.5)}$

Solution

a) $\approx 0.85$

b) $\approx 3$

c) $\approx 3.01$

d) $\approx -0.996$

e) $-23$

f) $\approx -0.3$

Exercise 8: Potenzen

Löse die Gleichung $\mathrm{e}^x = \sqrt{\mathrm{e}}$ .

Solution

Durch Umschreiben sieht man, dass wegen $\sqrt{\mathrm{e}}=\mathrm{e}^\frac{1}{2}$ gilt: $x=\frac{1}{2}$ .

Exercise 9

Löse jeweils nach $x$ :

a) $3=10^x$

b) $30=7\cdot 8^x$

c) $5\cdot 13^{x-3}=\sqrt{37}$

d) $2\cdot 2^x=49$

e) $-3=10^x$

f) $2x=10^x$

Solution

a) $x=\log(3)\approx 0.477$

b) $\frac{30}{7}=8^x\Leftrightarrow x=\log_8(\frac{30}{7})\approx 0.7$

c) $x-3=\log_{13}(\frac{\sqrt{37}}{5})\Leftrightarrow x=3+\log_{13}(\frac{\sqrt{37}}{5})\approx 3.0764$

d) $2^{x+1}=49\Leftrightarrow x+1=\log_2(49)\Leftrightarrow x=\log_2(49)-1\approx 4.6$

e) Hat keine Lösung, da $10^x>0\;\forall x\in\mathbb{R}$ .

f) Ist analytisch ohne Weiteres nicht lösbar, da die gesuchte Variable nicht isoliert werden kann: $x=\log(2x)$ .

Exercise 10

Schreibe folgende Exponentialfunktionen zur Basis $\mathrm{e}$ (e.g. $a\cdot b^x$ als $a\cdot\mathrm{e}^{cx}$ ):

a) $f(x) = 3\cdot 2^x$

b) $f(x) = 5\cdot 4^x$

c) $f(x) = 2\cdot 0.7^x$

d) $f(x) = 6\cdot 5^{\frac{x}{3}}$

e) $f(x) = 4\cdot \sqrt{3}^x$

f) $f(x) = 1.5\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^{2x}$

Solution

Um eine Basis $b$ zur Basis $\mathrm{e}$ umzuschreiben, nutzt man die Identität $b = \mathrm{e}^{\ln(b)}$ . Daraus folgt allgemein $b^{g(x)} = \mathrm{e}^{\ln(b)\cdot g(x)}$ .

a) $f(x) = 3\cdot 2^x = 3\cdot \mathrm{e}^{\ln(2)\cdot x}$

b) $f(x) = 5\cdot 4^x = 5\cdot \mathrm{e}^{\ln(4)\cdot x} \quad \left(\text{oder } 5\cdot \mathrm{e}^{2\ln(2)\cdot x}\right)$

c) $f(x) = 2\cdot 0.7^x = 2\cdot \mathrm{e}^{\ln(0.7)\cdot x}$

d) $f(x) = 6\cdot 5^{\frac{x}{3}} = 6\cdot \mathrm{e}^{\ln(5)\cdot \frac{x}{3}} = 6\cdot \mathrm{e}^{\frac{\ln(5)}{3}\cdot x}$

e) $f(x) = 4\cdot \sqrt{3}^x = 4\cdot \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^x = 4\cdot 3^{\frac{x}{2}} = 4\cdot \mathrm{e}^{\frac{\ln(3)}{2}\cdot x}$

f) $f(x) = 1.5\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^{2x} = 1.5\cdot \mathrm{e}^{\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)\cdot 2x} = 1.5\cdot \mathrm{e}^{2\cdot \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)\cdot x}$

Alternativer Rechenweg über die Potenzgesetze: $\left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{25}\right)^x \Rightarrow f(x) = 1.5\cdot \mathrm{e}^{\ln\left(\frac{2}{25}\right)\cdot x}\right)$

Die Logarithmensätze

Es folgen vier Logarithmenregeln. Die erste ist hilfreich beim Eintippen in den Taschenrechner. Die letzte beschreibt, wie man Gleichungen nach einer im Exponenten stehenden Variablen auflöst. Damit wird man in der Lage sein, die für unser Ausgangsproblem gesuchte Variable $t$ exakt zu bestimmen.

Die erste Regel besagt, dass jeder Logarithmus zu einer beliebigen Basis $b$ als Quotient von Logarithmen zu einer beliebigen Basis $n$ geschrieben werden kann.

Theorem 2

\log_b{(x)} = \frac{\log_n{(x)}}{\log_n{(b)}}

Um diesen Satz zu beweisen, brauchen wir eine der folgenden drei Rechenregeln, die leicht mit der Definition nachgewiesen werden können.

Theorem 3

Es gilt:

\begin{align*} \log_b{(u\cdot v)} &= \log_b{(u)} + \log_b{(v)}\\ \log_b{(\dfrac{u}{v})}&=\log_b{(u)} - \log_b{(v)}\\ \log_b{(u^n)}&=n\cdot\log_b{(u)} \end{align*}

Proof

Nach Definition; Hinweis: Erinnere dich daran, dass ein Logarithmus die Inversfunktion einer Exponentialfunktion ist und daher die Gesetze ähnlich zu den Potenzgesetzen sein müssen.

Die erste Regel: Wir setzen $\log_b(u)=:x$ und $\log_b(v)=:y$ . Es ist $u=b^x$ und $v=b^y$ , woraus $u\cdot v=b^x\cdot b^y=b^{x+y}$ folgt, also mit der Definition $\log_b(u\cdot v)=x+y=\log_b(u)+\log_b(v)$ .

Zur zweiten: Analog wie oben sieht man $u\div v=b^x\div b^y=b^{x-y}$ und damit $\log_b(u\div v)=x-y=\log_b(u)-\log_b(v)$ .

Die dritte Aussage erhält man mit vollständiger Induktion aus der Additionsregel oder $\log_b(u^n)=:x\Leftrightarrow b^x=u^n$ und daraus $u=b^\frac{x}{n}$ . Also $\log_b(u)=\frac{x}{n}\Leftrightarrow n\cdot\log_b(u)=x=\log_b(u^n)$ .

Wir haben ein paar Graphen anhand von Wertetabellen oder mit Geogebra gezeichnet.

Exercise 11

Skizziere die Graphen der Funktionen $f(x)=\log_\mathrm{e}(x)$ und $g(x)=\log_{\frac{1}{\mathrm{e}}}(x)$ in ein und dasselbe Koordinatensystem. Was fällt auf?

Solution

Es sei $\log_b{(x)} = y$ , also $b^y=x$ . Diese Exponentialgleichung logarithmieren wir auf beiden Seiten:

\log_n{(b^y)}=\log_n{(x)}

Mit der dritten Logarithmenregel folgt dann $y\cdot\log_n{(b)}=\log_n{(x)}\Leftrightarrow y=\frac{\log_n{(x)}}{\log_n{(b)}}$ . Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.

Exercise 12

Skizziere die Graphen der Funktionen $f(x)=\ln(x)$ und $g(x)=\mathrm{e}^x$ in ein und dasselbe Koordinatensystem. Was fällt auf? Erkläre das Ergebnis.

Solution

Wiederum überprüft man die Skizze mit Geogebra. Da $f$ und $g$ Inversfunktionen voneinander sind, sind die Graphen symmetrisch bezüglich der Achse $y=x$ .

Exercise 13

Vereinfache $\mathrm{e}^{\ln 2}$ , $\ln(\mathrm{e}^2)$ , $\mathrm{e}^{\ln(x)}$ , $\ln(\mathrm{e}^x)$ .

Solution

$2$ , $2$ , $x$ , $x$

Theorem 4

Graphen von Logarithmusfunktionen haben folgende Eigenschaften:

Sie gehen alle durch den Punkt $(1|0)$ .
Die Graphen von $f(x)=\log_b{(x)}$ und $g(x)=\log_{\frac{1}{b}}{(x)}$ sind achsensymmetrisch bezüglich der $x$ -Achse.

Proof

Wir betrachten eine beliebige Logarithmusfunktion $f(x)=\log_b(x)$ . Es gilt $f(1)=\log_b(1)$ genau dann, wenn $b^{f(1)}=1$ , d. h. $f(1)=0$ , und der erste Punkt ist bewiesen.

Um den zweiten Punkt zu verifizieren, betrachten wir:

\begin{align*} g(x)&=\log_{\frac{1}{b}}(x)=\log_{b^{-1}}(x)=\frac{\log_b (x)}{\log_b (b^{-1})} = \frac{\log_b (x)}{-\log_b (b)} = -\log_{b}(x)\\ &= -f(x) \end{align*}

Also sind die Graphen von $f(x)$ und $g(x)$ symmetrisch bezüglich der $x$ -Achse.

Exercise 14

Gegeben sei die natürliche Exponentialfunktion:

f(x)=\mathrm{e}^x

a) Zeichne den Graphen von $f$ und spiegle diesen an der Winkelhalbierenden durch den 1. und 3. Quadranten. Überlege, dass durch die Spiegelung der Graph einer neuen Funktion $g$ entsteht.

b) Bestimme die Funktionswerte von $g$ an den Stellen $\mathrm{e}$ , $\mathrm{e}^2$ , $\mathrm{e}^{-1}$ und $\sqrt{\mathrm{e}}$ .

Solution

a) Check mit Geogebra.

b) Anhand der Spiegelung sieht man: $g(\mathrm{e})=1$ , $g(\mathrm{e}^2)=2$ , $g(\mathrm{e}^{-1})=-1$ und $g(\sqrt{\mathrm{e}})=\frac{1}{2}$ .

Schliesslich halten wir noch fest:

Theorem 5

Jede Logarithmusfunktion ist die Inverse einer Exponentialfunktion und umgekehrt.

Proof

Wir bestimmen die Inversfunktion einer beliebigen Exponentialfunktion:

y=b^x\quad \Leftrightarrow\quad x=\log_b(y)

Variablen umbenennen und die Inversfunktion mit $f^{-1}$ bezeichnen: $f^{-1}(x)=\log_b(x).$ Die Umkehrung gilt ebenfalls, weil wir ausschliesslich Identitäten und Äquivalenzen verwendet haben.

Weitere Anwendungen

Logarithmen kann man benutzen, um Zahlen zu berechnen, welche ausserhalb der Kapazität des Taschenrechners liegen.

Example 3

Wir wollen $x=2^{4000}$ berechnen. Eingetippt in den Taschenrechner erhalten wir leider nur die obere Kapazitätsgrenze; das Gerät ist überfordert. Wir helfen der Rechenmaschine etwas nach:

\log(x)=\log(2^{4000})=4000\cdot\log(2)= 1204.1199

Das bedeutet:

x=10^{1204.1199}=10^{1204+0.1199}=10^{0.1199}\cdot 10^{1204}=1.318\cdot 10^{1204}

Exercise 15

Berechne $9^{(9^9)}$ .

Solution

$9^9=387\,420\,489$ , $\log(9^{387\,420\,489})=387\,420\,489\log(9)\approx 369\,693\,099.63157$ und damit $9^{9^9}\approx 10^{369\,693\,099.63157}\approx 4.28\cdot 10^{369\,693\,099}$ .

Exercise 16

Der pH-Wert ist ein Mass für die H $_3$ O $^+$ -Konzentration einer Lösung. Es gilt:

\mathrm{pH} = -\log{(H)}

wobei $H$ die Konzentration von H $_3$ O $^+$ in $\unit{mol/l}$ bezeichnet.

a) Für Tomaten ist $H=6.3\cdot 10^{-5}\,\unit{mol/l}$ , für Milch $H=4\cdot 10^{-7}\,\unit{mol/l}$ . Berechne die zugehörigen pH-Werte.

b) Welchen pH-Wert hat eine Lösung mit $H=\qty{1}{mol/l}$ ?

Solution

a) Tomaten $4.2$ , Milch $6.4$

b) $0$

Exercise 17

Die Lautstärke $L$ eines Geräuschs von der Intensität $I$ ist definiert durch

L=10\cdot\log\left(\frac{I}{I_0}\right)\,\unit{dB}

dB steht für Dezibel, nach dem amerikanischen Ingenieur Graham Bell (1847–1922), dem Erfinder des Telefons. $I_0$ bedeutet die Intensität eines Geräuschs, das vom menschlichen Ohr gerade noch wahrgenommen werden kann.

a) Die Geräuschintensität normaler Unterhaltung ist etwa eine Million Mal so gross wie $I_0$ . Welchem Dezibel-Wert entspricht das?

b) Eine Intensitätszunahme von $\qty{10}{dB}$ empfindet das menschliche Ohr als Verdoppelung der Lautstärke. Welcher Intensitätszunahme in Prozent entspricht dies?

c) Ein Düsenflugzeug entwickelt beim Start eine Intensität von $10^{13}I_0$ . Dezibel-Werte von mehr als $\qty{90}{dB}$ gelten als gehörschädigend; ist es die angegebene Intensität?

Solution

a) $L=10\cdot\log\left(\frac{I}{I_0}\right)=10\cdot\log\left(\frac{10^6\cdot I_0}{I_0}\right)=10\cdot\log(10^6)=\qty{60}{dB}$

b) $\Delta L=10=10\log(\frac{I_2}{I_0})-10\log(\frac{I_1}{I_0})$ , also $1=\log(\frac{I_2}{I_0})-\log(\frac{I_1}{I_0})=\log(\frac{I_2}{I_1})$ und nach Definition $10=\frac{I_2}{I_1}$ . Somit gilt $I_2=10\cdot I_1$ , d. h. eine Verzehnfachung der Intensität!

c) $L=\qty{130}{dB}$ , ja.

Exercise 18

Die Stärke von Erdbeben $R$ gibt man durch Werte der sogenannten Richter-Skala an. Diese ist definiert durch

R=\log\left(\frac{B}{B_0}\right),

wobei $B_0$ die Intensität eines gerade noch wahrnehmbaren Bebens bezeichnet.

a) Das Beben von San Francisco im Jahr 1906 hatte eine Intensität von $B=B_0\cdot 10^{8.25}$ . Welchem Wert auf der Richter-Skala entspricht dies?

b) Welche Intensitätsänderung bedeutet eine Zunahme von $1$ auf der Richter-Skala?

Solution

a) $R=8.25$
b) $\Delta R=1=\log(\frac{B_2}{B_0})-\log(\frac{B_1}{B_0})=\log(\frac{B_2}{B_1})$ , woraus $B_2=10\cdot B_1$ folgt, also das Zehnfache.

Gleichungen mit einer Variable im Exponenten

Die Lösung unseres Ausgangsproblems, die Bestimmung von Variablen in Exponenten, soll an einem Beispiel vorgeführt werden.

Example 4

Wir lösen die Gleichung

6^{x-1}=10

nach $x$ auf. Dies können wir auf zwei Arten tun.

Mit Logarithmieren auf beiden Seiten:

\begin{align*} \log{6^{x-1}}&=\log{10} \tag{Regel (3)}\\ (x-1)\cdot\log{6}&= 1 \tag{$\div\log{6}$}\\ x-1 &= \frac{1}{\log{6}} \tag{$+1$}\\ x &= \frac{1}{\log{6}} + 1 \approx 2.285 \end{align*}

Mit der Definition:

\begin{align*} 6^{x-1}=10\quad \Leftrightarrow\quad x-1 &= \log_6{10}\\ x-1 &= \frac{\log{10}}{\log{6}} \tag{$+1$}\\ x &= \frac{1}{\log{6}} + 1 \end{align*}

Kontrolle:

6^{2.285-1} \approx 10\quad\checkmark

Exercise 19

Löse nach $x$ auf:

2000\cdot 1.025^x = 3750

Solution

\begin{align*} 2000\cdot 1.025^x &= 3750\tag{$\div 2000$}\\ 1.025^x &= \frac{3750}{2000}\\ x &= \log_{1.025}(\frac{15}{8})\\ x &\approx 25.5 \end{align*}

Exercise 20

Stelle drei Gleichungen auf, bei denen die Variable im Exponenten vorkommt. Löse diese und überprüfe deine Resultate durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

Solution

Kontrolliere, indem du in das Anfangsproblem einsetzt.

Exercise 21

Nach UNO-Angaben lebten 1988 auf der Erde 5113 Millionen Menschen; die jährliche Wachstumsrate betrug 1.7%. Wann wird unter der Annahme, dass diese Zuwachsrate konstant bleibt, jedem Menschen nur noch ein Stehplatz von $\qty{0.25}{m^2}$ zur Verfügung stehen? (Die Landfläche beträgt 29% der Erdoberfläche.)

Solution

Mit dem Startwert $f_0=5.113\cdot 10^9$ im Jahr 1988 haben wir die Funktion für die Anzahl Menschen $f$ nach $t$ Jahren: $f(t)=5.113\cdot 10^9\cdot 1.017^t$ . Für die Fläche verwenden wir den mittleren Erdradius $\qty{6370}{km}$ und berechnen die Landfläche $O=4\pi\cdot 6\,370\,000^2\cdot 0.29\approx 1.4\cdot 10^{14}$ . Wir setzen:

\begin{align*} 4\cdot O &= f(t)\\ \frac{4O}{f_0} &= 1.017^t\\ t &= \log_{1.017}(\frac{4O}{f_0}) \end{align*}

und erhalten damit $t\approx 691.6$ , also etwa im Jahr 2680.

Exercise 22

Beim radioaktiven Zerfall wird meistens die sogenannte Halbwertszeit angegeben. Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der die Hälfte der zu Beginn vorhandenen Atome zerfällt.

Für Uran $^{239}$ beträgt die Halbwertszeit $T_{\mathrm{1/2}}=\qty{23.5}{min}$ . Stelle die Gleichung der Zerfallsfunktion auf, wenn zu Beginn $N_0$ Atome vorhanden sind.

Solution

Bezeichne $N(t)$ die Anzahl Atome zum Zeitpunkt $t$ . Es ist $N(t)=N_0\cdot b^t$ . Wir schliessen aus der Halbwertszeit, dass $\frac{N_0}{2}=N_0\cdot b^{23.5}$ gilt. Es folgt:

\begin{align*} \frac{N_0}{2} &= N_0\cdot b^{23.5}\tag{$\div N_0$}\\ \frac{1}{2} &= b^{23.5}\\ b &= \sqrt[23.5]{\frac{1}{2}}\\ b &\approx 0.971 \end{align*}

N(t)=N_0\cdot(\frac{1}{2})^\frac{t}{23.5}

Exercise 23

In lebenden Organismen besteht Kohlenstoff aus stabilen Atomkernen sowie einem Anteil ( $3\cdot 10^{-8}\%$ ) aus radioaktiven Atomkernen C $_{14}$ , die durch kosmische Strahlung entstehen. Sobald ein organischer Stoff stirbt, nimmt der C $_{14}$ -Anteil mit einer Halbwertszeit von 5736 Jahren exponentiell ab.

a) Im Jahre 1960 stellte man in der Leinwand einer altägyptischen Königsmumie einen C $_{14}$ -Anteil von $1.75\cdot 10^{-8}\%$ fest. Datiere auf hundert Jahre genau.

b) 1950 wurden in der Höhle von Lascaux (Frankreich) Holzkohlereste mit einem C $_{14}$ -Anteil von $0.435\cdot 10^{-8}\%$ gefunden. Berechne das Alter dieser Holzkohle.

Solution

Für die Zerfallsfunktion ermitteln wir den Faktor aus der Halbwertszeit:

\begin{align*} \frac{N_0}{2} &= N_0\cdot b^{5736}\tag{$\div N_0$}\\ \frac{1}{2} &= b^{5736}\\ b &= \sqrt[5736]{\frac{1}{2}}\\ b &\approx 0.999879 \end{align*}

und es folgt $N(t)=3\cdot 10^{-8}\cdot 0.5^\frac{t}{5736}$ . Wir lösen:

\begin{align*} 1.75\cdot 10^{-8} &= 3\cdot 10^{-8}\cdot 0.5^\frac{t}{5736}\\ \frac{1.75}{3} &= 0.5^\frac{t}{5736}\\ \frac{t}{5736} &= \log_{0.5}(\frac{1.75}{3})\\ t &\approx 4460 \end{align*}

Exercise 24

In der Informationstheorie versteht man unter dem Informationsgehalt $H$ eines Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit $p$ den Logarithmus von $\frac{1}{p}$ zur Basis 2.

H = \log_2(\frac{1}{p})\quad\text{(Einheit: 1 bit)}

Welche Wahrscheinlichkeit gehört zum Informationsgehalt $0, 1, 0.5, 5, 10.2$ bit? Eine Münze (Kopf oder Zahl) wird viermal nacheinander geworfen. Berechne den Informationsgehalt der Ereignisse:

a) nie Kopf,

b) genau einmal Kopf,

c) genau zweimal Kopf,

d) genau dreimal Kopf,

e) viermal Kopf.

Solution

Zu $H=0$ gehört die Wahrscheinlichkeit $p=1$ , zu $H=1$ gehört $p=\frac{1}{2}$ , zu $H=0.5$ gehört $p=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , zu $H=5$ gehört $p=\frac{1}{32}$ , zu $H=10.2$ gehört $p\approx 0.00085$ .

a) $p=\frac{1}{16}$ und damit $H=4$ .

b) $p=4\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$ , also $H=2$ .

c) $p=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ . Somit $H\approx 1.415$ .

d) $H=2$ .

e) $H=4$ .

Logarithmische Skala

Manchmal verwendet man bei der Darstellung von Funktionen die logarithmische Skala. Dabei bedeutet eine Einheit eine Zehnerpotenz. Als Illustration soll die Funktion $f(x)=10^x$ einerseits im üblichen Koordinatensystem und andererseits im Koordinatensystem mit logarithmischer y-Achse dienen. Die logarithmisch eingeteilte Achse beginnt bei $1$ .