Exponentialfunktionen

Example 1

Ein Schüler verbreitet zu Beginn der grossen Pause im Gymnasium Lerbermatt ein Gerücht. Fortan erzählt jede Minute ein Eingeweihter das Gerücht einem Nicht-Eingeweihten. Wie lange dauert es, bis alle Schüler des Gymnasiums über das Gerücht in Kenntnis gesetzt worden sind?

Definition 1: Exponentialfunktion

Eine Funktion der Form

f(x)=b^x

mit $b\in\R^+$ heisst Exponentialfunktion zur Basis $b$ .

Example 2

Klassische Anwendungen, die phasenweise annähernd durch Exponentialfunktionen beschrieben werden, sind:

Ausbreitung von Krankheiten/Epidemien
Radioaktiver Zerfall
Zellvermehrung

Exercise 1: Zwei hoch

Wie viel ist $2^{20}$ ?

Solution

Es ist $2^{20}=(2^{10})^2$ und $2^{10}=1024\approx1000$ , also $2^{20}=(2^{10})^2\approx1000^2=10^6$ .

Exercise 2

Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die Graphen der Funktionen:

a) $2^x$ , $3^x$ , $2.7^x$

b) $4^x$ , $\left(\frac{1}{4}\right)^x$ , $10^x$

Solution

Konsultiere Geogebra.

Exercise 3

Vergleiche das Verhalten (insbesondere das Wachstum) der beiden Funktionen

p(x)=x^2\quad\text{und}\quad e(x)=2^x

Solution

Konsultiere Geogebra. Die Exponentialfunktion wächst ab $x \approx 3.3$ wesentlich schneller als die Potenzfunktion.

Note 1

Der Graph der Exponentialfunktionen

f(x)=b^x

liegt oberhalb der $x$ -Achse und geht durch den Punkt $(0\mid1)$ , da $f(0)=b^0=1$ für alle $b\in\R^+$ . Für $b>1$ ist der Graph steigend ( $f$ monoton wachsend), für $0<b<1$ ist der Graph fallend ( $f$ monoton fallend) und die $x$ -Achse ist jeweils Asymptote.

Exercise 4

Untersuche, was mit $f(x)=b^x$ im Falle $b=1$ passiert.

Solution

Im Falle $b=1$ liegt die konstante Einsfunktion vor.

Theorem 1

Die Graphen der Funktionen $f(x)=b^x$ und $g(x)=\left(\frac{1}{b}\right)^x$ liegen symmetrisch zueinander bezüglich der $y$ -Achse.

Proof

g(x)=\left(\frac{1}{b}\right)^x=\left(b^{-1}\right)^x=b^{-x}=f(-x)

Exercise 5

Berechne für die Funktionen $p(x)=x^2$ und $e(x)=2^x$ die durchschnittlichen Änderungsraten über den Intervallen $[0,1]$ , $[-1,0]$ und $[1,7]$ .

Solution

Für $p(x)=x^2$ :

Intervall $[0,1]$ : $\frac{p(1)-p(0)}{1-0} = \frac{1^2-0^2}{1} = 1$
Intervall $[-1,0]$ : $\frac{p(0)-p(-1)}{0-(-1)} = \frac{0^2-(-1)^2}{1} = -1$
Intervall $[1,7]$ : $\frac{p(7)-p(1)}{7-1} = \frac{7^2-1^2}{6} = \frac{49-1}{6} = \frac{48}{6} = 8$

Für $e(x)=2^x$ :

Intervall $[0,1]$ : $\frac{e(1)-e(0)}{1-0} = \frac{2^1-2^0}{1} = \frac{2-1}{1} = 1$
Intervall $[-1,0]$ : $\frac{e(0)-e(-1)}{0-(-1)} = \frac{2^0-2^{-1}}{1} = \frac{1-1/2}{1} = \frac{1}{2}$
Intervall $[1,7]$ : $\frac{e(7)-e(1)}{7-1} = \frac{2^7-2^1}{6} = \frac{128-2}{6} = \frac{126}{6} = 21$

Exercise 6

Zeichne den Graphen von $f(x)=2^x$ in ein Koordinatensystem.

a) Verschiebe den Graphen in positiver $x$ -Richtung um 3 Einheiten.

b) Spiegle den Graphen an der $x$ -Achse.

c) Verschiebe den Graphen in negativer $y$ -Richtung um 4 Einheiten.

d) Spiegle den Graphen an der $y$ -Achse.

e) Spiegle den Graphen am Ursprung des Koordinatensystems.

Gib jeweils die Gleichung der Bildkurve an.

Solution

a) $g(x)=f(x-3)=2^{x-3}$

b) $g(x)=-f(x)=-2^x$

c) $g(x)=f(x)-4=2^x-4$

d) $g(x)=f(-x)=2^{-x}$

e) $g(x)=-f(-x)=-2^{-x}$

Exercise 7

Es sei

f(x)=b^x\text{ und }g(x)=a\cdot b^x.

Der Punkt $P$ liegt auf dem Graphen von $f$ . Berechne $b$ für:

a) $P=(1.5\mid27)$

b) $P=(4\mid9)$

Die Punkte $R$ und $Q$ liegen auf dem Graphen von $g$ . Berechne $a$ und $b$ für:

c) $R(0\mid2), Q(2\mid18)$

d) $R(-2\mid20), Q=(3\mid\frac{5}{8})$

Solution

a) Aus $f(1.5)=27=b^\frac{3}{2}$ folgt $b=27^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{27^2}=9$ , also $f(x)=9^x$ .

b) $f(4)=9\implies b=\sqrt[4]{9}=\sqrt{3}$ . Somit $f(x)=\sqrt{3}^x$ .

c) $R$ eingesetzt liefert $2=a\cdot b^0\Leftrightarrow a=2$ . Aus $Q$ folgt $18=2\cdot b^2\Leftrightarrow b^2=9\Leftrightarrow b=\pm3\implies b=3$ . $g(x)=2\cdot3^x$ .

d) Mit $R$ folgt $20=ab^{-2}=\frac{a}{b^2}$ und aus $Q$ $\frac{5}{8}=ab^3$ . Dies sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Aus der ersten folgt $a=20b^2$ , was in der zweiten eingesetzt wird:

\begin{align*} \frac{5}{8} &= 20b^5\tag{$\div20$}\\ \frac{1}{32} &= b^5\tag{$\sqrt[5]{\phantom{x}}$}\\ b &= \frac{1}{2} \end{align*}

Damit ergibt sich $g(x)=5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

Definition 2: Wachstums- & Zerfallsfunktion

Ist $t$ die Masszahl der Zeit, so bezeichnet man die Funktion

f(t)=ab^t

für $b>1$ als exponentielle Wachstumsfunktion, für $0<b<1$ als exponentielle Zerfallsfunktion.

Note 2

Zum Zeitpunkt $t=0$ gilt

f(0)=ab^0=a.

Also ist $(0\mid a)$ der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse. Wir nennen $a$ den Anfangswert oder Startwert von $f$ . Der Parameter $b$ ist ein Mass für das Wachstum bzw. den Zerfall und wird deshalb Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor genannt.

Definition 3: Halbwertszeit

Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, nach der eine mit der Zeit abnehmende Grösse die Hälfte ihres ursprünglichen Wertes erreicht hat. Dieser Begriff wird am häufigsten bei exponentiellen Zerfallsprozessen verwendet.

Note 3

Weil die freie Variable im Exponenten steht, kann eine Rundung des Faktors $b$ schon nach wenigen Schritten zu einer grossen Fehlerspanne im Funktionswert $f$ führen. Nach Möglichkeit sollte $b$ also nicht gerundet werden.

Exercise 8

Bei einer Bakterienkultur ohne Raum- und Nahrungsmangel wächst die Individuenzahl exponentiell. Um 8 Uhr waren es 2300 und um 12 Uhr 36'800 Individuen.

a) Nimm 2300 als Anfangswert an und ermittle den Wachstumsfaktor $b$ . Wie lautet demnach die entsprechende Wachstumsfunktion?

b) Bestimme die Individuenzahl um 9 Uhr, um 11 Uhr und um 13.30 Uhr.

Solution

a) $f(t)=2300\cdot b^t$ mit $t=0$ um 08:00 Uhr. Ferner gilt $f(4)=36'800$ , also $36'800=2300\cdot b^4$ und damit $b=2$ . $f(t)=2300\cdot2^t$ .

b) $f(1)=4600$ , $f(3)=18'400$ und $f(5.5)\approx104'086.12$ , also $104'086$ .

Exercise 9

Ein Waldbestand, in dem kein Holz geschlagen wird, wächst exponentiell. Er beträgt heute $\qty{72'342}{m^3}$ , vor zwölf Jahren betrug er $\qty{48'228}{m^3}$ .

a) Wie hoch war der Waldbestand vor fünf Jahren?

b) Wie hoch wird er heute in sieben Jahren sein?

Solution

Wir nehmen den aktuellen Bestand als Startwert, also $t=0$ heute. Dann ist $f(t)=72'342\cdot b^t$ . Vor zwölf Jahren ( $t=-12$ ) betrug der Bestand $\qty{48'228}{m^3}$ . Es gilt $f(-12)=48'228=72'342\cdot b^{-12}$ . Daraus folgt $b^{-12}=\frac{48'228}{72'342}=\frac{2}{3}$ , also $b^{12}=\frac{3}{2}$ . Somit ist $b=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{12}}\approx1.034$ . Die Wachstumsfunktion lautet $f(t)=72'342\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{t}{12}}$ .

a) Der Waldbestand vor fünf Jahren ( $t=-5$ ) war: $f(-5)=72'342\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{-\frac{5}{12}}\approx\qty{60'741}{m^3}$ .

b) Der Waldbestand heute in sieben Jahren ( $t=7$ ) wird sein: $f(7)=72'342\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{7}{12}}\approx\qty{87'241}{m^3}$ .

Exercise 10

In einer Bakterienkultur ist

f(t) =10^4 \cdot 2^\frac{t}{2}

die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $t$ . Bestimme, in welcher Zeitspanne $\Delta t$ sich die Anzahl verdoppelt, vervierfacht und verachtfacht.

Solution

Wir betrachten insbesondere den Wachstumsfaktor inklusive Exponenten. Sei $B=f(t_0)$ der Bestand zum Zeitpunkt $t_0$ . Mit $\Delta t$ bezeichnen wir die Zeit, die es zur Verdoppelung braucht. Damit ist $f(\Delta t)=2B=B\cdot2^\frac{\Delta t}{2}$ . Daraus folgt $2=2^1=2^\frac{\Delta t}{2}$ und wir finden $\Delta t=2$ . Beim Vervierfachen muss $4=2^2=2^\frac{\Delta t}{2}$ gelten und es folgt $\Delta t=4$ . Beim Verachtfachen folgt schliesslich $\Delta t=6$ .

Note 4

In der Praxis werden viele Wachstumsprozesse dadurch beschrieben, dass man neben dem Startwert $a$ noch die jährliche Zunahme der betrachteten Grösse in Prozenten angibt. Wir orientieren uns hier an der Zinseszinsrechnung.

Example 3

Es sei $f(0)=a=10'000$ die Anzahl der Einwohner einer Stadt, deren jährliches Wachstum $2\%$ beträgt. Nach einem Jahr hat die Stadt

f(1)=f(0)+0.02\cdot f(0)=f(0)\cdot(1+0.02)=10'200

Einwohner. Nach zwei Jahren sind es

f(2)=f(1)\cdot(1+0.02)=f(0)\cdot(1+0.02)^2

Einwohner und analog nach $t$ Jahren

f(t)=10'000\cdot1.02^t

Einwohner.

Exercise 11

Vom Jahr 1875 zum Jahr 1985 ist die Wohnbevölkerung der Schweiz von 2'750'300 auf 6'455'900 angewachsen. Berechne, wie viel Prozent die jährliche Zunahme betrug, wenn wir annehmen, dass die Bevölkerung von Jahr zu Jahr um den gleichen Prozentsatz zugenommen hat.

Solution

Die Wachstumsperiode beträgt 110 Jahre. Wir lösen also $6'455'900=2'750'300\cdot b^{110}$ nach $b=\sqrt[110]{\frac{6'455'900}{2'750'300}}\approx1.007787$ . Die durchschnittliche Wachstumsrate pro Jahr betrug $1.007787-1\approx0.0078=0.78\%$ .

Exercise 12

Ein radioaktiver Stoff habe eine Halbwertszeit von $T_{1/2}=3$ Jahren.

a) Stelle die zugehörige Zerfallsfunktion $N(t)$ auf, wenn zu Beginn $N_0$ Gramm vorhanden sind.

b) Berechne, wie viel Gramm nach 11 Jahren von anfänglich 25 Gramm noch vorhanden sind.

Solution

a) Da die Halbwertszeit 3 Jahre beträgt, benötigen wir einen Zerfallsfaktor, der nach 3 Jahren den Wert $\frac{1}{2}$ annimmt. Es bietet sich $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$ an. Die Zerfallsfunktion lautet dann:

N(t)=N_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{3}}.

b) Nach 11 Jahren sind von ursprünglich 25 Gramm noch

N(11)=25\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{11}{3}}\approx1.97,

also knapp 2 Gramm, vorhanden.

Exercise 13

Leite die Formel für das Kapital $K(n)$ nach $n$ Jahren in Abhängigkeit des Startkapitals $K_0$ und Zinsfusses $p$ her. Vergleiche das Ergebnis mit der Formelsammlung.

Solution

Nach einem Jahr hat man $K_1=K_0+p\cdot K_0=K_0(1+p)$ und nach zwei Jahren $K_2=K_1+p\cdot K_1=K_1(1+p)=K_0(1+p)(1+p)=K_0(1+p)^2$ . Analog erhält man $K_n=K_0(1+p)^n$ .

Exercise 14

Susanne erhält zur Eröffnung eines Jugendsparbuches von ihrer Bank zu ihrer Einlage von 100 Franken ein Eröffnungsgeschenk von 50 Franken. Berechne, über welchen Betrag sie bei einem Jahreszins von $5.5\%$ in 10 Jahren verfügen kann.

Solution

$K_{10}=150\cdot1.055^{10}\approx256.221$ , also über 256.22 Franken.

Exercise 15

Im Jahre 1627 wurde die Insel Manhattan (New York) für 24 USD den Indianern abgekauft. Im Jahre 1970 betrug der Wert des Landes allein 6 Milliarden Dollar. Berechne die konstant angenommene jährliche Wertzunahme in Prozent.

Solution

Die Zeitdauer beträgt 343 Jahre. Wir lösen: $6\cdot10^9=24\cdot b^{343}$ . Das ergibt $b=\sqrt[343]{2.5\cdot10^8}\approx1.058$ . Die jährliche Wertzunahme betrug somit $5.8\%$ .

Exercise 16

Ein 57-jähriger Fussballfan und seine 59-jährige Schwester teilen einen Totogewinn von 50'000 Franken so auf, dass sie zum Zeitpunkt der Pensionierung (Frauen: 64 Jahre, Männer: 65 Jahre) gleich viel besitzen. Berechne, wie viel jedes der Geschwister bei einem Zinssatz von $1.7\%$ erhält.

Solution

Wir müssen den Gewinn auf den Fan $x$ und seine Schwester $y$ aufteilen: $50'000=x+y$ . Der Teil des Fans läuft für 8 Jahre ( $x\cdot 1.017^8$ ) und der Teil der Schwester für 5 Jahre ( $y\cdot 1.017^5$ ). Wir setzen gleich:

\begin{align*} x\cdot 1.017^8 &= y\cdot 1.017^5\\ x\cdot 1.017^8 &= (50'000-x)\cdot 1.017^5\tag{$\div1.017^5$}\\ x\cdot 1.017^3 &= 50'000-x\tag{$+x$}\\ x\cdot 1.017^3+x &= 50'000\tag{ausklammern}\\ x(1+1.017^3) &= 50'000\tag{$\div(1+1.017^3)$}\\ x &= \frac{50'000}{1+1.017^3}\approx24'370 \end{align*}

Er erhält 24'370 Franken und sie 25'630 Franken.

Exponentialfunktionen

Einleitung

Wachstum und Zerfall